2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:
2.6. Biến ngẫu nhiên nhị thức – Phân bố nhị thức (Binomial
distribution)
Định nghĩa: Tiến hành n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử xác suất xuất hiện của biến cố A như nhau và gọi là p. Gọi X là biến ngẫu nhiên biểu diễn số lần xuất hiện của biến cố A trong n phép thử thì X là biến ngẫu nhiên nhị thức (tuân theo phân bố nhị thức) – ký hiệu X ∼ B(n,p)
Hàm khối lượng xác suất:
p(i) = P(X = i) = i i n i np (1 p)
Kỳ vọng: E[X] = np
Phương sai: Var(X) = np(1-p) = npq Ví dụ
Tìm xác suất xuất hiện 2 mặt sấp và 2 mặt ngửa trong thí nghiệm tung 4 đồng xu đồng nhất
Giả sử mọi sản phẩm cùng chủng loại của 1 cửa hàng đều có thể có lỗi với xác suất 0,1. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm, tìm xác suất để tìm thấy nhiều nhất 1 sản phẩm có lỗi.
Một loại động cơ máy bay có xác suất bị trục trặc khi đang bay là (1-p). Giả sử rằng một chuyến bay sẽ thành công nếu ít nhất 50% số động cơ của nó hoạt động bình thường trong suốt chuyến bay. Xác định p để một máy bay loại 4 động cơ được ưa chuộng nhiều hơn một máy bay loại 2 động cơ (lắp cùng 1 loại động cơ).
Một số lưu ý:
• Khi n lớn việc tính toán p(i) gặp trở ngại ⇒ dùng các công thức gần đúng
a. Công thức Moixre – Lapalace: p(i) = P(X= i) = p) - np(1 (x) ϕ Trong đó x = (i-np)/ npq ; 2 2 2 1 (x)= e−x π ϕ (hàm Gauss)
Ví dụ: Xác suất để sản xuất ra 1 sản phẩm đạt chất lượng là 0,4. Tìm xác suất để trong 26 sản phẩm sản xuất ra có 13 sản phẩm loại tốt.
b. Xấp xỉ Poisson: Khi n lớn và p khá nhỏ ⇒ np = λ = const p(i) = P(X = i) = e- λ λi i! Ví dụ:
Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong 1 quí là 800, xác suất sản xuất 1 phế phẩm là 0,005. Tìm xác suất để có 3 sản phẩm là phế phẩm. Tìm xác suất để không quá 10 sản phẩm bị hư.
• Số lần xuất hiện chắc chắn nhất
p(i) phụ thuộc vào i, gọi i0 là số lần xuất hiện chắc chắn nhất của X, hay nói cách khác i0 là giá trị mà ở đó p(i0) đạt giá trị lớn nhất.
np – q ≤ i0 ≤ np + p Ví dụ:
Xác suất để bắn trúng bia là 0,7. Bắn 25 lần, xác định số lần có khả năng trúng bia nhất.