DẠNG 3: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ.

Bài 1:Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng một là một số chính phương . Giải.Ta có:n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 = k2 Vậy ta được điều phải chứng minh.

Bài 2:Chứng minh rằng nếu m, n là hai số chính phương lẽ liên tiếp thì

(

) (

)

Giải.Ta có : m = (2k – 1)2 và n = (2k + 1)2 do đó

(m – 1)(n – 1) = [(2k – 1)2 - 1][(2k + 1)2 – 1] = (4k2 + 4k)(4k2 – 4k) = 16k2(k – 1 )(k + 1) Ta nhận thấy k(k – 1)(k + 1) chia hết cho 3

Mặt khác k2(k – 1)(k + 1) = [k(k – 1)][k(k + 1)] gồm các tích của hai nhóm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2*2 = 4 Do đó k2(k – 1)(k + 1) chia hết cho 12

Vậy (m – 1)(n – 1) chia hết cho 12.16 = 192

Bài 3:Chứng minh răng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N∈ và n > 1 không phải là số chính phương.

Giải.Ta có: n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2(n4 – n2 + 2n + 2)= n2[(n2 – 1)2 + (n + 1)2] = n2(n + 1)2[(n – 1)2 + 1]. Với n > 1 thì

(n – 1)2 + 1 = n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n – 1) < n2 và (n – 1)2 + 1 > (n – 1)2

Nghĩa là (n – 1)2 < (n – 1)2 + 1 < n2, do đó (n – 1)2 + 1 không là số chính phương. Từ đó suy ra n6 – n4 + 2n3 + 2n2 không là số chính phương với mọi n N∈ và n > 1.

Bài 4:Tìm số tự nhiên n để n2 + 31n + 1984 là số chính phương.

Giải. Giả sử n2 + 31n + 1984 = m2 (m N∈ ) Suy ra 4.n2 + 4.31n + 4.1984 = 4m2

Hay (2n + 31)2 + 6975 = 4m2 Hay (2m – 2n + 31)(2m + 2n + 31) = 6975 (*) Để ý rằng 6975 = 32.52.31 và do m > 44 (vì nếu m≤43 thì m2 < n2 + 31n + 1984) nên 2n + 2m + 31 > 121 Khi đó từ (*) suy ra 0 2 2 31 ⁶⁹⁷⁵ 58 121 m n < − − < < Do đó 2m – 2n – 31 chỉ có thể nhân các giá trị : 1, 3, 5, 9, 15, 25, 31, 45 và

2m + 2n + 31 nhận các giá trị : 6975, 2325, 1395, 775, 465, 279, 225, 155, suy ra các giá trị tương ứng của n là : 1728, 565, 332, 176, 97, 48, 33, 12.

Các giá trị này của n đều thoã mãn đề bài.

Bài 5:Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước dương của p4 là một số chính phương.

Giải.Các ước dương của p4 là 1, p, p2, p3, p4

Giảsử:1 + p + p2 + p3 + p4 = n2

(

)

suy ra: _{4 3 2}

(

)

Với p = 3, ta có : 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 112 Vậy số nguyên tố cần tìm là p = 3.

Bài 6: