Tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp độc quyền

Xét trường hợp một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm, nhưng tiêu thụ sản phẩm đó ở hai thị trường riêng biệt. Doanh nghiệp cần xác định phương án tối ưu để sản xuất và định giá bán các sản phẩm căn cứ vào chi phí sản xuất và nhu cầu tiêu thụ của các thị trường đối với các sản phẩm đó để tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Mô hình toán học của bài toán như sau:

Ký hiệu p p1, 2 là giá sản phẩm tương ứng với hai thị trường, Q Q1, 2 là số lượng các sản phẩm cung cấp cho hai thị trường. Ký hiệu hàm chi phí trong sản xuất là

1 2

( ) ( )

TCTC Q TC Q Q và giả sử mối quan hệ giữa nhu cầu và giá cả của các thị trường được cho bới các hàm cầu như sau:

Hàm cầu của thị trường 1: 1

1 1( 1) 1 1 ( 1)

Q D p  p D Q

Hàm cầu của thị trường 2: 1

2 2( 2) 2 2 ( 2)

Tổng lợi nhuận trong trường hợp này được tính theo công thức:

1 1 2 2 ( 1 2)

p Q p Q TC Q Q

    

Về mặt toán học, chúng ta thu được bài toán cực trị như sau

  p Q1 1 p Q2 2TC Q( 1Q2)Max (3.4) Với hệ điều kiện ràng buộc

1 1 1( 1) 1 1 ( 1) Q D p  p D Q 1 2 2( 2) 2 2 ( 2) Q D p p D Q (3.5)

Đây chính là bài toán cực trị có điều kiện với 4 biến và hai phương trình ràng buộc. Bài toán này có thể đưa về bài toán cực trị không có điều kiện với hai biến chọn bằng phương pháp thế hoặc sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.

Nếu các hàm cầu được ước lượng dưới dạng hàm bậc nhất ta có thể biểu diễn giá trị hàng hóa theo số lượng tương ứng các mặt hàng bằng các hàm cầu ngược:

1 1 1 ( 1)

p D Q , 1 2 2 ( 2)

p D Q . Khi đó ta có thể biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 và Q2:

1 1

1 ( 1). 1 2 ( 2). 2 ( 1 2)

D Q Q D Q Q TC Q Q

      

Theo phương pháp giải bài toán cực trị ta xác định được mức sản lượng

1 1, 2 2

Q Q Q Q để hàm lợi nhuận π đạt cực đại, từ đó ra quyết định: Mức sản lượng: QQ1Q2

Giá bán ở từng thị trường: 1 1 1 1 ( 1), 2 2 ( 2)

p D Q p D Q

Cách lựa chọn trên đây được áp dụng khi nhà sản xuất được tự do tiêu thụ sản phẩm của mình, tức là có thể định giá riêng cho mỗi thị trường tùy theo cầu.

Trong trường hợp nhà sản xuất không được phép phân biệt giá thì ta thu được bài toán cực đại hóa hàm lợi nhuận π với điều kiện:

1 1

1 2 1 ( 1) 2 ( 2) 0

p  p D Q D Q 

Ta sẽ nhận được bài toán cực trị không có điều kiện với hai biến Q Q1, 2.