Các phần tử của K[x, y] cĩ thể được coi như các đa thức của y với hệ số trong K[x].
3.1.1 Định nghĩa. Cho f ∈ K[x, y]\ {0}, trong đĩ K là một trường.
(i) content(f) ∈ K[x] là kí hiệu của đa thức trong K[x], cĩ bậc lớn nhất chia hết f.
(ii) primpart(f) ∈ K[x, y] là kí hiệu của phần nguyên sơ của f, được định nghĩa bằng f
content(f).
(iii) coef(f, yn) ∈ K[x] là một đa thức trong K[x], là hệ số của đơn thức
(iv) d(f) ∈ N là bậc của y trong đơn thức khởi đầu của f theo quan hệ thứ tự từ điển.
(v)LC(f) = coef(f, yd(f))là một đa thức trongK[x], hệ số của đơn thức
yd(f) của f, được gọi là hệ số khởi đầu của f.
Một vài kí hiệu trong Chương 2 liên quan đến cơ sở Groebner vẫn sẽ được sử dụng như lm(f), deg(f), lt(I), ..., trong đĩ LC(f) khơng thật sự giống với kí hiệulc(f) trong định nghĩa 2.2.1, Chương 2. Hơn nữa,d(f) cũng khác
deg(f).
3.1.2 Định nghĩa. ChoF = {f1, f2, ..., ft} ⊆A = K[x1, x2, ..., xn] là cơ sở Groebner của I = hf1, f2, ..., fti. F là cơ sở Groebner tối tiểu của I nếu với mọij, i ≤ t, lt(fi) khơng chia hết lt(fj) với mọi j 6= i.
Nĩi chung, một cơ sở Groebner tối tiểu khơng giống với cơ sở Groebner rút gọn và khơng duy nhất. Tuy nhiên, cơ sở Groebner rút gọn là cơ sở Groebner tối tiểu. Định lý sau giới thiệu cấu trúc tổng quát của một cơ sở Groebner tối tiểu của các iđean trong K[x, y].
3.1.3 Định lý. Cho I = hf0, f1, ..., fki là một iđêan của K[x, y] trong đĩ
F = {f0, f1, ..., fk} ⊆ K[x, y]là một cơ sở Groebner tối tiểu củaI, được sắp xếp theo chiều tăng của các đơn thức khởi đầu. Khi đĩ, với mỗii = 0,1, ..., k,
fi = P HiGi+1...Gk+1 trong đĩ P = primpart(f0) và Gk+1 = content(fk), Hi ∈ K[x, y] là monic in y, và với mọi i = 0, ..., k −1, Gi+1 = LC(fi) LC (fi+1) ∈ K[x].
3.1.4 Bổ đề. Với mọi i = 1, ..., k ta cĩ d(fi−1) < d(fi).
Chứng minh. Vì F được sắp xếp theo chiều tăng của các đơn thức khởi đầu nên d(fi−1) ≤d(fi). Giả sử d(fi−1) = d(fi). Khi đĩ,
lm(fi−1) =ci−1xlyd(fi) và lm(fi) =ci.xj.yd(fi)
với ci−1, ci ∈ K và j, l ∈ N. Vì F là cơ sở Groebner tối tiểu nên điều giả sử là sai, do đĩd(fi−1) < d(fi).
3.1.5 Bổ đề. Với mọi i = 1, ..., k ta cĩ LC(fi) chia hếtLC(fi−1)
Chứng minh. Chọn i ∈ {1, ..., k}. Theo Bổ đề 3.1.4, d(fi) −d(fi−1) > 0. Hiển nhiên yd(fi)−d(fi−1).fi−1 và fi là các đa thức trong I, cĩ bậc của y bằng
d(fi). Cho gi = LC(fi) và đặt d = U CLN(gi−1, gi). Khi đĩ tồn tại a, b ∈
K[x] sao cho d = agi−1 +bgi. Đặt
h = ayd(fi)−d(f(i−1)).fi−1 +bfi ∈ I.
Khi đĩ tồn tạimi−1, mi ∈ K[x, y] với d(mi−1), d(mi) < d(fi) sao cho
h = dyd(fi) +ami−1 +bmi.
Vì h ∈ I và F là cơ sở Groebner của I, lt(h) ∈ lt(F). Khi đĩ tồn tại các đơn thứcqi ∈ K[x, y] sao cho
lt(h) =
k
X
j=0
qj.lt(fj).
Khi đĩ, tồn tại j ≤i, sao cho
lt(h) = lt(dyd(fi)
) = lt(qj).lt(fj) =lt(qj).yd(fj)
.lt(gj).
Vì vậy ta cĩ,
deg(gi) ≥deg(d) ≥ deg(gj) ≥deg(gi)
(Bất đẳng thức này được suy ra từ chứng minh của Bổ đề 3.1.4). Điều này kéo theo deg(d) = deg(gi). Suy ra d và gi sai khác nhau một hằng số. Vì vậy gi chia hết gi−1.
3.1.6 Bổ đề. Nếu Gi+1 = LC(fi) LC(fi+1) thì Gi+1.fi+1 ∈ hfi, fi−1, ..., f0i với mỗi i = 0, ..., k−1. Chứng minh. Cố địnhi ∈ {0, ..., k}. Từ Bổ đề 3.1.5 ta đượcGi+1 = LC(fi) LC(fi+1) ∈ K[x]. Khi đĩ, h = Gi+1fi+1−yd(fi+1)−d(fi)fi
là một phần tử của I. Vì F là một cơ sở Groebner của I nên Định lý 2.2.11 kéo theo h→F 0. Vì vậy, theo Mệnh đề 2.2.8, Chương 2, ta cĩ:
0 = h− t X j=0 cj lc(fj)Tjfj
trong đĩ với mỗij,cj ∈ K,fj ∈ F, Tj ∈ K[x, y]và max{lt(Tj.fj)} = lt(h). Theo định nghĩa của h,
lt(h) < yd(fi+1) ≤lt(fi+1).
Vì vậy, với mọi j > i, cj = 0 vìF được sắp xếp theo chiều tăng của các đơn thức khởi đầu. Theo đĩ, ta được,
Gi+1fi+1 = yd(fi+1)−d(fi)fi+ i X j=0 cj lc(fj)Tjfj.
Khi đĩ suy ra: Gi+1fi+1 ∈ hfi, fi−1, ..., f0i.
3.1.7 Bổ đề. Với mọi i = 0, ..., k, ta cĩ primpart(f0) chia hết fi.
Chứng minh. Cho P = primpart(f0). Hiển nhiên P chia hết f0. Giả sử
P chia hết fj, với mọi j ≤ n < k. Khi đĩ với mọi j ≤ n, fj = hjP,
hj ∈ K[x, y]. Theo Bổ đề 3.1.6, tồn tại kj, ..., k0 ∈ K[x, y] sao cho
Gj+1fj+1 = kjfj +kj−1.fj−1 +...+k0f0.
Kết hợp với giả thiết quy nạp, ta được:
Gj+1fj+1 = P(kjhj +kj−1hj−1 +...+ k0h0).
Do đĩ,P chia hếtGj+1fj+1. VìP là nguyên sơ trongK[x, y]vàGj+1 ∈ K[x]
3.1.8 Bổ đề. Nếu U CLN {fi} = 1 thì với mọi i = 1, ..., k, LC(fi) chia hết
fi.
Chứng minh. Nếu
U CLN {fi} = 1
thì từ Bổ đề 3.1.7 ta được, P = primpart(f0) = 1. Khi đĩ, f0 ∈ K[x] và theo định nghĩa,LC(f0) =f0. Giả sửLC(fj)chia hếtfj với mọij ≤ n < k. Khi đĩ, Bổ đề 3.1.5 chỉ ra rằngLC(fj)chia hết fi với mọi i ≤j. Vì vậy tồn tạihi ∈ K[x, y] sao cho fi = hi.LC(fj). Khi đĩ Bổ đề 3.1.6 chỉ ra:
Gj+1fj+1 = kjfj+kj−1fj−1+...+k0f0 = LC(fj).(kjhj+kj−1hj−1+...+k0h0)
với k0, k1, ..., kj ∈ K[x, y]. Do đĩ,
LC (fj)
LC(fj+1)fj+1 = LC (fj).l
trong đĩ l ∈ K[x, y]. Khi đĩLC(fj+1) chia hết fj+1 với mọi j < k. 3.1.9 Bổ đề. NếuU CLN {fi}= 1 thì LC(fk) = 1.
Chứng minh. Vì với mỗi j = 0, ..., k − 1, LC(fj+1) chia hết LC(fj) và
LC(fj) chia hết fj nên khi đĩ LC(fk) chia hết fj với mọi j ≤ k. Khi đĩ
U CLN {fi} = 1 kéo theo LC(fk) = 1. Suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh Định lý 3.1.3 Giả sử định lý đúng với U CLN {fi} = 1. Xét trường hợp U CLN {fi} 6= 1. Khi đĩ tồn tại D ∈ K[x, y] sao cho với mỗi
i = 1,2, ..., k, ta cĩ:
fi = DFi vàU CLN(F0, F1, ..., Fk) = 1.
Theo giả thiết{F0, F1, ..., Fk}là cơ sở Groebner tối tiểu củaJ = hF0, F1, ..., Fki
và định lý đúng với {F0, F1, ..., Fk}. Ta cĩ F0 = P H0G1...Gk+1 với P = primpart(F0) suy ra H0|content(F0) ∈ K[x] và vì H0 là monic in y nên
H0 = 1. Hơn nữa, P = 1 và Gk+1 = 1 được suy ra từ U CLN {Fi} = 1 và hơn nữa với mọi i = 0,1, ..., k, ta cĩ:
trong đĩ Gi và Hi được định nghĩa như trong Định lý 3.1.3. Lưu ý rằng với mọii = 1, ..., k, ta cĩ:
fi = D.Hi.Gi+1....Gk.
Đặc biệt, f0 = D.G1...Gk trong đĩ G1, ..., Gk ∈ K[x], suy ra D = pd trong đĩ p = primpart(f0) và d ∈ K[x]. Vì fk = D.Hk = pdHk, trong đĩ Hk là monic iny, d = content(fk) nên d = Gk+1. Khi đĩ, với mọi i = 0,1, ..., k,
fi = pHiGi+1...Gk+1
trong đĩ mỗi Hi là monic in y, và với mọi i = 0,1, ..., k −1, LC(fi)
LC (fi+1) =
LC(D).LC (Fi)
LC (D).LC(Fi+1) = Gi+1,
Do đĩ định lý đúng với{fi}.
Bây giờ, ta chứng minh trong trường hợpU CLN {fi} = 1,P = primpart(f0),
Gk+1 = content(fk), và với mỗi i = 0,1, ..., k, Hi = fi
LC(fi). Khi đĩ,
P = 1 = Gk+1
được suy ra từ Bổ đề 3.1.7 và 3.1.9. Hơn nữa, theo Bổ đề 3.1.8,Hi ∈ K[x, y]
là monic in y. Khi đĩ với mọi i ≤ k,
fi = Hi.LC(fi) = Hi. LC(fi) LC (fi+1). LC(fi+1) LC(fi+2).... LC (fk−2) LC (fk−1). LC(fk−1) LC (fk) .
Bằng cách giản ước các nhân tử chung và biến đổi ta được LC(fk) = 1 và theo Bổ đề 3.1.9, ta được:
fi = P HiGi+1...Gk+1
trong đĩ với mỗi i = 0, ..., k − 1 thì Gi+1 = LC(fi)
LC(fi+1) ∈ K[x] theo Bổ đề 3.1.5.
Ví dụ sau sẽ chỉ ra cấu trúc của một cơ sở Groebner tối tiểu như đã được mơ tả trong Định lý 3.1.3, trong đĩ ta giả sử K = R, tập các số thực.
3.1.10 Ví dụ. ChoF = {f0, f1, f2, f3}, trong đĩ
Hiển nhiên,1 =G4 = content(f3) =P = primpart(f0)vàGi+1 = LC(fi) LC(fi+1) suy ra G1 = x2, G2 = x4, G3 = x. Do đĩ, H0 = 1, H1 = y2 −yx, H2 = y4 −y3x2, H3 = y6 −y5. 3.2 Tính tốn các thành phần nguyên sơ 3.2.1 Bổ đề. Cho I = hf0, ..., fki trong đĩ F = {f0, ..., fk} ⊆ K[x, y] là một cơ sở Groebner tối tiểu của I. ChoF được sắp xếp theo chiều tăng của các đơn thức khởi đầu và U CLN {fi} = 1. Nếu Gj và Hj được định nghĩa như trong Định lý 3.1.3 thì với mọi j = 1, ..., k, ta cĩ I ⊆ hHj, Gji.
Chứng minh. Cố định j ∈ {1, ..., k} và chọn i ∈ {0, ..., k}. Theo Định lý 3.1.3, fi = P HiGi+1...Gk+1. Vì vậy, nếui ≤ j thìfi ∈ hHj, Gji. Nếu i > j, ta chứng minh Hi ∈ hHj, Gji. Quy nạp theo n, trong đĩ i = j + n. Xét
n= 1. Vì Hj+1 = fj+1
LC(fj+1) và Gj+1 = LC(fj)
LC(fj+1) nên,
Gj+1fj+1 = LC(fj).Hj+1.
Theo kết quả của Bổ đề 3.1.6,
LC(fj).Hj+1 = kjfj +...+k0f0
vớik0, k1, ..., kj ∈ K[x, y]. Chia cả hai vế của đẳng thức trên cho LC(fj) và theo cách xây dựng của F, ta cĩ:
Hj+1 = kjHj+kj−1Hj−1Gj+kj−2Hj−2Gj−1Gj+...+k1H1G2...Gj+k0H0G1...Gj.
Khi đĩ, với mọi m ≤ j,
Hj+1 ∈ hHj, Hj−1, ..., Hm+1, Hm, Gmi.
Suy ra, Hj+1 ∈ hHj, Gji. Giả sử với l < n, Hj+l ∈ hHj, Gji. XétHj+n. Cĩ,
và theo giả thiết quy nạp,
Hj+n−1, Hj+n−2, ..., Hj+1 ∈ hHj, Gji.
Do đĩ, Hj+n ∈ hHj, Gji với mọi n∈ N. Suy ra,
Hi ∈ hHj, Gji
với mọii ≥ j. Khi đĩ với mọi i và j, fi ∈ hHj, Gji.
Định lý sau cho thấy sự biểu diễn của các iđêan tối đại chứaI = hf0, ..., fki. Các iđêan tối đại này sẽ là cơ sở cho quá trình tính tốn các thành phần nguyên sơ của I.
3.2.2 Định lý. Cho F = {f0, ..., fk} ⊆ K[x, y] được xây dựng như trong Định lý 3.1.3 và U CLN {fi} = 1. Khi đĩ,
(i) Một iđêan tối đại chứa tất cả các fi khi và chỉ khi iđêan đĩ chứa ít nhất một cặp Gi, Hi.
(ii) Một iđêan tối đại chứa F được sinh bởi một nhân tử bất khả quyu(x)
của Gi trong K[x] và một nhân tử bất khả quy v(x, y) của Hi mođun u(x).
Chứng minh. (i) Gọi m là một iđêan tối đại trong K[x, y] sao cho F ⊆ m. Theo chứng minh Định lý 3.1.3, ta cĩ:
f0 = G1...Gk+1 ∈ m
kéo theo tồn tại j ≤ k + 1 sao cho Gj ∈ m. Gọi l là số lớn nhất sao cho
Gl ∈ m. Khi đĩ, fl = P HlGl+1....Gk+1 suy ra Hl ∈ m. Ngược lại, nếu
Gl, Hl ∈ m thì từ Bổ đề 3.2.1 ta được F ⊆ m.
(ii) Cho m là một iđêan tối đại của K[x, y] chứa F, khi đĩ theo (i), tồn tạii ∈ {1, ..., k} sao cho hGi, Hii ⊆ m. Do đĩ, m chứa một phần tử bất khả quy u(x) của Gi. Xét phép chiếu sau:
φ : K[x] [y] → (K[x]/hu(x)i) [y].
ĐặtL = K[x]/hu(x)i, suy raφ(m) là một iđêan tối đại của L[y]vàφ(Hi) ∈
v(x, y) ∈ K[x, y] sao choφ(v(x, y)) = α. Vì vậy nên hu(x)i ⊆ m, v(x, y) ∈
m. Hơn nữa, L[y]/hφ(v(x, y))i là một trường vì L[y] là một miền nguyên các iđêan chính và hφ(v(x, y))i là tối đại. Theo định lý đẳng cấu, ta cĩ
L[y]/hφ(v(x, y))iđẳng cấu vớiK[x, y]/hu(x), v(x, y)i. Do đĩ,hu(x), v(x, y)i
là tối đại và bằng m.
Ta để ý rằng điều kiện trong Định lý 3.2.2 là các fi khơng cĩ ước chung, suy ra I = hf0, f1, ..., fki là một iđêan chiều 0 của K[x, y]. Do đĩ, I khơng cĩ iđêan nguyên tố nhúng. Hơn nữa, vì mỗi thành phần nguyên tố của I là một iđêan tối đại nên nĩ cĩ thể được tính tốn như trong Định lý 3.2.2. Ví dụ sau đây sử dụng Định lý 3.2.2 để xác định các iđêan tối đại chứa iđêan chiều0 sinh bởi F = {f0, f1, f2, f3} ⊆ R[x, y] của Ví dụ 3.1.10.
3.2.3 Ví dụ. Cho I = hf0, f1, f2, f3i trong đĩ,
f0 = x7, f1 = y2x5 −yx6, f2 = y4x−y3x3, f3 = y6 −y5.
Gọi G1 = x2, G2 = x4, G3 = x, H1 = y2 −yx, H2 = y4 − y3x2 và H3 = y6 −y5. Khi đĩ, các iđêan tối đại chứa I là:
m1 = hx, yi và m2 = hx, y −1i,
trong đĩ hG1, H1i,hG2, H2i,hG3, H3i ⊂ m1 và hG3, H3i ⊂ m2.
Thuật tốn sau tính tốn thành phần nguyên sơ của iđêanI cĩ số chiều là khơng.
Thuật tốn
Cho hf0, f1, ..., fki là một iđêan chiều 0 của K[x, y], được cho bởi một cơ sở Groebner tối tiểu xây dựng như trong Định lý 3.1.3 với P Gk+1 = 1, và chohu(x), v(x, y)i là một iđêan tối đại chứafi, được tính tốn như trong Định lý 3.2.2.
Input: hf0, f1, ..., fki; hu(x), v(x, y)i.
Output: Một cơ sở của thành phần nguyên sơ củaI tương ứng vớihu(x), v(x, y)i. Begin: 1. REPLACE f0 bởiu(x)m
trong đĩ m là lớn nhất sao cho u(x)m|f0.
2. Biểu diễn Hk dưới dạng w(x, y)v(x, y)n +z(x, y)u(x)
trong đĩv(x, y) vàw(x, y) là nguyên tố cùng nhau mơđunu(x). Tìm s ≡ v(x, y)n mơđun u(x) và t ≡w(x, y) mơđun u(x)
sao cho Hk ≡st mơđun u(x)m. REPLACE Hk bởi s.
3. REMOVE mọi fi ∈ {f1, ..., fk−1}
trong đĩ u(x)m|fi hoặc s|fi.
Để xem s vàt được tính tốn thế nào trong bước 2 của thuật tốn trên, ta xem xét các mệnh đề sau.
3.2.4 Mệnh đề. Cho A = K[x, y], trong đĩ K là một trường. Cho m =
hu(x), v(x, y)i là một iđêan tối đại của A trong đĩ u(x) là bất khả quy trong K[x], và v(x, y) là bất khả quy trên trường L = K[x]/hu(x)i. Lấy
H ≡ v(x, y)nw(x, y) mơđun u(x); v và w nguyên tố cùng nhau mơđun u. Khi đĩ, với mọi số nguyên r, tồn tại sr(x, y) và tr(x, y) sao cho sr ≡ vn
mơđunu, tr ≡w mơđun u và H ≡ srtr mơđun ur.
Chứng minh. Quy nạp theo r. Nếu r = 1, theo giả thiết ta cĩ s1(x, y) = v(x, y)n và t1(x, y) = w(x, y). Giả sử đúng với r, khi đĩ H ≡ srtr mơđun
ur trong đĩ sr ≡ vn mơđun u, tr ≡ w mơđun u. Do đĩ, H −srtr ∈ huri. Cho H −srtr = ur.z, trong đĩ z ∈ K[x, y]. Vì sr ≡ vn mơđun u và tr ≡ w
mơđunu, sr = φ(sr) vàtr = φ(tr) là nguyên tố cùng nhau trong L[y], trong đĩ φ được định nghĩa như trong chứng minh Định lý 3.2.2(ii). Vì vậy tồn tạiα và β sao cho
sr.α+tr.β = 1
trong đĩα ∈ L[y]và β ∈ L[y]cĩ thể được tìm theo thuật tốn Euclide. Đặt
φ(α) = α, φ(β) = β, sr+1 = sr + βzur;tr+1 = tr + αzur. Hiển nhiên,
sr+1 ≡ sr mơđun u vàtr+1 ≡ tr mơđun u. Khi đĩ,
Thêm nữa, ta cĩ sr.α+ tr.β = 1 nên srα + trβ = 1 + au với a ∈ K[x, y]. Do đĩ, sr+1tr+1 = srtr+ (1 +au)zur +αβz2u2r = srtr+ zur +azur+1 +αβz2u2r = H +azur+1 +αβz2u2r. Vì vậy, azur+1 +αβz2u2r ∈ ur+1, H ≡sr+1tr+1 mơđun ur+1.
Lưu ý rằng trong chứng minh trên các bước quy nạp được sử dụng như trong bước hai của Định lý 3.1.3 để dần dần thiết lập sm và tm trong đĩ m
là số lớn nhất sao cho um|f0.
Định lý sau chỉ ra rằng phân tích nguyên sơ của iđêan chiều 0 trong
K[x, y] cĩ thể được tính tốn theo thuật tốn trên.
3.2.5 Định lý. Cho I = hf0, f1, ..., fki trong đĩ F = {f0, f1, ..., fk} ⊆
K[x, y] là một cơ sở Groebner tối tiểu của I được xây dựng như trong Định lý 3.1.3 vàU CLN {fi} = 1. Khi đĩ ứng dụng của thuật tốn cho mỗi iđêan
mđược tính tốn trong Định lý 3.2.2 là chỉ ra thành phần nguyên sơ của m
trong phân tích nguyên sơ của I.
Chứng minh. VìI là một iđêan chiều 0trong vành NoetherA = K[x, y]nên thành phần nguyên tố tối tiểu của I là các iđêan tối đại, ta chỉ ra rằng I cĩ một phân tích nguyên sơ khơng thể rút gọn được duy nhất như sau:
I = Q01 ∩Q02 ∩ ...∩Q0r,
trong đĩ với mỗii = 1, ..., r, p
Q0i = mi là một iđêan tối đại chứa I. Khi đĩ
mi = hu, vi, trong đĩ với mọi j, u là một nhân tử bất khả quy củaGj vàv là