BÀI TOÁN 4 (IMO 2010) Tìm tất cả các dãy số nguyên dương () thỏa mãn tính chất

( + )( + ) là sốchính phương với mọi sốnguyên dương , .

Lời giải.Trước hết ta chứng minh bổđề sau:

Bổ đề. Nếu là một số nguyên tố thỏa mãn | − thì | − .

Chứng minh.Ta xét hai trường hợp sau:

TH1. | − suy ra = + , trong đó là một số nguyên. Chọn số đủ lớn sao cho

> { , } và không chia hết cho . Lấy = − ta được

+ = ≡( ) và + không chia hết cho

+ = + + − = + ≡( )

+ ≡ 0( )

+ ≡ 0( ) suy ra − ≡0( ).

TH2. | − và − không chia hết cho .

Chọn sao cho = − và không chia hết cho . Khi đó ta được:

+ =

+ = + − ≡0( ) và + không chia hết cho .

Mặt khác ( + )( + ) và ( + )( + ) là các sốchính phương nên:

+ ≡ 0( )

+ ≡ 0( ) suy ra − ≡0( ).

Vậy bổđềđược chứng minh.

Trở lại bài toán ta thấy nếu = thì với số nguyên tố đủ lớn > ( , ) theo bổ đề ta

được | − , điều này chỉ xảy ra khi = .

Cũng theo bổ đề trên dễ thấy | − | = 1 với mọi số nguyên dương . Từ đây ta được

− = 1 hoặc − = −1.

+) Nếu − = 1 hay = + 1. Do | − | = 1| − −1| = 1 − −1 =

1 = + 2 (ta thấy không xảy ra trường hợp − −1 = −1 ℎ = →3 = 1 vô

lí).

Do đó bằng quy nạp ta suy ra = + −1 = + với mọi sốnguyên dương . Thử lại ta thấy thỏa mãn.

+) Nếu − =−1 hay = −1. Do | − | = 1| − + 1| = 1 − +

1 =−1 = −2 (ta thấy không xảy ra trường hợp − + 1 = 1 ℎ = 3 =

1 vô lí).

Do đó bằng quy nạp ta suy ra = − + 1 với mọi sốnguyên dương . Điều này không xảy ra vì với đủ lớn thì < 0 vô lí. Vậy trường hợp này không xảy ra.

Vậy = + , với mọi nguyên dương và là một hằng số nguyên không âm.

Dựa theo bài toán 4ta thu được bài toán sau:

Bài 4.1 Tìm tất cả các dãy số nguyên dương ( ) thỏa mãn tính chất ( + )( + ) + ) là lập phương của một sốnguyên dương với mọi sốnguyên dương , , .

Lời giải.

Trước hết ta chứng minh bổđề sau:

Bổ đề. Nếu là một số nguyên tố thỏa mãn | − thì | − .

Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau:

TH1. | − suy ra = + , trong đó là một số nguyên. Chọn các số , đủ lớn

sao cho , > { , } và , không chia hết cho .

Lấy = − , = − ta được

+ = ≡( ) và + không chia hết cho

+ = ≡ 0( ) và + không chia hết cho .

Do ( + )( + )( + ) là lập phương của một số nguyên dương nên + ≡

0( ). (1)

Mặt khác + = + + − ≡0( ) và + không chia hết cho .

Theo giả thiết ta có ( + )( + )( + ) là lập phương của một số nguyên dương nên

+ ≡ 0( ). (2)

Từ(1) và (2) ta được − ≡0( ).

TH2. | − và − không chia hết cho . Đặt = + , trong đó là số nguyên

không chia hết cho .

Chọn các số , đủ lớn sao cho , > { , } và , không chia hết cho . Khi

đó lấy = − và = − . Khi đó ta được:

+ = ≡ 0( ) và + không chia hết cho .

+ = ≡ 0( ) và + không chia hết cho .

Do ( + )( + )( + ) là lập phương của một số nguyên dương nên + ≡

0( ). (3)

Mặt khác + = + + − ≡0( ) và + không chia hết cho .

Theo giả thiết ta có ( + )( + )( + ) là lập phương của một số nguyên dương nên

+ ≡ 0( ). (4)

Trở lại bài toán ta thấy nếu = thì với số nguyên tố đủ lớn > ( , ) theo bổ đề ta

được | − , điều này chỉ xảy ra khi = .

Cũng theo bổ đề trên dễ thấy | − | = 1 với mọi số nguyên dương . Từ đây ta được

− = 1 hoặc − = −1.

+) Nếu − = 1 hay = + 1. Do | − | = 1| − −1| = 1 − −1 =

1 = + 2 (ta thấy không xảy ra trường hợp − −1 =−1 ℎ = 3 = 1 (vô

lí).

Do đó bằng quy nạp ta suy ra = + −1 = + với mọi sốnguyên dương . Thử lại ta thấy thỏa mãn.

+) Nếu − =−1 hay = −1. Do | − | = 1| − + 1| = 1 − +

1 =−1 = −2 (ta thấy không xảy ra trường hợp − + 1 = 1 ℎ = 3 =

1 vô lí).

Do đó bằng quy nạp ta suy ra = − + 1 với mọi số nguyên dương . Điều này không xảy ra vì với đủ lớn thì < 0 vô lí. Vậy trường hợp này không xảy ra.

Vậy = + , với mọi nguyên dương và là một hằng số nguyên không âm.

Bài 4.2 (tổng quát của bài toán 4.1) . Tìm tất cả các dãy số nguyên dương ( ) thỏa mãn tính

chất + + … + + là lũy thừa bậc của một số nguyên

dương với mọi số nguyên dương , , … , , trong đó là số nguyên dương lớn hơn cho

trước.

Bây giờ ta sẽ tổng quát bài toán 4 (IMO 2010) theo hướng khác. Trong bài toán 4 ta thay giả thiết bằng ( + )( + ) là số chính phương với mọi số nguyên dương , ;

trong đó là một sốnguyên dương cho trước. Khi đó ta phát biểu bài toán như sau:

Bài toán A. Cho là một sốnguyên dương cho trước. Tìm tất cả các dãy số nguyên dương ( )

thỏa mãn tính chất ( + )( + ) là sốchính phương với mọi sốnguyên dương , . Trong quá trình tìm lời giải bài toán A, tôi nhận thấy là bài toán rất khó và có thể không giải được trong trường hợp là số nguyên dương bất kì. Tuy nhiên khi ta xét trong một số trường hợp đặt biệt ta sẽ giải được bài toán. Các bài toán trong trường hợp là các sốđặc biệt sẽ

lần lượt xét ởdưới đây và chúng cũng là những bài toán rất khó.

Trước hết ta chứng minh các bổđề sau:

Bổ đề 1. Cho , là hai số nguyên tố khác nhau và là một số nguyên dương cho trước. Khi đó

Chứng minh.

Chọn = + pm = + ≡1( ) suy ra tồn tại số nguyên dương sao

cho = 1 + (1)

Chọn sao cho − không chia hết cho . Lấy = − và kết hợp với (1) ta được:

= − + ( − ) =− + ( − + ) + = ( − +

). Do đó + chia hết cho nhưng không chia hết cho . Từđó ta chọn = ta

được kết luận của bổđề.

Bổ đề 2. Cho , là hai số nguyên tố khác nhau và là một số nguyên dương cho trước. Khi đó

luôn tồn tại sốnguyên dương sao cho + chia hết cho nhưng không chia hết cho .

Chứng minh. Theo định lí Euler ta có ≡1( )

Chọn = + pm = + ≡1( ) suy ra tồn tại số nguyên dương

sao cho = 1 + (2)

Chọn sao cho − không chia hết cho . Lấy = − và kết hợp với (2) ta được:

= − + ( − ) =− + ( − + ) + =

( − + ). Do đó + chia hết cho nhưng không chia hết cho . Từđó ta

chọn = ta được kết luận của bổđề.

Bổ đề 3. Cho , là hai số nguyên tố khác nhau và , là các số nguyên dương cho trước. Khi

đó luôn tồn tại số nguyên dương sao cho + chia hết cho nhưng không chia hết cho .

Chứng minh.Theo định lí Euler ta có ≡1( )

Chọn = + pm = + ≡ 1( ) suy ra tồn tại số nguyên dương

sao cho = 1 + (3)

Chọn sao cho − không chia hết cho . Lấy = − và kết hợp với (3) ta được:

= − + ( − ) =− + ( − + ) + =

( − + ). Do đó + chia hết cho nhưng không chia hết cho . Từ đó ta chọn = ta được kết luận của bổđề.

Bổ đề 4. Cho  và là một số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương

, sao cho ( + + )( + + ) không là sốchính phương.

Chọn sao cho − không chia hết cho , trong đó = + 1. Đặt = + − và dễ

thấy không chia hết cho . Từđó suy ra = + − = ( − ) + − +

. Đặt = − ta được: = + + + 1.

Bây giờ ta chọn = + 1. Khi đó ( + + )( + + ) = ( + + + 1)( + +

+ ) = ( + −1) không là số chính phương vì không chia hết cho . Vậy bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 5. Cho số nguyên dương > 1, là một số nguyên tố và là một số nguyên dương.

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương , sao cho số ( + + ( −1) )( + + ( −1) ) không là sốchính phương.

Chứng minh.

Do > 1 nên −1có ước nguyên tố khác . Giả sử là sốnguyên dương sao cho

−1 chia hết cho nhưng không chia hết cho . Khi đó tồn tại không chia hết cho

sao cho = 1 + . Gọi là số tự nhiên sao cho + = , trong đó không chia

hết cho .

Chọn = 1ta được:

( + + ( −1) )( + + ( −1) ) = ( + )( + + ( −1) ) = ( +

)− ( −1)− ( −1) ( + ) (4)

Theo bổ đề 3 tồn tại sốnguyên dương sao cho + = , trong đó không chia hết

cho .

Do đó với = 1, được chọn như trên và kết hợp với (4) ta thu được

( + + ( −1) )( + + ( −1) ) = ( −( + ) )

= ( − . ) = . . . ( − )

Không là số chính phương vì . ( − ) không chia hết cho . Vậy bổ đềđược chứng minh.

Bổ đề 6. Nếu là một số nguyên tố thỏa mãn | − thì | ( − ).

Ta xét hai trường hợp sau:

TH1. | − suy ra = + , trong đó là một số nguyên. Theo bổ đề 1 ta chọn được

sao cho + chia hết cho và không chia hết cho . Từđó ta được:

+ = + + − ≡( )nhưng không chia hết cho .

Mặt khác ( + )( + ) và ( + )( + ) là các sốchính phương nên:

+ ≡ 0( )

+ ≡ 0( ) suy ra ( − ) ≡0( ).

TH2. | − và − không chia hết cho .

Theo bổ đề 2 thì tồn tại sốnguyên dương sao cho: + chia hết cho nhưng không chia

hết cho . Khi đó ta được:

+ chia hết cho nhưng không chia hết cho

+ = + − ≡ 0( ) và + không chia hết cho .

Mặt khác ( + )( + ) và ( + )( + ) là các sốchính phương nên: + ≡ 0( ) + ≡ 0( ) suy ra ( − ) ≡0( ). Vậy bổđềđược chứng minh. Bổ đề 7. Nếu = thì = . Chứng minh.

Giả sử là số nguyên tố đủ lớn sao cho > | − |. Khi đó từ giả thiết suy | −

suy ra | ( − ) vô lí. Vậy bổđềđược chứng minh.

Bổ đề 8. Cho là một số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên

, và > 1 thỏa mãn đẳng thức −1 = 2 .

Chứng minh.Ta xét hai trường hợp sau:

TH1. Nếu là số lẻ khi đó −1 = ( −1)( + +⋯+ + 1) có ước nguyên tố

lẻ, vô lí.

TH2. Nếu = 2 thì −1 = 2  p −1 p + 1 = 2 . Từđây suy ra tồn tại hai số tự

nhiên , sao cho −1 = 2 ; + 1 = 2 2 −2 = 2s = 1; t = 2. Do đó ta được

= 1, = 3 vô lí.

Vậy bổđềđược chứng minh.

Bổ đề 9. Cho là một số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên , và

Chứng minh.Ta xét các trường hợp sau:

TH1. Nếu là số lẻ thì + 1 = ( + 1)( − +⋯ − + 1) có ước nguyên tố lẻ, vô

lí.

TH2. Nếu là một số chẵn, = 2 .

(i) Nếu là một số chẵn, = 2 ta có 2 ≡ 1( 3) nên chia hết cho hay = 3. Tiếp theo ta có: (2 −1)(2 + 1) = 3^ . Từđây suy ra tồn tại hai số tự nhiên , sao cho 2 −1 = 3 ; 2 + 1 = 3 3 −3 = 2s = 0; t = 1. Do đó ta được = 1, = 3, = 1 vô lí.

(ii) Nếu là một số lẻ = 2 + 1 thì thay vào phương trình ta được: ( ) −2. (2 ) =−1 suy ra ( ; 2 ) là nghiệm nguyên dương của phương trình Pell loại 2: −2 =−1

(1)

Xét phương trình Pell loại 1 liên kết với phương trình trên: −2 = 1 (2)

Phương trình (2) có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là (3; 2). Khi đó ta xét hệ phương trình:

3 = + 2 2 = 2

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1; 1). Do đó ( ; ) là tất cả các nghiệm của phương

trình (1) và được xác định như sau:

= 1, = 7, = 6 − ; = 1, = 5, = 6 −

Từđó suy ra = 7, kết hợp với là số lẻnên ta có các trường hợp sau:

+) = 6ℎ+ 12 = (64) . 2≡ 2( 7), 7 + 1≡ 1( 7)suy ra trường hợp này không xảy ra.

+) = 6ℎ+ 52 = (64) . 2^5≡5( 7), 7 + 1≡ 1( 7) suy ra trường hợp này không xảy ra.

+) n h   m s  

n6h 3 3u2 64 .80 mod16 ;7  1 49  1 2 mod16

suy ra trường hợp này không xảy ra. Vậy bổđềđược chứng minh.

Bài 4.3 Cho là một số nguyên tố. Xét tất cả các dãy sốnguyên dương ( ) thỏa mãn tính chất

( + )( + ) là một sốchính phương với mọi sốnguyên dương , .

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương tồn tại số tự nhiên sao cho | −

b) Chứng minh rằng không thể xảy ra đẳng thức | − | = 1 với mọi sốnguyên dương

.

Lời giải

a) Nếu số − có một ước nguyên tố , với là một số nguyên dương nào đó. Khi đó

theo bổ đề 6 ta có =

| ( + 1− ) hay = . Do đó − chỉcó hai ước là hoặc . Do đó tồn tại số tự nhiên sao cho | − | = .

b) Giả sửđẳng thức | − | = 1 xảy ra với mọi sốnguyên dương .

Khi đó ta có − = 1 hoặc − =−1.

+) Nếu − = 1 hay = + 1. Do | − | = 1| − −1| = 1 − −1 =

1 = + 2 (ta thấy không xảy ra trường hợp − −1 =−1 ℎ = 3 = 1 vô

lí, do bổ đề 7).

Do đó bằng quy nạp ta suy ra = + −1 = + với mọi số nguyên dương

.Theo bổ đề 3 dãy xác định như vậy không thỏa mãn.

+) Nếu − =−1 hay = −1. Do | − | = 1| − + 1| = 1 − +

1 =−1 = −2 (ta thấy không xảy ra trường hợp − + 1 = 1 ℎ = 3 =

1 vô lí, do bổ đề 7).

Do đó bằng quy nạp ta suy ra = − + 1 với mọi số nguyên dương . Điều này không xảy ra vì với đủ lớn thì < 0 vô lí. Vậy trường hợp này không xảy ra.

Vậy ta có kết luận của phần b

Bài 4.4 Cho là một số nguyên tố thỏa mãn tính chất với mọi số nguyên dương thì + 1 và

−1 không có dạng 2 , trong đó là một số nguyên dương. Xét tất cả các dãy số nguyên

dương ( ) thỏa mãn tính chất ( + )( + ) là một số chính phương với mọi số nguyên dương , .

a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho | − | = , với mọi số nguyên dương .

b) Chứng minh rằng −2 + = 0 với mọi = 2, 3, 4, …

Lời giải.

a) Theo bài 4.3 ta có với mỗi số nguyên dương thì tồn tại số tự nhiên sao cho

| − | = , từ đây suy ra | − | = và | − | = và giả sử ≥ . Khi đó

sẽ xẩy ra hai trường hợp sau:

TH1. Nếu − = và − =  − = + = ( + 1), theo giả

thiết nếu > thì + 1 sẽcó ước nguyên tố khác 2, . Mặt khác theo bổ đề 6 của thì các

TH2. Nếu − = và − = −  − = − = ( −1), theo giả thiết nếu > thì + 1 sẽcó ước nguyên tố khác 2, . Mặt khác theo bổ đề 6 của thì

các ước nguyên tố của − chỉ là hoặc vô lí nên = .

Do vậy ta chứng minh được = =⋯ = .

Theo bài 4.3 b thì = 0 không thỏa mãn nên là một sốnguyên dương.

b)Theo phân a ta có | − | = | − | với mọi = 2, 3, … nên xảy ra hai trường hợp:

TH1. Nếu tồn tại số nguyên dương sao cho − = −( − ) suy ra =

theo bổ đề 7ta thu được + 1 = −1 vô lí.

TH2. Nếu không tồn tại số nguyên dương sao cho − = −( − ) thì −

= − hay −2 + = 0 với mọi = 2, 3, 4, …

Bài 4.5 Cho là một số nguyên tố lớn hơn , thỏa mãn không có dạng 2 + 1 và 2 −1, trong

đó là một số nguyên dương. Tìm tất cả các dãy số nguyên dương ( ) thỏa mãn tính chất

( + )( + ) là sốchính phương với mọi số nguyên dương , .

Lời giải.

Nếu số − có một ước nguyên tố , với là một sốnguyên dương nào đó. Khi đó

theo bổ đề 6 ta có =

| ( + 1− ) hay = . Do đó − chỉcó hai ước là hoặc . Do đó với mỗi số nguyên dương thì tồn tại số tự nhiên sao cho | − | = , từđây suy

ra | − | = và | − | = và giả sử ≥ . Khi đó sẽ xẩy ra hai trường hợp sau:

TH1. Nếu − = và − =  − = + = ( + 1).

+) Nếu − > 1 thì theo bổ đề 9 ta có + 1 không có dạng 2 suy ra số + 1 sẽ có ước nguyên tố khác 2, . Mặt khác theo bổ đề 6 của thì các ước nguyên tố của − chỉ là