quy trên Q
Trong mục này, chúng ta trình bày phương pháp xét tính bất khả quy trênQbằng cách rút gọn theo môđun một số nguyên tố. Đồng thời, sử dụng phương pháp này kết hợp với Thuật toán Berlekamp để phân tích đa thức thành nhân tử trênQ. Chú ý rằng nếu p là số nguyên tố thì vànhZp các số nguyên môđun p là một trường. Với mỗi đa thức f(x) =anxn+. . .+a1x+
a0 ∈Z[x] và với mỗi số nguyên tố p, ta đặt f(x) =anxn+. . .+a1x+a0 ∈
Zp[x].
Định lí sau đây cho một công cụ rất mạnh để xét tính bất khả quy trênQ của các đa thức có hệ số nguyên.
f(x) bất khả quy trênZpthì f(x)bất khả quy trênQ.
Chứng minh.Vì f(x)bất khả quy trênZpnêndeg f(x)>0. Suy radegf(x)> 0. Giả sử f(x)khả quy trên Q. Theo Bổ đề Gauss, f(x)có phân tích f(x) =
g(x)h(x)trong đó f g(x),h(x)∈Zp[x]và f g(x),h(x)có bậc nhỏ hơn bậc của
f(x). Chú ý rằng f(x) = g(x)h(x). Do đó degf(x) = degg(x) +degh(x). Rõ ràng ta có degg(x) ≥ degg(x) và degh(x) ≥ degh(x). Vì degf(x) =
degf(x) nên degg(x) =degg(x) và degh(x) =degh(x). Do đó f(x) phân tích được thành tích của hai đa thức g(x),h(x) có bậc thấp hơn. Điều này mâu thuẫn với tính bất khả quy của f(x)trênZp.
Chú ý rằng giả thiếtdeg f(x) =degf(x) trong Định lí 2.3.1 là cần thiết. Chẳng hạn, xét đa thức f(x) =5(x−1)9+ (x−1)∈Z[x]. Đa thức này không bất khả quy trênQvì nó có ước thực sự làx−1. Ta có f(x) =x−1∈Z5[x]. Vìdegf(x) =1 nên f(x)bất khả quy trênZ5[x].
Chú ý 2.3.2. Peter Cameron đã sử dụng phương pháp rút gọn theo mô đun một số nguyên tố để đưa ra một chứng minh khác cho tiêu chuẩn Eisenstein như sau: Cho f(x) =
n
∑
i=0
aixi ∈Z[x] có bậc n và thỏa mãn giả thiết trong tiêu chuẩn Eisenstein. Giả sử f(x) khả quy trên Q. Theo Bổ đề Gauss,
f(x) =g(x)h(x), trong đóg(x) = m ∑ i=0 bixi vàg(x) = k ∑ i=0 cixi là hai đa thức có hệ số nguyên và có bậc lần lượt làm,k<n. Vì p|ai với mọii=0, . . . ,n−1
nên f(x) =anxn ∈Zp[x]. Vìan=bmck và an không là bội của p nên bm và
ck đều không là bội của p. Vì f(x) =g(x)h(x)∈Zp[x]nênanxn=g(x)h(x). Chú ý rằng anxn chỉ có duy nhất một ước bất khả quy là x. Vì thế g(x) và
h(x)cũng chỉ có đúng một ước bất khả quy làx. Do đóg(x) =bmxn∈Zp[x]
vàh(x) =ckxn∈Zp[x]. Do đóbi =cj =0∈Zpvới mọii<mvà j<k. Do đó p|c0 và p|b0, vì thế p2 |a0, vô lí.
Ví dụ 2.3.3. Các đa thức sau bất khả quy trênQ. (i) f(x) =5x2+10x+4.
(ii)g(x) =3x3+7x2+10x−5.
(iii)h(x) =11x4−5x3+21x2−9x+6.
Chứng minh. (i) Vì f(x) =2x2+x+1 ∈Z3[x] không có nghiệm trong Z3 vàdeg f(x) =2 nên f(x)bất khả quy trên Z3. Rõ ràng degf(x) =degf(x)
(ii) Vìg(x) =x3+x2−1∈Z2[x]không có nghiệm trongZ2vàdegg(x) =3
nêng(x)bất khả quy trênZ2. Rõ ràngdegg(x) =degg(x)nên g(x)bất khả quy trênQtheo Định lí 2.3.1.
(iii) Vì h(x) =x4+x2+x+1 ∈ Z5[x] không có nghiệm trong Z5 nên nó không có nhân tử bậc một. Giả sử h(x) khả quy trên Z5. Khi đó h(x) = (x2+ax+b)(x2+cx+d) với a,b,c,d ∈Z5. Đồng nhất hệ số ở hai vế của đẳng thức này ta được a+c = 0,b+ac+d = 1,ad+bc= 1,bd = 1. Vì
bd = 1 và vai trò của b,d như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết (b,d) = (1,1) hoặc (b,d) = (2,3) hoặc (b,d) = (4,4). Nếu
(b,d) = (1,1)thì các phương trình đầu và cuối cho taa+c=0vàa+c=1, vô lí. Nếu(b,d) = (2,3)thì các phương trình đầu và cuối cho taa=1,c=4, và do đó phương trình thứ hai cho ta 4= ac= 1, vô lí. Nếu (b,d) = (4,4)
thì các phương trình đầu và cuối cho taa+c=0 và4(a+c) =1, vô lí. Vì vậy h(x) bất khả quy trên Z5. Vì degh(x) =4 =degh(x) nên h(x) bất khả quy trênQtheo Định lí 2.3.1.
Chú ý 2.3.4. Để chứng minh một đa thức (với hệ số nguyên) là bất khả quy trên Q, người ta thường sử dụng Định lí 2.3.1, tức là cố gắng tìm một số nguyên tố p sao cho f(x) có bậc không giảm khi chuyển vàoZp[x]và f(x)
bất khả quy trên Zp. Tuy nhiên, phương pháp này đôi khi không áp dụng được. Hilbert là người đầu tiên chỉ ra rằng số nguyên tố p như thế có thể không tồn tại. Có những đa thức bất khả quy trênQ nhưng khả quy trênZp
với mọi số nguyên tố p. Chẳng hạn đa thức f(x) =x4−10x2+1 là bất khả quy trênQnhưng khả quy trên Zp với mọi số nguyên tố p.
Bây giờ chúng ta sử dụng Thuật toán Berlekamp và phương pháp rút gọn theo môđun một số nguyên tố để giải quyết bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy trênQ. Chúng ta mô tả phương pháp này vắn tắt trong chú ý sau đây.
Chú ý 2.3.5. Cho f(x)là đa thức dạng chuẩn với hệ số nguyên. Giả sử tìm được một số nguyên tố p sao cho degf(x) = degf(x) và trong vànhZp[x]
ta phân tích được f(x) thành tích của các nhân tử bất khả quy dạng chuẩn
f(x) = f1#(x). . . fk#(x) (có thể sử dụng Thuật toán Berlekamp để phân tích).
Chúng ta cần tìm phân tích bất khả quy của f(x) trên Q thông qua phân tích bất khả quy ở trên của f(x) trên Zp, tức là ta cần phân tích f(x) =
g1(x). . .gt(x) thông qua các đa thức f#j(x), trong đó gi(x) ∈ Zp[x] là đa thức bất khả quy dạng chuẩn. Khi đó f(x) = g1(x). . .gt(x). Vì degf(x) =
degf(x) nên deggi(x) = deggi(x) với mọi i. Giả sử gi(x) =
mi
∏
j=1
g#i j(x) là phân tích thành tích các nhân tử bất khả quy dạng chuẩn củagi(x)trên vành
Zp. Khi đó ta có phân tích bất khả quy thứ hai của f(x)trênZp
f(x) = m1 ∏ j=1 g#1j(x). . . mt ∏ j=1 g#t j(x)∈Zp[x].
Vì tính duy nhất của phân tích bất khả quy nên k =m1+m2+. . .+mt và mỗigi(x) là tích củami đa thức bất khả quy trong hệf1#(x). . .fk#(x) . Từ đây, trong một số trường hợp, chúng ta có thể tìm được các gi(x) và do đó tìm được phân tích bất khả quy của f(x)trênQ.
Dưới đây chúng ta minh họa bằng hai ví dụ.
Ví dụ 2.3.6. Chứng minh f(x) =x5+5x4+4x3+16x2+8x+1 là đa thức khả quy trênQ. Hãy tìm phân tích bất khả quy của f(x).
Chứng minh.Chúng ta sử dụng Thuật toán Berlekamp và phương pháp rút gọn theo môđun 3 để giải quyết bài toán này. Ta có
f(x) =x5+2x4+x3+x2+2x+1 ∈Z3[x].
Theo kết quả đã có từ Ví dụ 2.2.8, Thuật toán Berlekamp cho kết quả f(x) = (x+1)5 là phân tích bất khả quy trên Z3 của f(x). Dễ kiểm tra được f(x)
không có nghiệm hữu tỷ. Do đó f(x) không có nhân tử bậc nhất. Giả sử
f(x)có nhân tử bậc haig(x)∈Z[x]. Khi đó f(x) =g(x)h(x)vớih(x)∈Z[x]
và degh(x) =3. Do f(x)không có nhân tử bậc nhất nên g(x),h(x) bất khả quy. Vì f(x)có dạng chuẩn nên ta có thể giả thiết g(x),h(x)có dạng chuẩn. Giả sửg(x) =x2+ax+b vàh(x) =x3+cx2+dx+e. Đồng nhất các hệ số ta được
a+c=5,b+ac+d =4,cb+ad+e=16,db+ea=8,be=1.
(x+1)3=x3+1. Suy ra
b≡1,a≡2,e≡1,d ≡0,c≡0(mod 3).
Do be= 1 nên từ đồng dư thức thứ nhất và đồng dư thức thứ ba ở trên ta suy rab=e=1. Vì thế
a+c=5,ac+d =3,c+ad =15,d+a=8.
Từ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta có 5−a+ad = 15
hay a(d−1) = 10. Do đó a và d−1 là ước của 10. Vì a ≡ 2(mod 3) và
d≡0(mod 3)nêna∈ {−1,2,5,−10}vàd∈ {0,3,6,9}. Theo phương trình
thứ nhất và phương trình thứ tư ta suy ra(a,d,c) = (2,6,3)hoặc(a,d,c) = (5,3,0). Thay vào phương trình thứ hai ta được (a,d,c) = (5,3,0). Do đó
g(x) =x2+5x+1và h(x) =x3+3x+1. Thử lại ta được phân tích bất khả quy của f(x)trênQ là
f(x) = (x2+5x+1)(x3+3x+1)
Ví dụ 2.3.7. Chứng minh rằng đa thức f(x) =x6−8x4−19x2+2 khả quy trênQ. Hãy tìm phân tích bất khả quy của f(x).
Chứng minh.Chúng ta sử dụng Thuật toán Berlekamp và phương pháp rút gọn theo môđun2 để giải quyết bài toán này. Ta có f(x) =x6+x2 ∈Z2[x]. Theo kết quả ở Ví dụ 2.2.13, Thuật toán Berlekamp cho ta phân tích bất khả quy trênZ2 của f(x) là
f(x) =x6+x2 =x2(x+1)4.
Rõ ràng f(x) không có nghiệm hữu tỷ. Vì thế f(x) không có nhân tử bậc nhất.
Giả sử f(x) không có nhân tử bậc hai. Do f(x) có dạng chuẩn nên ta phân tích f(x) =g(x)h(x)với g(x),h(x)∈Z[x],g(x) bất khả quy trênQ và
số tự do của f(x), tứcc=±1hoặcc=±2. Ta có f(1) = f(−1) =24và do đóg(1),g(−1) đều là ước của 24. Theo Chú ý 2.3.5,g(x) là một trong các đa thứcx2,x(x+1),(x+1)2.Giả sửg(x) =x2.Khi đób≡0,c≡0(mod 2).
Suy rablà số chẵn vàc=±2. Nếuc=2thìg(1) =b+3vàg(−1) =3−b. Vì thế b+3 và 3−b là ước của 24. Vì b chẵn nên b+3,3−b lẻ. Suy ra
b+3,3−b ∈ {±1,±3}. Do đó b=0. Khi đóg(x) =x2+2. Rõ ràng f(x)
chia hết cho g(x). Từ đó ta có phân tích
f(x) = (x2+2)(x4−10x2+1).
Chú ý rằng đa thức x4−10x+1 là bất khả quy theo Ví dụ 2.2.13. Đa thức
x2+2 hiển nhiên là bất khả quy trênQ vì nó có bậc 2 và không có nghiệm trongQ. Do đó f(x) = (x2+2)(x4−10x2+1)là phân tích của f(x)thành tích các nhân tử bất khả quy trênQ.
Kết luận
Luận văn đã trình bày tổng quan kiến thức về đa thức bất khả quy, về một số tiêu chuẩn bất khả quy trên trường Q và Thuật toán Berlekamp để phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy trên trường hữu hạn. Sử dụng các kết quả thu được trên trường hữu hạn, luận văn trình bày một phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy trênQ.
Các nội dung chính của luận văn là:
1. Nhắc lại một số kiến thức về đa thức bất khả quy; 2. Một số tiêu chuẩn bất khả quy trên trường hữu tỷQ; 3. Trường phân rã của đa thức, trường hữu hạn;
4. Thuật toán Berlekamp tìm dạng phân tích nguyên sơ của một đa thức trên trường hữu hạn;
5. Tính bất khả quy trên trường Zp và ứng dụng phân tích bất khả quy trên
Q.
Trong đó kết quả chính của luận văn này là việc sử dụng thuật toán Berlekamp để phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy trênQ.