2 Ứng dụng lý thuyết các p-nhóm trong lý thuyết số
2.7 Về giá trị của ký hiệu Legendre 2p và −p 1
2 p và −1 p
Tính chất nhân tính của ký hiệu Legendre, tiêu chuẩn Euler và luật tương hỗ bậc hai giúp chúng ta có thể tính được một cách dễ dàng các giá trị ap nếu a là số nguyên dương lẻ.
Ví dụ: Tính 13513. Từ đó cho biết về sự tồn tại nghiệm của phương trình x2 = 135(mod13) trong Z∗13.
Giải. Phân tích 135 thành số nguyên tố ta có: 135 = 33.5. Do đó:
135 13 = 133 3 135= 133 135 = 133(−1)(3−1)(134 −1) 13 5 (−1)(5−1)(134 −1) = 133 135
Theo tiêu chuẩn Euler ta có: 13 3 = 133−21(mod 3) = 1(mod 3)⇒ 133 = 1; 13 5
= 135−21(mod 5) = 169(mod 5) =−1(mod 5)⇒ 135=−1.
Vậy 13513
= -1 và phương trình x2= 135(mod13) không có nghiệm trong Z∗13.
Để thuận tiện cho việc tính giá trị của ký hiệu Legendre ap với a là số nguyên chẵn hoặc là số âm cần tính sẵn giá trị của các ký hiệu 2p và −p1.
Mệnh đề 2.7.1: Cho p là số nguyên tố lẻ. Các công thức sau đúng: −1 p = (−1)p−21 = 1, p= 1(mod 4) −1, p=−1(mod 4) (2.16) 2 p = (−1)p 2−1 8 = 1, p=±1(mod 8) −1, p=±3(mod 8) (2.17)
Chứng minh. Công thức (2.16) suy ra từ tiêu chuẩn Euler. Để chứng minh công thức (2.17) ta cần đến khái niệm bao đóng đại số của một trường cho trước ( có thể xem trong chẳng hạn [1]). Theo tiêu chuẩn Euler ta cần tính 2p−21 trong trườngFp = (Zp,+, .). Ký hiệu bao đóng đại số của Fp là Fp . Gọi α là nghiệm của phương trình x8= 1 trong trường Fp mà α4 =−1. Đặt x=α+α−1 ta có x2 = 2 và
2p−21 =xp−1. Nhận xét rằng trongFp ta cóxp =αp+α−p. Từ định nghĩa củaαta có:
xp =
α+α−1=x, p=±1(mod 8)
α3+α−3 =−x, p=±3(mod 8)
KẾT LUẬN
Luận văn “p-nhóm và ứng dụng trong lý thuyết số” đã trình bày lại một cách hệ thống các kiến thức mà tác giả lĩnh hội được về lý thuyết nhóm cũng như ứng dụng của nó trong lý thuyết số, qua chương trình học tập khóa cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp (mã số 60.46.01.13) tại Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Các định lý cơ bản của Lý thuyết số như: Định lý Fermat bé, Định lý Wilson, Định lý Lucas, Định lý Fermat về tổng hai bình phương, luật tương hỗ bậc hai và các hệ quả của chúng đã được chứng minh dựa trên công thức về các G-quỹ đạo trong các G-tập áp dụng cho các p-nhóm. Vì vậy, các chứng minh có tính hiện đại so với các chứng minh sơ cấp của các định lý vừa nêu. Đặc biệt, tác giả đã vận dụng công thức về các G-quỹ đạo cho các p-nhóm cấppr để chứng minh đồng dư thức Ckpr = 0(mod p) khi 1 ≤k ≤ pr−1. Công thức này là cơ sở để chứng minh định lý Lucas. Luận văn đã chứng tỏ tính hữu ích của lý thuyết các p-nhóm khi nghiên cứu các tính chất số học của các số nguyên tố. Nhiều định lý quan trọng khác liên quan đến lý thuyết cấu trúc của các p-nhóm, chẳng hạn như định lý Frobenius, chưa được đề cập đến trong luận văn. Tác giả tin rằng có thể ứng dụng các định lý trong phần vừa nêu của lý thuyết nhóm để suy ra nhiều khẳng định trong lý thuyết số và mong muốn tìm hiểu thêm về các ứng dụng này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] Dương Quốc Việt, Lê Văn Chua (2007), Cơ sở lý thuyết Galois, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[2]Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục.
[3] Nguyễn Tuyết Nga (2009), Một số ứng dụng của lí thuyết nhóm trong toán sơ cấp, Luận văn thạc sĩ Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Tiếng Anh
[4]G. Rousseau (1991), ”On the quadratic Reciprocity Law”, J.Austral.Math. Soc. Ser. A51, no.3, 423-425.
[5] John B.Fraleigh (1989), ”A first course in Abstract Algebra”, Addison-Wesley, 4th Edition, 1989.
[6]Qiaochu Yuan (2013), The p-group fixed point theorem,
http://qchu.wordpress.com/2013/07/09/the-p-group-fixed-point-theorem/, ngày 9/7/2013.
[7] William Stein (2011), Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and secrets, http://wstein.org/ent/ent.pdf, ngày 16/11/2011.