Cũng giống như bài toán biểu diễn đa thức dương, các kết quả của bài toán mômen cũng được sử dụng để tìm các giá trị tối ưu của một đa thức trên tập nửa đại số.
2.2.3.1. Ứng dụng vào bài toán tối ưu đa thức toàn cục
Giả sử f là một đa thức thực n biến. Đặt
f∗ = inf
x∈Rnf(x).
Việc tìm f∗ là bài toán khó nói chung. Cho số nguyên d lớn hơn bậc của đa thức f, kí hiệu R[X]d là không gian các đa thức có bậc không quá d, Xd là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên R[X]d sao cho L(1) = 1 và L(p2) ≥ 0 với mọi đa thức p có bậc không quá d/2. Đặt:
f+ := inf{L(f) : L ∈ Xd}.
Khi đó ta có:
f+ ≤ f∗.
Thật vậy, với bất kỳ x ∈ Rn, phiếm hàm tuyến tính Lx được định nghĩa bởi
Lx(p) = p(x) ∀pR[X]
thuộc Xd và f+ ≤ Lx(f) = f(x) với mọi x. Chú ý rằng ta có thuật toán để tìm f+. Tuy nhiên nói chung chưa có thuật toán tìm f∗. Trong một số
trường hợp đặc biệt, khi một đa thức dương có thể biểu diễn thành tổng bình phương, ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.2.2. Giả sử f ∈ R[X] là đa thức n biến có bậc d chẵn lớn hơn hoặc bằng 2. Nếu n= 1 hoặc d = 2 hoặc n= 2 và d = 4 thì f+ = f∗. 2.2.3.2. Ứng dụng vào bài toán tối ưu đa thức trên tập nửa đại số
Giả sử f là một đa thức thực n biến và K là tập nửa đại số xác định như sau:
K = {x ∈ Rn | g1(x) ≥ 0, . . . , gm(x) ≥0}.
Quadratic module sinh bởi g1, . . . , gm là:
M = {p0 +p1g1 +· · ·+pmgm | p0, p1, . . . pm là tổng bình phương}. M được gọi là Archimedean nếu tồn tại số N để N −x12 −x22 − · · · −x2n
thuộc M.
Đặt
f∗ = inf
x∈Kf(x).
Việc tìm f∗ là bài toán khó và nói chung là chưa có thuật toán.
Cho số nguyên d lớn hơn bậc của đa thức f, kí hiệu Xd là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên R[X]d sao cho L(1) = 1 và
L(p) ≥ 0 ∀p∈ M.
Đặt
Khi đó ta có
f+,d ≤ f+,d+1 ≤ . . . và f+,t ≤ f∗.
Ta có thuật toán SDP để tìm f+,d. Nhờ vào định lý biểu diễn dương trên tập nửa đại số Archimedian K, Bài toán mômen trên K có lời giải: Mọi phiếm hàm tuyến tính không âm trên M đều không âm trên tập các đa thức không âm trên K. Vì vậy ta thu được hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.3. Nếu M là Archimedean thì f∗ là cận trên đúng của dãy (f+,d).
Và theo kết quả chính của Marshall được trình bày ở đầu chương, ta cũng có được:
Hệ quả 2.2.4. Nếu K là dải [0,1] ×R thì f∗ là cận trên đúng của dãy (f+,d).
KẾT LUẬN
Trong Luận văn đã đạt được các kết quả chính:
(1) Trình bày lại kết quả về biểu diễn đa thức không âm trên dải[0,1]×R. Kết quả này được viết trong bài báo: Marshall M. (2010), "Polynomials non-negative on a strip", Proc. Amer. Math. Soc., 138 (5), 1559–1567 và được mở rộng trong bài báo Nguyen H. and Powers V. (2012), "Polynomials non-negative on strips and half-strips", J. Pure Appl. Algebra, 216 (10), 2225–2232.
(2) Trình bày một số ứng dụng của Định lý biểu diễn đa thức không âm trong tối ưu đa thức và giải quyết Bài toán mômen.
Các kết quả trên đóng góp thêm vào hướng nghiên cứu các Định lý biểu diễn dương cho đa thức, cũng như ứng dụng của chúng trong Tối ưu đa thức và Bài toán mômen.
Hướng phát triển của luận văn: Tìm thêm các ứng dụng của Định lý biểu diễn đa thức không âm trong các lĩnh vực khác.
Tài liệu tham khảo
[1] Krivine J. K. (1964), "Anneaux preordonnes", J. Analyse. Math. 12, 307-326.
[2] Marshall M. (2008), "Positive polynomials and sum of squares". Math- ematical Sur-veys and Monographs, 146. American Mathematical So- ciety, Providence, RI.
[3] Marshall M. (2010), "Polynomials non-negative on a strip", Proc. Amer. Math. Soc., 138 (5), 1559–1567.
[4] Motzkin T. (1967), "The arithmetic-geometric inequalities", Proc. Symp. Wright-Patterson AFB, Academic Press, 205-224.
[5] Nguyen H. and Powers V. (2012), "Polynomials non-negative on strips and half-strips", J. Pure Appl. Algebra, 216 (10), 2225–2232.
[6] Putinar M. (1993), "Positive polynomials on compact semialgebraic sets", Indiana Univ. Math. J, 43 (3), 969-984.
[7] Schmudgen K. (1991), "The K-moment problem for compact semial- gebraic sets", Math. Ann. 289, 203-206.