Tr÷îc h¸t, ta x¡c ành Sm trong tr÷íng hñp têng qu¡t. °t r = bm2c v Km,k ÷ñc x¡c ành nh÷ trong cæng thùc (2.4), tùc l Km,0 = 1 v Km,k = m −k k ! + m−1−k k −1 ! vîi 1 ≤k ≤ r. D¤ng cõa Sm phö thuëc v o lîp çng d÷ modulo 6 cõa bªc m.
X²t m ≡1 mod 6 ho°c m ≡ 5 mod 6. Trong tr÷íng hñp ¦u ti¶n, ta câ thº vi¸t m = 6L+ 1 vîi mët sè nguy¶n khæng ¥m L v trong tr÷íng hñp thù hai, ta câ thº vi¸t m = 6L−1 vîi mët sè nguy¶n d÷ìng L. Trong c£ hai tr÷íng hñp n y ta °t
+ L−1 X j=0 (−1)r−jKm,r−j(xyz)2j+1(xy)r−3j−1 + (xz)r−3j−1 + (yz)r−3j−1. (2.16) Khi m ≡ 3 mod 6, ta vi¸t m = 6L+ 3 v °t
Sm = v¸ ph£i cõa 2.16+ (−1)r−LKm,r−L(xyz)2L+1. (2.17) Khim ≡4 mod 6, ta vi¸t m = 6L−2v m ≡2 mod 6, ta vi¸t m = 6L−4. Trong c£ 2 tr÷íng hñp, ta °t Sm = xm +ym +zm − L−1 X j=0 (−1)r−jKm,r−j(xyz)2j (xy)r−3j + (xz)r−3j + (yz)r−3j. (2.18) Cuèi còng, khi m ≡ 0 mod 6, ta vi¸t m = 6L v °t
Sm = v¸ ph£i cõa (2.18)−(−1)r−LKm,r−L(xyz)2L. (2.19) ành lþ sau ¥y cho ta th§y c¡c a thùc Sm thäa m¢n mët ho°c c£ hai i·u ki»n cüc trà.
ành lþ 2.2.1. Sm ÷ñc x¡c ành nh÷ trong c¡c cæng thùc tø (2.16) ¸n (2.19) l a thùc èi xùng cüc trà. Hìn núa n¸u m ≡ 1 mod 6 ho°c m ≡
3 mod 6 th¼ Sm công l a thùc sharp.
Chùng minh. Tø c¡c cæng thùc (2.16) v (2.17) ta câ n¸u m ≡ 1,3 mod 6
th¼R(Sm) = m+ 5
2 . Do vªy n¸u ta câ thº ch¿ ra r¬ngSm = sqm vîi th÷ìng ¦y õ qm th¼ ¡p döng H» qu£ 2.1.6 ta suy ra khi m ≡ 1,3 mod 6 th¼ Sm l a thùc sharp. Ta s³ chùng minh ành lþ b¬ng c¡ch ch¿ rã th÷ìng qm v chùng minh Sm = s.qm trong â s = x+y +z. Tr÷îc h¸t ta x²t tr÷íng hñp m l´, ta gi£ sû m = 2r + 1, °t q2r+1(x, y, z) =Xγ(a, b, c)xaybzc (2.20) trong â γ(2r −j, k, j −k) = (−1)j j k ! (2.21)
vîi 2r−j ≥ k ≥ j −k ≥ 0. Ta câ γ(σ(2r −j, k, j −k)) câ gi¡ trà khæng êi vîi b§t ký ho¡n vàσ cõa (2r−j, k, j−k). Công gièng nh÷ vîi a thùc Sm, c§u tróc cõa a thùc th÷ìng qm ÷ñc th§y rã hìn b¬ng c¡ch nh¼n v o sì ç Newton. H¼nh 2.1 l sì ç Newton cõa q7.
H¼nh 2.1: Sì ç Newton cõaq7
Ti¸p theo ta s³ chùng minh c¡c h» sè cõa t½ch s.q2r+1 tròng vîi c¡c h» sè cõa S2r+1. Ta °t α(A, B, C) l h» sè cõa xAyBzC trong a thùc q2r+1(x, y, z)s(x, y, z). Khi â A+B +C = 2r + 1 v
α(A, B, C) =γ(A−1, B, C) +γ(A, B −1, C) +γ(A, B, C −1), (2.22) trong â ta quy ÷îc γ(a, b, c) = 0 n¸u mët trong c¡c sè a, b, c l ¥m. Ta ph£i ch¿ ra r¬ng c¡c h» sè α(A, B, C) tròng vîi c¡c h» sè cõa a thùc S2r+1. Ta s³ x²t l¦n l÷ñt tøng tr÷íng hñp, tuy nhi¶n ta l÷u þ r¬ng q2r+1 v sq2r+1 l èi xùng. V¼ vªy ta ch¿ c¦n x²t c¡c h» sè α(A, B, C) trong c¡c tr÷íng hñp A≥ B ≥ C.
Tr÷íng hñp 1. N¸u B = C = 0 th¼
α(2r + 1,0,0) = γ(2r,0,0) = 1, ch½nh l h» sè cõa x2r+1 trong S2r+1.
Tr÷íng hñp 2. Gi£ sû A ≥ B > C = 0. Khi â A + B = 2r + 1, thüc t¸ ta ph£i câ A > B. Do â ta câ
α(A, B,0) = γ(A−1, B,0) +γ(A, B −1,0) = (−1)B + (−1)B−1 = 0. Ta vøa x²t xong c¡c tr÷íng hñp câ ½t nh§t mët trong sè A, B ho°c C b¬ng khæng.
Tr÷íng hñp 3.Ti¸p theo ta x²t A > B ≥ C > 0. Ta vi¸t (A, B, C) = (2r+ 1−j, k, j −k) vîi c¡c sè tü nhi¶n j v k thäa m¢n j > k. Ta câ
α(2r+1−j, k, j −k) =γ(2r −j, k, j −k) +γ(2r −(j −1), k −1,(j −1)−(k −1)) +γ(2r −(j −1), k,(j−1)−k) =(−1)j j k ! + (−1)j−1 j−1 k−1 ! + (−1)j−1 j−1 k ! = 0. (2.23)
Tr÷íng hñp 4. Ta x²t tr÷íng hñp ti¸p theo l A = B > C > 0. Ta vi¸t
(A, B, C) = (2r+ 1−j,2r+ 1−j,2j−2r−1) vîi mët sè j. Khi â ta câ α(2r+1−j,2r + 1−j,2j−2r −1) =γ(2r −j,2r −(j −1),2(j −1)−2r + 1) +γ(2r −(j−1),2r −j,2(j −1)−2r + 1) +γ(2r −(j−1),2r + 1−j,2(j−1)−2r) =(−1)j−1 j −1 2r−j ! + (−1)j−1 j −1 2r−j ! + (−1)j−1 j −1 2r + 1−j ! =(−1)j−1 " j −1 2r −j ! + j 2r + 1−j !# =(−1)j−1K2r+1,2r+1−j.
Tr÷íng hñp 5. Tr÷íng hñp cuèi còng, A = B = C = 2r+ 1
3 th¼ ta câ
2r + 1 = 6L+ 3 v khi â A = B = C = 2L + 1. Trong tr÷íng hñp n y ta câ α(2L+ 1,2L+ 1,2L+ 1) =γ(2L,2L+ 1,2L+ 1) +γ(2L+ 1,2L,2L + 1) +γ(2L+ 1,2L + 1,2L) =3γ(2L+ 1,2L+ 1,2L) =3γ(2r −(4L+ 1),2L+ 1,2L) =3(−1)4L+1 4L+ 1 2L+ 1 ! =(−1)4L+1 " 4L+ 1 2L+ 1 ! + 4L+ 1 2L+ 1 ! + 4L+ 1 2L !# =(−1)4L+1 " 4L+ 1 2L+ 1 ! + 4L+ 2 2L+ 1 !# =(−1)4L+1K6L+3,2L+1. V¼ vªy n¸u r ≡ 0,2 mod 3 th¼ ta câ s.q2r+1 =x2r+1 +y2r+1+ z2r+1 + b4r+1 3 c X j=r+1 (−1)j−1K2r+1,2r+1−j .h(xy)2r+1−jz2(j−r)−1 + (xz)2r+1−jy2(j−r)−1 +x2(j−r)−1(yz)2r+1−ji =x2r+1 +y2r+1+ z2r+1 + br−2 3 c X J=0 (−1)r+JK2r+1,r−J .(xy)r−Jz2J+1+ (xz)r−Jy2J+1 +x2J+1(yz)r−J.
V¼ 2r+ 1 = 6L+ 3 tø biºu thùc cuèi còng ta nhªn ÷ñc h» sè cõa h¤ng tû ùng vîi ìn thùc x2L+1y2L+1z2L+1 l (−1)4L+1K6L+3,2L+1 tròng vîi h¤ng tû t÷ìng ùng cõa Sm.
èi vîi tr÷íng hñp m ch®n ta vi¸t m = 2r v °t q2r(x, y, z) = Xγ(a, b, c)xaybzc,
trong â
γ(2r −1−j, k, j −k) = (−1)j−1 j
k
!
,
vîi 2r −1− j ≥ k ≥ j −k ≥ 0. Ta câ γ(σ(2r −1−j, k, j −k)) câ gi¡ trà khæng êi vîi b§t ký ho¡n và σ cõa (2r−1−j, k, j −k). Chùng minh t÷ìng tü tr¶n ta công câ s.q2r = S2r.
Tø chùng minh ành lþ 2.2.1 ta th§y khi m ≡ 1,3 mod 6, th¼ R(Sm) =
m+ 5
2 . Do â, theo M»nh · 2.1.10 c£ Fm v Sm ·u l c¡c a thùc sharp câ bªc m. Tùc l sü tçn t¤i cõa a thùc sharp khæng ph£i l duy nh§t vîi méi m l´.
D'Angelo v Lebl ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p cö thº º x¥y düng c¡c v½ dö v· a thùc sharp tø fm b¬ng c¡ch thay c¡c biºu thùc trong fm b¬ng c¡c biºu thùc çng d÷ theo modulo(x+y−1). Ð ¥y mët kÿ thuªt t÷ìng tü ÷ñc sû döng º i tø Fm ¸n Sm. Mët ch¼a khâa quan trång m chóng ta s³ sû döng l°p l¤i ð ¥y l Fm(x, y, z) ≡ 0 mod(x + y + z). Ta °t r = jm 2 k khi â Gm(x, y, z) := xm + r X k=1 (−1)kKm,kxm−2kykzk ≡(−1)m[ym+ zm] mod(x+y +z). (2.24) M»nh · 2.2.3 sau ¥y mæ t£ tøng tr÷íng hñp º câ thº thu ÷ñc Sm tø Fm. Tr÷îc h¸t ta minh håa qu¡ tr¼nh tr¶n b¬ng mët v½ dö.
V½ dö 2.2.2. Vîi m = 13, ta câ
F13 =x13+y13 +z13−13x11yz + 65x9y2z2 −156x7y3z3 + 182x5y4z4
−91x3y5z5 + 13xy6z6. ta th§y
156x7y3z3 = 65x7y3z3 + 91x7y3z3. Thay v o v sp x¸p l¤i, ta ÷ñc
−91x7y3z3 + 182x5y4z4 −91x3y5z5 =x13 +y13+z13 + 13xyzx5 −x5 + 5x3yz −5xy2z2+y5z5 −91x3y3z3x2 x2 −2yz+y2z2. Ta °t −x5 + 5x3yz−5xy2z2 = −G5 v x2−2yz = G2. K¸t hñp vîi 2.24 ta câ F13 =x13 +y13+z13 + 13xyzx5(−G5) + y5z5 −91x3y3z3x2(G2) +y2z2 ≡x13 +y13+z13 + 13xyzx5 y5 + z5+y5z5 −91x3y3z3x2 y2 +z2+y2z2mod(x+y +z) =S13. M»nh · 2.2.3. Cho Gm = Fm+ (−y)m+ (−z)m vîi m ≥1 v r = jm 2 k . Khi â ta câ 1. N¸u m = 6L + 1 ho°c m = 6L−1 th¼ Fm =xm +ym +zm + L−1 X j=0 (−1)r−jKm,r−j(xyz)2j+1(−x)r−3j−1Gr−3j−1 + (yz)r−3j−1, (2.25) n¸u m = 6L+ 3 th¼
Fm = V¸ ph£i cõa (2.25)+ (−1)r−LKm,r−L(xyz)2L+1. (2.26) Ta nhªn ÷ñc Sm b¬ng c¡ch thay (−1)r−3j−1Gr−3j−1 bði biºu thùc yr−3j−1 +zr−3j−1, chóng çng d÷ vîi nhau theo modulo (x+y +z). 2. N¸u m = 6L −2 ho°c m = 6L−4, Fm =−xm −ym−zm + L−1 X j=0 (−1)r−jKm,r−j(xyz)2j(−x)r−3jGr−3j + (yz)r−3j, (2.27)
Trong khi n¸u m = 6L
Fm = V¸ ph£i cõa (2.27)+ (−1)r−LKm,r−L(xyz)2L. (2.28) Ta nhªn ÷ñc −Sm b¬ng c¡ch thay (−1)r−3jGr−3j b¬ng yr−3j +zr−3j, chóng çng d÷ vîi nhau theo modulo x+y +z.
Ta s³ sû döng c¡c t½nh ch§t cõa fm ÷ñc ÷a ra trong M»nh · 2.1.7 º chùng minh m»nh · n y.
Chùng minh. Ta chùng minh m»nh · cho tr÷íng hñp m l´, tr÷íng hñpm ch®n chùng minh t÷ìng tü. Ta °tPm l v¸ ph£i cõa cæng thùc (2.25) ho°c (2.26). Rã r ng, khi thay(−1)r−3j−1Gr−3j−1 bði biºu thùcyr−3j−1+zr−3j−1 ta nhªn ÷ñc cæng thùc Sm. Nh÷ vªy sû döng çng d÷ thùc (2.24), ta suy ra
Pm ≡ Smmod(x+y +z)
M°t kh¡c Sm = (x+ y + z).qm (nh÷ trong chùng minh ành lþ 2.2.1 ta suy ra Pm nhªn gi¡ trà 0 khi x+y +z = 0. V¼ vªy, n¸u ta thay z bði −1
v cëng th¶m h¬ng sè 1, ta nhªn ÷ñc mët a thùc hai bi¸n pm(x, y) thäa m¢n c¡c i·u ki»n tø (1) ¸n (4) trong M»nh · 2.1.7. Thªt vªy pm(x, y)
nhªn gi¡ trà 1 tr¶n ÷íng th¯ng x + y = 1 (do Pm nhªn gi¡ trà 0 khi x + y + z = 0); pm(0,0) = 0; pm(ηx, η2y) = pm(x, y) vîi η l mët c«n nguy¶n thõy bªc m cõa ìn và; degpm = m. Theo m»nh · 2.1.7 v 2.1.9 ta suy rapm(x, y) ≡fm(x, y). ¸n ¥y, ta l¤i trø pm(x, y) i 1; thu¦n nh§t hâa v thay th¸ z b¬ng −z ta nhªn l¤i ÷ñc Pm suy ra Pm = Fm. Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.
M»nh · 2.2.4. Sm(x, y, z) = xm+ym+zm trong Zm[x, y, z] n¸u v ch¿ n¸u m l sè nguy¶n tè.
Chùng minh. Theo chùng minh M»nh · 2.2.3 ta câ c¡c h» sè cõa Sm l tªp con cõa c¡c h» sè cõa Fm, n¶n ta ¡p döng H» qu£ 2.1.12 þ (ii) ta suy ra i·u ph£i chùng minh.
K¸t luªn cõa luªn v«n
Luªn v«n tr¼nh b y v nghi¶n cùu v· lîp a thùc èi xùng thu¦n nh§t thæng qua vi»c tr£ líi hai c¥u häi têng qu¡t trong nhúng tr÷íng hñp °c bi»t. Luªn v«n thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ ch½nh sau ¥y:
1. Vîi méi m ≥ 1, tçn t¤i duy nh§t mët a thùc hai bi¸n f = fm(x, y)
bªc m sao cho f(0,0) = 0, f(x, y) = 1 khi x+y = 1 v f l Γ(m,2)- b§t bi¸n. a thùc n y câ nhúng d¤ng biºu di¹n kh¡c nhau r§t thó và (thº hi»n trong c¡c M»nh · 2.1.7, M»nh · 2.1.8 v M»nh · 2.1.9). 2. X¥y düng cæng thùc cõa hå Fm (m ≥ 1) nhúng a thùc thu¦n nh§t
ba bi¸n chia h¸t cho x+y+z vîi th÷ìng l mët a thùc ¦y õ. °c bi»t khi m l´ Fm l sharp (M»nh · 2.1.10).
3. X¥y düng cæng thùc cõa hå Sm (m ≥ 1) nhúng a thùc èi xùng cüc trà ba bi¸n, °c bi»t khi m l sè tü nhi¶n chia cho 6 d÷ 1 ho°c 3 th¼ Sm công l a thùc sharp (ành lþ 2.2.1).
4. Mèi li¶n h» giúa Sm v Fm ÷ñc x¥y düng thæng qua t½nh ch§t °c bi»t cõa a thùc fm trong ph¦n (1.) (M»nh · 2.2.3).
T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t
[1] L¶ Thà Thanh Nh n, (2015), Gi¡o tr¼nh Lþ thuy¸t a thùc, Nh xu§t b£n ¤i håc Quèc gia H Nëi.
Ti¸ng Anh
[2] Brooks J., (2019), "An Interesting Family of Symmetric Polynomials", Amer. Math. Monthly, 126:6, 527-540, DOI: 10.1080/00029890.2019.1584514 .
[3] D'Angelo, J., (2004), "Number-theoretic properties of certain CR mappings", J. Geom. Anal. 14(2): 215-229.
[4] D'Angelo, J. P., (1993), Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces. Boca Raton, FL: CRC Press.
[5] D'Angelo, J., Kos, S., Riehl, E., (2003), "A sharp bound for the degree of proper monomial mappings between balls", J. Geom. Anal. 13 (4): 581-593.
[6] D'Angelo, J., Lebl, J., (2009), "Complexity results for CR mappings between spheres", Int J. Math. 29(2): 149-166.
[7] Lebl, J., Peters, H., (2011), "Polynomials constant on a hyperplane and CR maps of hyperquadric", Mosc. Math. J. 11(2): 285-315.