Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với A = (aij)101x200 được xác định bởiai,i+k = 1với mọii = 1,2, ...,101và mọi k = 0,1,2, ...,99, các phần tử aij khác đều bằng 0 và bi= 100 với mọi i = 1,2, ...,101.
Dễ thấy rằng hệ phương trình trên có vô số nghiệm (hệ nghiệm phụ thuộc 99
tham số) và nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của hệ phương trình trên là
x∗ = (x∗1 x∗2 .... x∗200) với x∗i = 1 với mọi i = 1,2, ...,200.
Chú ý 2.2. Sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm đúng trong ví dụ này được xác định bởi
err = max
i=1,2,...,200|x(nmax)
i −x∗i|.
n err n err 100 0.273269 700 0.063999 200 0.174990 800 0.056841 300 0.129549 900 0.051127 400 0.103036 1000 0.046458 500 0.085595 ... ... 600 0.073230 10000 0.005049 Bảng 2.1
- Khi áp dụng phương pháp lặp (2.25) với cn =1, αn =1/√
n và γn =0, thì ta có bảng kết quả sau: n err n err 1000 0.470916 7000 0.302372 3000 0.374417 10000 0.273560 5000 0.330479 100000 0.123475 Bảng 2.2
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách có hệ thống về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính , cùng với tính ổn định của các phương pháp cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Cụ thể là:
• Sơ lược về một số tính chất hình học đặc trưng của các không gian Banach, toán tử j-đơn điệu; Bài toán đặt không chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh;
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần quán tính hiệu chỉnh, tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy trong tài liệu [25];
• Trình bày về tính ổn định của các phương pháp lặp được giới thiệu trong tài liệu [25], khi các miền xác định Ci và ánh xạ Ti được cho bởi nhiễu (xem [20]).
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for
Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Alber Y. (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone op- erators in Banach spaces", Sib. Math. J., Vol. 16 (1), , pp. 3-11.
[3] Alber Y. (2007), "On the stability of iterative approximatins to fixed points of nonexpansive mappings", J. Math. Anal. Appl., 328, pp. 958-971.
[4] Alber Y., Ryazantseva I. (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone
Type, Springer.
[5] Alber Y., Reich S., Yao J-C. (2003), "Iterative methods for solving fixed point problems with nonself-mappings in Banach spaces", Abstr. Appl.
Anal., 4, pp. 194-216.
[6] Alvarez F. (2000), "On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert space", SIAM J. Control Optim., 38 (4), pp. 1102-1119.
[7] Alvarez F., Attouch H. (2001), "An inertial proximal method for maximal monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damp- ing", Set-Valued Analysis, 9 (1-2), pp. 3-11.
[8] Bauschke H. H., Matouˇskov´a E., Reich S. (2004), "Projection and proxi- mal point methods: convergence results and counterexamples", Nonlinear
[9] Browder, F. E. (1966), "Existence and approximation of solution of non- linear variational inequalities", Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A., 56 (4), pp. 1080-1086.
[10] Browder, F. E. (1967), "Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces", Bull. Amer. Math. Soc., 73, pp. 875-882.
[11] Buong Ng. (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Compt. Math. and Math. Phys., 46 (3), pp. 372-378.
[12] Buong Ng. (2008), "Regularization proximal point algorithm for uncon- strained vector convex optimization problems", Ukrainian Mathematical
Journal, 60 (9), pp. 1483-1491.
[13] Diestel J. (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer- Verlag.
[14] Figiel T. (1976), "On the modunli of convexity and smoothness", Studia
Math., 56, pp. 121-155.
[15] Goebel K., Kirk W.A. (1990), Topic in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge University Press.
[16] Goebel K., Reich S. (1984), Uniform Convexity, Hyperbolic Geometry and
Nonexpansive Mappings, Marcel Dekker, New York and Basel.
[17] Guler O. (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for.. convex minimization", SIAM J. Control Optim., 29 (2), pp. 403-419.
[18] Hadamard J. (1902), "Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur sig- nification physique", Princeton University Bulletin, 13, pp. 49-52.
[19] Kim J. K., T. M. Tuyen (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (52).
[20] Kim J. K., T. M. Tuyen (2016),"On the some regularization methods for common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J. Nonl.
and Conv. Ana., 17 (1), pp. 93-104.
[21] Lindenstrauss J., Tzafriri L. (1979), Classical Banach Spaces II: Function
Spaces, Ergebnisse Math. Grenzgebiete Bd. 97, Springer-Verlag.
[22] Martinet B. (1970), "Regularisation dinequations variationnelles par ap- proximation successives", Rev. PranMc-aise Informat. Recherche opera-
tionnelle, 4, pp. 154-158.
[23] Rockafellar R. T. (1970), " On the maximal monotonicity of subdifferential mappings", Pacific J. Math., Vol. 33 (1), pp. 209-216.
[24] Rockafellar R. T. (1976), "Monotone operators and proximal point algo- rithm", SIAM J. Control Optim., 14, pp. 887-897.
[25] Tuyen T.M. (2012), "Regularization for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces",
Nonl. Func. Anal. and Appl., 17 (1), pp. 89-98.
[26] Xu H. K. (2006), A regularization method for the proximal point algorithm,