Một số kết quả được chứng minh bằng lý thuyết số giao
2.2 Đường cong đối ngẫu
Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, tương ứng với một đường thẳng L nào đó có phương trình ax + by + cz= 0 ta đặt L∗ là điểm có tọa độ (a : b : c), tương ứng với một điểm P(α :β :γ) ta đặt P∗ là đường thẳng có phương trình αx+ βy+γz = 0. Đặt P = P2, gọi P∗ là tập hợp các điểm tương ứng với các đường thẳng trong P theo cách nêu trên, dễ thấy P∗ cũng là mặt phẳng xạ ảnh và được gọi là mặt phẳng đối ngẫu với mặt phẳng P theo phép tương ứng trên. Có thể nhận thấy phép tương ứng trên là 1 : 1 và (L∗)∗ =L,(P∗)∗ =P , (P∗)∗ = P. Định nghĩa 2.2.1. Cho F là một đường cong không chứa đường thẳng trong P, tập hợp tất cả các điểm trong P∗ tương ứng với các tiếp tuyến của F là một đường cong trong P∗. Nó được gọi là đường cong đối ngẫu của F và được kí hiệu là F∗ (xem [1], trang 253). Bậc của F∗ được gọi là lớp của F . Nhận xét 2.2.1. P ∈ L khi và chỉ khi L∗ ∈ P ∗. L là một tiếp tuyến với F tại P
khi và chỉ khi L∗∈F∗ và P ∗ là một tiếp tuyến với F∗ tại L∗. F∗∗=F (xem [1], trang 255).
Từ nhận xét trên ta có:
• Tương ứng với hai tiếp tuyến tại một điểm node của F sẽ là hai điểm trên F ∗có chung một tiếp tuyến và ngược lại.
• Tương ứng với tiếp tuyến tại điểm cusp của F sẽ là điểm uốn trên F∗
và ngược lại.
Như vậy trên một đường cong trơn F , các tiếp tuyến tại các điểm uốn, các tiếp tuyến tiếp xúc với F từ hai điểm trở lên (khi tiếp tuyến tiếp xúc với đườn cong tại hai điểm thì được gọi là song tiếp tuyến), tương ứng với nó là tất cả các điểm kì dị của F∗.
Định nghĩa 2.2.2. (Đường cong Pl¨ucker) Một đường cong xạ ảnh bất khả quy
F không có thành phần là đường thẳng, được gọi là một đường cong Pl¨ucker khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
• Tất cả các điểm kì dị trên F chỉ là node thường hoặc cusp thường.
• Tất cả các điểm uốn trên F đều là điểm uốn thường.
• Một đường thẳng bất kì tiếp xúc với F nhiều nhất tại hai điểm phân biệt. Từ những kết quả trên ta thấy, nếu F là một đường cong Pl¨ucker thì F∗
cũng là một đường cong Pl¨ucker.
Ví dụ 2.2.1. a) Tất cả các đường cong bất khả quy bậc 2 hoặc 3 đều là đường cong Pl¨ucker.
b) Đường cong Fermat F =x4+y4 +z4 không phải là một đường cong Pl¨ucker vì chúng có 12 điểm uốn, nhưng đều không phải là điểm uốn thường.
Đường cong Klein F=x3y+y3z +z3x là một đường cong trơn, có tất cả 24 điểm uốn và đều là điểm uốn thường, do vậy nó là một đường cong Pl¨ucker.
Định lý 2.2.1. (Công thức Pl¨ucker) [xem trong [1], định lý 1, trang 283]
Giả sử F là một đường cong Pl¨ucker. Gọi n và n′ lần lượt là bậc của F và
F ∗, α và α′ lần lượt là số điểm node của F và F ∗, γ và γ′ lần lượt là số điểm cusp của F và F∗, dẫn đến α và α′ lần lượt là số song tiếp tuyến F∗ và F , γ và
γ′lần lượt là số điểm uốn của F ∗và F . Khi đó ta có:
1. n′ = n(n − 1) − 2α − 3γ.
2. n = n′(n′ − 1) − 2α′ − 3γ′.
3. γ′ = 3n(n − 2) − 6α − 8γ.
4. γ = 3n′(n′ − 2) − 6α′ − 8γ′.
Chứng minh. Bậc n′ của F ∗ bằng tổng số giao của F ∗ với một đường thẳng bất kì trong P∗, bằng số tiếp tuyến kẻ từ một điểm bất kì trong P tới F . Gọi
P (x0 : y0 : 1) là một điểm bất kì trongP, một đường thẳng qua P luôn có dạng Ax + By − (Ax0 + By0)z = 0, với A, B thuộcK và A, B không đồng thời bằng 0. Đường thẳng này là tiếp tuyến của F khi và chỉ khi hệ phương trình sau cónghiệm :
Fx = A Fy = B Fz = −(Ax0 + By0) F =0. Dùng phương pháp thế ta được: x0Fx + y0Fy + Fz = 0 F = 0.
Đặt F là đường cong có phương trình x0Fx +y0Fy+ Fz= 0. Dễ thấy rằng F
đi qua những điểm kì dị của F . Từ mỗi giao điểm của F và F ta sẽ tìm được một phương trình tiếp tuyến kẻ từ P tới F , nếu điểm đó không phải là điểm kì dị của F .
Giả sử Q(0 : 0 : 1) là một điểm node thường của F và f(x, y) =F(x, y, 1) =
= xy + ax3 + by3 + . . ., với a, b đều khác 0. Khi đó f (x, y) = F (x, y, 1) = x0x + y0y + 3ax0x2 + 3by0y2 + . . .. Từ đó ta thấy nếu x0và y0 đều khác 0 thì IQ(F, F ) = 2, nếu x0 = 0 (hoặc y0 = 0 ) thì IQ(F, F ) = 3, nhưng từ P lại kẻ được một tiếp tuyến là x = 0 (hoặc y = 0) tiếp xúc với F tại Q.
Giả sử Q(0 : 0 : 1) là một điểm cusp thường của F và f (x, y) =F(x, y, 1) =
y2 + ax3 + . . ., trong đó a = 0. Khi đó f (x, y) = F (x, y, 1) = 2y0y + 3ax0x2 + . . .. Nếu
y0 = 0 thì f và f không có tiếp tuyến chung tại Q nên IQ(f, f) = mQ(f )mQ(f ) = 4, nhưng khi đó ta lại kẻ được một tiếp tuyến y = 0 từ P tiếp xúc với F tại Q. Còn nếu y0= 0 thì IQ(f, f) = IQ(f , f −2yy0f) = 3.
Mặt khác theo định lý Bezout thì số giao điểm (tính cả bội) của F và F
bằng deg(F )deg(F ) = n(n − 1). Vậy từ những điều trên suy ra qua P kẻ được
n(n − 1) − 2α − 3γ tiếp tuyến tới F hay n′ = n(n − 1) − 2α − 3γ.
Còn công thức γ′ = 3n(n − 2) − 6α− 8γ được suy ra từ mệnh đề 2.1.1, vì γ′
chính là số các điểm uốn của F và bằng deg(F )deg(HF) −6α− 8γ.
Các công thức còn lại được chứng minh tương tự khi ta gán F:=F∗.
Mở rộng thêm, ta sẽ tìm công thức tương tự khi giả thiết F là một đường cong trơn bậc 4 bất kỳ. Khi đó, α và β đếu bằng 0, ngoài ra xuất hiện thêm một bất biến mới là số điểm uốn bậc 2 của F , ta đặt là β. Theo [5] thì đối ngẫu với tiếp tuyến tại điểm uốn bậc 2 là một điểm kỳ dị bội 3 có dạng y3 = x4, trên đường cong đối ngẫu. Do vậy, β cũng chính là số điểm bội 3 (như trên) của F∗. Bây giờ ta sẽ xem lại từng công thức trong định lý trên, liệu chúng có còn đúng hoặc có thay đổi gì không?
Với công thức thứ nhất ta chỉ việc thay α = γ = 0, n = 4 và tính được bậc của đường cong đối ngẫu n′ = 12. Bởi vì trong phần chứng minh định lý trên, ta thấy rằng việc xuất hiện điểm uốn bậc 2 không ảnh hưởng n′.
(thường), γ′ là số cusp (thường) và
β là tất cả các điểm kỳ dị của F ∗. Để bắt đầu từ hệ phương trình:
là số các điểm bội 3 (như trên) và đó cũng tìm lớp của F∗ tức là bậc của F , ta cũng x F ∗ + y F ∗ + F ∗ = 0 0 x 0 y z Đặt F ∗ là đường cong có phương trình x0Fx∗ + y0Fy∗ + Fz∗ = 0. Tại các điểm node và cusp trong chứng minh định lý trên đã trình bày, bây giờ ta tính số giao của F ∗
và F ∗ tại một điểm bội 3 của F ∗. Giả sử P (0 : 0 : 1) là một điểm bội 3
và f ∗ = F ∗(x, y, 1) = y3 + ax4 + , a = 0. Khi đó, qua một vài thao tác ta dễ dàngtính được IP (F∗, F∗) = 8.
Vậy công thức thứ 2 trong trường hợp này là: n = n′(n′ − 1) − 2α′ − 3γ′ − 8β. Còn công thức thứ 3 là: γ′ = 3n(n − 2) − 2β. Đây là một hệ quả trực tiếp từ
Trong công thức thứ 4, γ (bằng
0) chính là số điểm uốn của F∗, nên để xét lại công thức này, ta sẽ đi tìm số giao của F ∗ và HF ∗ tại điểm bội
3 của F ∗. Giả sử P (0 : 0 : 1) là một điểm bội 3 của F ∗ và f ∗ = F ∗(x, y, 1) = y3 + ax4 + , a = 0. Khi đó, g = (fx∗)2fyy∗ + (fy∗)2fxx∗ − 2fx∗fy∗fxy∗ = 108ax2y4 + 96ax6y+ , ta sẽ đi tính IP (f ∗, g) = IP (f ∗, g − 108ax2yf ∗) = IP (f ∗, −12a2x6y + ). Trước hết ta có: IP(f ∗, y2(−12a2x6y+ )) = IP (f ∗, y2(−12a2x6y + ) + 12a2x6f ∗) = IP (f ∗, 12a3x10 + ) = IP (y3 + x4 + , 12a3x10 + ) = 3 × 10 = 30
(theo tính chất 5 của số giao). Mặt khác, IP (f ∗, y2) = IP (f ∗ − y.y2, y2) = IP (ax4, y2) = 8. Theo tính chất (6) của số giao ta có: IP (f ∗, y2(−12a2x6y + )) = IP (f ∗, y2) + IP (f
∗, −12a2x6y+ ).
Từ đó suy ra IP (f ∗,−12a2x6y+
Vậy IP(F ∗, HF∗ ) = 22 và công thức thứ 4 của Pl¨ucker trong trường hợp
F là một đường cong trơn bậc 4 là:
γ = 0 = 3n′(n′ − 2) − 6α′ − 8γ′ − 22β.
Tóm lại, với F là một đường cong trơn bậc 4 ta có các kết quả sau: 1’) n′ = 12.
2’) n= 4 = n′(n′ −1) −2α′−3γ′−8β.
3’) γ′ = 3n(n −2) −2β.
4’) γ= 0 = 3n′(n′ −2) −6α′− 8γ′−22β.
Từ các công thức trên ta đưa ra một vài nhận xét như sau:
a) Công thức (4’) là trùng với công thức (2’), nhưng nó đem lại thêm cho ta thông tin về số giao của đường cong đối ngẫu F ∗ và đường cong Hessian của nó tại các điểm kỳ dị của F∗.
b) Thay (1’) và (3’) vào (2’) ta có α′ = 28 −β. Mặt khác, ta có đánh giá về số
điểm uốn bội 2 của F như sau: 0 ≤ β ≤ = 12. Chính xác hơn theo
[8] thì β có thể nhận lần lượt các giá trị từ 0 tới 12, ngoại trừ hai giá trị 10 và 11. Từ đó ta thấy rằng, số các song tiếp tuyến của F là α′ ∈ {16; 19; 20; 21; . . . ; 28}. Ví dụ về trường hợp α′ = 16 là đường cong Fermat x4 + y4 + z4 = 0, trường hợp α′ = 28 là đường cong Klein x3y + y3z + z3x = 0, tính toán cụ thể về song tiếptuyến của hai đường cong này chúng tôi có trình bày trong chương 3.