b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
Cho C l mët tªp con kh¡c réng lçi âng cõa Rn v cho F : Rn → Rn. Ta x²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n sau:
T¼m x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), y −x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C.
G¦n ¥y, nhi·u ph÷ìng ph¡p ¢ ÷ñc ph¡t triºn º gi£i quy¸t b i to¡n n y, trong â ph÷ìng ph¡p chi¸u l mët ph÷ìng ph¡p cì b£n.
Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ giîi thi»u mët thuªt to¡n chi¸u d÷îi ¤o h m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v kh£o s¡t t½nh hëi tö cõa thuªt to¡n n y. Thuªt to¡n n y l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa thuªt to¡n trong [4] º gi£i b i to¡n c¥n b¬ng.
2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
Trong ph¦n n y ta luæn gi£ thi¸t Rn l khæng gian Euclid n-chi·u vîi t½ch væ h÷îng v chu©n l¦n l÷ñt ÷ñc kþ hi»u bði h·,·i v k · k.
Ta ph¡t biºu l¤i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n.
ành ngh¾a 2.1. Cho C l mët tªp con lçi, âng, kh¡c réng trong Rn,
k½ hi»u l V IP(F;C) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:
T¼m x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), y −x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C. (2.1) Tªp hñp t§t c£ c¡c nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (2.1) ÷ñc kþ hi»u l S(F;C).
V½ dö 2.1. Trong R, x²t tªp C = [2; 6] ⊂ R v ¡nh x¤ F : [2; 6] → R ÷ñc x¡c ành bði
F(x) =x−2, x ∈ [2; 6].
Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(F;C) l t¼m x∗ ∈ [2; 6]
sao cho
hx∗ −2, y−x∗i ≥ 0, ∀y ∈ [2; 6]. (2.2)
Ta chùng minh r¬ng: S(F;C) = {2}.
Thªt vªy, hiºn nhi¶n x∗ = 2 l mët nghi»m. N¸u x∗ ∈ (1; 2) th¼ (2.2) ch¿ thäa m¢n vîi y ≤ x∗. Ng÷ñc l¤i, n¸u x∗ > 2 th¼ (2.2) ch¿ thäa m¢n vîi
y ≥ x∗. i·u n y chùng tä r¬ng x∗ = 2 l nghi»m duy nh§t.
B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n câ c¡c tr÷íng hñp ri¶ng quan trång l b i to¡n cüc tiºu h m lçi tr¶n tªp lçi v b i to¡n bò phi tuy¸n.
M»nh · 2.1. Cho C l mët tªp lçi, âng, kh¡c réng trong Rn v
f : C → R l mët h m lçi, kh£ vi. F l mët ¡nh x¤ i tø tªp C v o Rn
v F(x) = 5f(x). Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(F;C)
t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n cüc trà:
(OP) T¼m x∗ ∈ C thäa m¢n f(x∗) ≤f(y) ∀y ∈ C. Chùng minh. Gi£ sû x∗ l nghi»m cõa b i to¡n V IP(F;C), tùc l
Theo Bê · 1.1, h m f l lçi n¶n ta câ
f(y)−f(x∗) ≥ h5f(x∗), y−x∗i, ∀y ∈ C.
M F(x) = 5f(x) n¶n f(x∗) ≤ f(y) ∀y ∈ C, i·u n y câ ngh¾a l x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP).
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP), theo i·u ki»n tèi ÷u cõa h m lçi ta câ
0∈ 5f(x∗) +NC(x∗).
Tø â, ta suy ra − 5f(x∗) ∈ NC(x∗) hay −F(x∗) ∈ NC(x∗). Tùc l h−F(x∗), y−x∗i ≤ 0,∀y ∈ C ⇔ hF(x∗), y−x∗i ≥ 0,∀y ∈ C.
Vªy x∗ l mët nghi»m cõa b i to¡n V IP(F;C).
Khi C l mët nân lçi trong khæng gian Rn th¼ b i to¡n V IP(F;C)
trð th nh b i to¡n bò:
(CP) T¼m x∗ ∈ C, F(x∗) ∈ C0 sao cho hF(x∗), x∗i = 0
trong â C0 := {y ∈ C :hx, yi ≥ 0, ∀x ∈ C} l nân èi ng¨u cõa C. Ta câ m»nh · sau:
M»nh · 2.2. N¸u C l mët nân lçi, compact trong khæng gian Rn
th¼ b i to¡n bò (CP) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
V IP(F;C), ngh¾a l tªp nghi»m hai b i to¡n n y tròng nhau.
Chùng minh. Gi£ sû x∗ l nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
V IP(F;C), tùc l
V¼ C l nân lçi, x∗ ∈ C n¶n y +x∗ ∈ C, ∀y ∈ C. Thay y = y + x∗ v o b§t ¯ng thùc (2.3) ta ÷ñc
hF(x∗), y+x∗ −x∗i ≥ 0,∀y ∈ C ⇔ hF(x∗), yi ≥ 0,∀y ∈ C.
Suy ra F(x∗) thuëc nân èi ng¨u C0. Thay y = 1
2x
∗ v o b§t ¯ng thùc (2.3) ta ÷ñc hF(x∗), x∗i ≤ 0,∀y ∈ C.
Suy ra hF(x∗), x∗i = 0 hay x∗ ∈ C, F(x∗) ∈ C0 l nghi»m cõa b i to¡n bò phi tuy¸n (CP).
Ng÷ñc l¤i, n¸u x∗ ∈ C l nghi»m cõa b i to¡n bò (CP) th¼ hF(x∗), x∗i = 0, F(x∗) ∈ C0.
V¼ F(x∗) ∈ C0 n¶n hF(x∗), yi ≥ 0, ∀y ∈ C. Ta câ hF(x∗), y−x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C
hay x∗ ∈ C l nghi»m cõa b i to¡n V IP(F;C).
2.2 Mët thuªt to¡n chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para-ìn i»u
ành ngh¾a 2.2. Cho C l mët tªp con lçi trong khæng gian Rn v
F : C →Rn. Khi â, ¡nh x¤ F l
(i) ìn i»u m¤nh tr¶n C n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè γ > 0 sao cho hF(x)−F(y), x−yi ≥ γkx−yk2, ∀x, y ∈ C;
(ii) ìn i»u tr¶n C n¸u
(iii) Gi£ ìn i»u tr¶n C n¸u
hF(x), y −xi ≥ 0 ⇒ hF(y), y−xi ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
(iv) Para-ìn i»u tr¶n C n¸u
x∗ ∈ S(F, C), x ∈ C,hF(x), x∗−xi = 0,hF(x∗), x−x∗i = 0 ⇒ x ∈ S(F, C).
Nhªn x²t 2.1. Ta câ (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii) l hiºn nhi¶n. V½ dö 2.2.
a) Cho ¡nh x¤ F ìn trà x¡c ành tr¶n R nh÷ sau:
F(x) = 2x, ∀x∈ R
vîi F(x) l ¤o h m c§p 1 cõa h m lçi x2 x¡c ành tr¶n R. Khi â d¹ th§y r¬ng F l ìn i»u tr¶n R. b) Cho F(x) = Qx, trong â Q l ma trªn vuæng cï n×n. Theo ành ngh¾a, ta th§y F l ìn i»u tr¶n to n khæng gian khi Q l ma trªn vuæng, èi xùng, nûa x¡c ành d÷ìng. N¸u
Q l èi xùng, x¡c ành d÷ìng, th¼ F ìn i»u m¤nh. Têng qu¡t hìn n¸u f l mët h m lçi tr¶n C th¼ 5f l ìn i»u tr¶n C.
Chó þ khæng ph£i måi to¡n tû ìn i»u ·u l ¤o h m cõa h m lçi. Ta câ c¡c bê · sau s³ c¦n º sü chùng minh sü hëi tö cõa thuªt to¡n. Bê · 2.1. [4] Gi£ sû {νk} v {δk} l hai d¢y sè thüc khæng ¥m thäa m¢n νk+1 ≤νk +δk vîi P+∞
k=1δk < +∞. Khi â d¢y {νk} hëi tö. Bê · 2.2. [4] Gi£ sû θ, β v ξ l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n
θ2 −βθ−ξ ≤0, khi â
Chùng minh. X²t h m sè bªc hai s(θ) = θ2 −βθ − ξ, khi â s(θ) ≤ 0 suy ra θ ≤ β + p β2 + 4ξ 2 , v¼ θ > 0. Nh¥n b§t ¯ng thùc tr¶n vîi β v ¡p döng t½nh ch§t ab ≤ a 2 +b2 2 ta ÷ñc βθ ≤ 2−1 h β2 +βpβ2 + 4ξ i ≤ 2−1 β2 + β 2 + β2 + 4ξ 2 = 2−1β2 +β2 + 2ξ = β2 +ξ.
Suy ra i·u ph£i chùng minh.
º chùng minh sü hëi tö ta s³ gi£ sû tªp nghi»m cõa (2.1) ÷ñc chùa trong tªp nghi»m cõa b i to¡n sau
T¼m x∗ ∈ C sao cho hF(y), x∗ −yi ≤ 0, ∀y ∈ C. (2.5) Tªp nghi»m cõa b i to¡n n y ÷ñc kþ hi»u bði Sd(F;C).
Thuªt to¡n ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau.
Cho tham sè d÷ìng ρ v c¡c d¢y sè thüc {ρk} v {βk} thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
ρk > ρ, βk > 0, ∀k ∈ N, (2.6)
X βk
V½ dö ta l§y ρk = 1 vîi måi k, βk = m
k+ 1 vîi m > 0. Ph÷ìng ph¡p chi¸u.
B÷îc 0: Chån x0 ∈ C. °t k = 0.
B÷îc 1: Gi£ sû xk ∈ C. L§y gk = F(xk). Ta ành ngh¾a
αk = βk
γk trong â γk = max{ρk,kgkk}. (2.8) B÷îc 2: T½nh xk+1 ∈ C sao cho
hαkgk +xk+1−xk, x−xk+1i ≥ 0, ∀x ∈ C, (2.9) ngh¾a l xk+1 = PC(xk −αkgk).
i·u ki»n døng: Thuªt to¡n s³ døng t¤i b÷îc l°p k, n¸u gk = 0 hay
xk+1 = xk.
Ta câ sì ç thuªt to¡n sau:
M»nh · 2.3. N¸u thuªt to¡n chi¸u d÷îi ¤o h m sinh ra mët d¢y húu h¤n th¼ iºm cuèi còng l mët nghi»m cõa b i to¡n V IP(F;C).
Chùng minh. N¸u gk = 0 th¼ hF(xk), y − xki = 0 vîi måi y, vªy xk l nghi»m cõa b i to¡n V IP(F;C).
B¥y gií gi£ sû thuªt to¡n k¸t thóc t¤i b÷îc 2, ngh¾a l xk = xk+1. N¸u
xk = xk+1 th¼ tø xk+1 = PC(xk −αkF(xk)), theo ành ngh¾a cõa ph²p chi¸u, ta câ
hxk+1 −(xk−αkF(xk)), y −xki ≤ 0, ∀y ∈ C.
Do xk = xk+1 v αk > 0, b§t ¯ng thùc cuèi còng trð th nh hF(xk)), y−xki ≥ 0 ∀y ∈ C,
ngh¾a l xk l mët nghi»m.
Tø gií trð i, chóng ta gi£ sû thuªt to¡n sinh ra mët d¢y væ h¤n ÷ñc kþ hi»u l {xk}.
Ta câ t½nh ch§t sau.
Bê · 2.3. Vîi méi k, c¡c b§t ¯ng thùc sau óng (i) αkkgkk ≤ βk;
(ii) βkkxk+1 −xkk ≤ βk2.
Chùng minh. (i) Tø (2.8) ta câ
αkkgkk = βkkgkk
max{ρk,kgkk} ≤ βk. (2.10) (ii) B¬ng c¡ch l§y x = xk trong (2.9) ta ÷ñc
≤ αkkgkkkxk+1−xkk (2.11) ≤ βkkxk+1−xkk.
Do â, tø Bê · 2.2 vîi θ = kxk+1 −xkk, β = βk v ξ = 0, vîi méi
k ∈ N ta suy ra i·u ph£i chùng minh.
Gi£ thi¸t ti¸p theo s³ ÷ñc sû döng trong chùng minh sau n y. A1. Tªp nghi»m S(F;C) kh¡c réng;
M»nh · 2.4. Gi£ sû A1 thäa m¢n. Khi â, vîi måi x∗ ∈ S(F;C) v vîi méi k, ta câ c¡c kh¯ng ành sau
kxk+1 −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 + 2αkhF(xk), x∗ −xki+ δk, (2.12) trong â δk = 2βk2.
Chùng minh. B¬ng ph²p bi¸n êi ìn gi£n, ta câ
kxk+1 −x∗k2 = kxk −x∗k2 − kxk+1−xkk2 + 2hxk−xk+1, x∗ −xk+1i ≤ kxk −x∗k2 + 2hxk −xk+1, x∗ −xk+1i. (2.13) K¸t hñp (2.13) v (2.9) vîi x = x∗ ta suy ra kxk+1 −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 + 2hαkgk, x∗ −xk+1i = kxk −x∗k2 + 2hαkgk, x∗ −xki (2.14) + 2hαkgk, xk −xk+1i.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz v Bê · 2.3 (i), suy ra
kxk+1−x∗k2 ≤ kxk−x∗k2 + 2αkhgk, x∗ −xki+ 2βkkxk−xk+1k. (2.15)
Theo (2.15) v Bê · 2.3 (ii), ta câ
Do â, v¼ αk > 0 n¶n ta suy ra i·u ph£i chùng minh.
i·u ki»n sau ÷ñc dòng º chùng minh t½nh bà ch°n cõa d¢y {xk} ÷ñc sinh bði thuªt to¡n.
A2. S(F;C) ⊆ Sd(F;C);
Chó þ r¬ng n¸u F li¶n töc v gi£ ìn i»u, th¼ gi£ thi¸t A2 óng. ành lþ 2.1. Gi£ sû A1 v A2 ·u thäa m¢n. Khi â,
(i) {kxk −x∗k2} l d¢y hëi tö vîi måi x∗ ∈ S(F;C); (ii) {xk} l d¢y bà ch°n.
Chùng minh. (i) Gi£ sûx∗ ∈ S(F;C)v k ∈ N. Theo A2 ta câhF(xk), x∗−
xki ≤ 0 còng vîi M»nh · 2.4 suy ra
kxk+1 −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 +δk, (2.17) trong â δk = 2βk2.
Do â, theo (2.7) v (2.8) ta câ
+∞
X
k=0
δk < +∞. (2.18)
Do â, tø (2.17), (2.18) v Bê · 2.3 suy ra {kxk −x∗k2} l mët d¢y hëi tö.
(ii) Suy ra tø (i).
ành lþ 2.2. Gi£ sû F li¶n töc v c¡c gi£ thi¸t A1, A2 ·u thäa m¢n. Khi â, ta câ
lim sup
k→+∞
Chùng minh. Gi£ sû x∗ ∈ S(F;C). Theo M»nh · 2.4 v A2 suy ra 0 ≤2αk[−hF(xk), x∗ −xki] ≤ kxk−x∗k2 − kxk+1 −x∗k2 + δk. (2.19) Do â, 0 ≤ 2 m X k=0 αk[−hF(xk), x∗ −xki] ≤ kx0 −x∗k2 − kxm+1 −x∗k2 + m X k=0 δk (2.20) ≤ kx0 −x∗k2 + m X k=0 δk. Khi m → +∞ ta câ 0 ≤2 +∞ X k=0 αk[−hF(xk), x∗ −xki] ≤ kx0 −x∗k2 + +∞ X k=0 δk, (2.21) k¸t hñp vîi (2.18) suy ra 0 ≤ +∞ X k=0 αk[−hF(xk), x∗ −xki]< +∞. (2.22) M°t kh¡c, ta câ {kgkk} l d¢y bà ch°n. Khi â,
γk ρk = max{1, ρ−k1kgkk} ≤ L ρ ∀k ∈ N. Do â αk = βk γk ≥ ρ L βk ρk ∀k ∈ N. (2.23) Tø (2.22) v (2.23), ta câ +∞ X k=0 βk ρk[−hF(xk), x∗ −xki] < +∞. (2.24) Vªy, tø (2.24) v (2.7) suy ra i·u ph£i chùng minh.
º câ ÷ñc sü hëi tö cõa c£ d¢y chóng ta ÷a ra gi£ thi¸t sau. A3. Gi£ sû x∗ ∈ S(F;C) v x¯∈ C. N¸u
hF(¯x), x∗ −x¯i = hF(x∗),x¯−x∗i = 0
th¼ x¯ ∈ S(F;C);
ành lþ 2.3. Gi£ sû A1, A2 v A3 ·u thäa m¢n. Khi â, d¢y {xk} hëi tö ¸n mët nghi»m cõa V IP(F;C).
Chùng minh. Gi£ sû x∗ ∈ S(F;C). Theo ành lþ 2.2, tçn t¤i mët d¢y con {xkj} cõa {xk} sao cho
lim sup
k→+∞
hF(xk), x∗ −xki = lim
j→+∞hF(xkj), x∗ −xkji. (2.25) Trong ành lþ 2.1, ta câ {xkj} l d¢y bà ch°n. Vªy, câ x¯ ∈ C v mët d¢y con cõa {xkj}, khæng m§t têng qu¡t, cö thº l {xkj} sao cho
lim j→+∞xkj = ¯x. (2.26) Do F li¶n töc, n¶n hF(¯x), x∗ −x¯i = lim j→+∞hF(xkj), x∗ −xkji (2.27) = 0.
Tø gi£ thi¸t A2 ta câ hF(¯x), x∗ −x¯i ≤ 0, dâ â ta câ
hF(¯x), x∗ −x¯i = 0. (2.28) Do â, ta suy ra x¯ ∈ S(F;C). p döng ành lþ 2.1 l¦n núa ta ÷ñc d¢y {kxk −x¯k2} hëi tö, k¸t hñp vîi (2.26) suy ra
lim
V½ dö 2.3. Cho F : R2 →R2 x¡c ành bði:F(x) =Ax vîiA = 2 0 0 2 . Cho C = {x = (x1, x2) ∈ R2 :kxk ≤ 1}.
Vîi måi x = (x1, x2) ∈ C, vîi måi y = (y1, y2) ∈ C ta câ: hF(x)−F(y), x−yi = hA(x−y), x −yi = 2(x1 −y1)(x1 −y1) + 2(x2 −y2)(x2 −y2) = 2(x1 −y1)2 + 2(x2 −y2)2 = 2kx−yk2. Do â F l ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi γ = 2. Ta câ kF(x)−F(y)k = kA(x−y)k = 2kx−yk. Do â F l 2 - li¶n töc Lipschitz tr¶n C.
Tø t½nh ìn i»u m¤nh cõa F suy ra b i to¡n:
T¼m x∗ ∈ C: hF(x∗), y −x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C
câ duy nh§t nghi»m. D¹ th§y r¬ng x∗ = (0,0) l nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n.
Chån c¡c tham sè thäa m¢n gi£ thi¸t
ρk = 1, βk = 2
k+ 1, ∀k ≥ 1.
Ph÷ìng ph¡p chi¸u d÷îi ¤o h m câ d¤ng:
x ∈ C gk = A(xk) = (2xk1 2xk2) xk+1 = PC(xk −αkgk)
trong â αk = βk
γk vîi γk = max{ρk,kgkk}. Ph²p chi¸u tr¶n C câ d¤ng
PC(x) = x n¸u kxk ≤ 1 0 + 1 kx−0k(x−0) n¸u kxk > 1. Hay PC(x) = x n¸u kxk ≤ 1 x kxk n¸u kxk> 1.
Vîi iºm ban ¦u x0 =
1 2, 1 2 . Lªp tr¼nh tr¶n Matlab ta câ b£ng k¸t qu£ sau: k xk1 xk2 kxk −x∗k 1 -0.207106781 -0.207106781 0.292893218 2 0.069035593 0.0690335593 0.0976310729 3 0 0 0
KT LUN
Luªn v«n nghi¶n cùu v· to¡n tû chi¸u metric l¶n tªp lçi âng v ùng döng v o b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para-ìn i»u. Cö thº l : 1. Nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cì b£n cõa tªp lçi, h m lçi v
ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi.
2. Giîi thi»u ành ngh¾a v c¡c t½nh ch§t cõa ph²p chi¸u l¶n mët tªp lçi âng v cæng thùc t½nh h¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n c¡c tªp °c bi»t nh÷ nûa khæng gian, h¼nh c¦u âng hay si¶u hëp,...
3. Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v n¶u mèi li¶n quan cõa b i to¡n n y vîi b i to¡n cüc tiºu h m lçi tr¶n tªp lçi v b i to¡n bò phi tuy¸n.
4. Sû döng ph²p chi¸u º x¥y düng thuªt to¡n chi¸u d÷îi ¤o h m gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para-ìn i»u.