2 Họ hàm chuẩn tắc và lý thuyết Fatou Julia
2.1.1.Họ chuẩn tắc và tính chất
Trước hết, ta chứng minh sự tương ứng không-Acsimet của bổ đề Schwarz trong trường hợp phức.
Định lý 2.1 ([7]). Lấy f ∈ A∗(1(Cp)−Cp, nghĩa là f là một chuỗi lũy thừa bị chặn hội tụ trong Cp(0,1) khác hằng và giả sử
f(0) = 0, |f(z)| 6 1, z ∈ Cp(0,1). Khi đó hoặc |f(z)| < |z|, z ∈ Cp(0,1)\ {0}, hoặc |f(z)| = |z|, z ∈ Cp(0,1). Chứng minh. Ta viết f(z) = ∞ X n=1 anzn. Ta có µ(r, f) = max
n>1 |an|rn 6 1,0 < r < 1. Điều này kéo theo max n>1 |an|< 1. Nếu |a1| < 1, thì |fz| 6 max n>1 |an|zn = max n>1 |an|zn−1 |z| < |z|, z ∈ Cp(0,1)\ {0}.
(Vì max|an|zn−1 = max n>2 n |a1|,|an| |z|n−1odo |an| 6 1,với mọin,|z| < 1 suy ra |an| |z|n−1 < 1,|a| < 1). Nếu |a1| = 1, thì max n>2 |an| |z|n−1 < 1 = |a1|. Và do đó |f(z)| > |a1z| = |z| ⇒ |f(z)| = |z|.
Hệ quả 2.2 ([7]). Với các giả thiết của Định lý 2.1 thì |f0(0)| 6 1. Ta biết rằng C(0,1) với metric hyperbolic xác định bởi
ρ(z, w) = 1 2log
|1−zw¯ |∞+|z −w|∞ |1−zw¯ |∞ − |z −w|∞
là đột không gian metric đầy đủ.(|x|∞ = |x|). Trong trường hợp giá trị tuyệt đối không-Acsimet |.| trên Cp, metric có dạng
ρ(z, w) = 1 2log
1 +|z −w|
1− |z −w|. (2.1)
Năm 1916, G. Pick đã chứng minh:
Định lý 2.3 ([7]). Giả sử rằng f ∈ A∗(1(Cp) và |f(z)| < 1 với z ∈ Cp(0,1).
Khi đó hoặc
ρ(f(z), f(w)) < d(z, w)
với mọi z và w, z 6= w, hoặc
ρ(f(z), f(w)) =d(z, w)
với mọi z và w.
Bây giờ ta xét khoảng cách cầu. Với z, w ∈ C¯p, z 6= w ta đặt
χ(z, w) = |z−w| |z|∨|w|∨ : z, w ∈ Cp 1 |z|∨ : w = ∞. (2.2)
Khi đó χ là một siêu metric trên Cp, trong đó x∨ = max{1, x}. Dễ thấy 1 0 = ∞, 1 ∞ = 0 thì ta có χ(1 z, 1 w) =χ(z, w); z, w ∈ Cp.
Lấy một tập mở D ⊂ Cp. Một hàm f(z) xác định trên D là liên tục cầu tại z0 ∈ D, nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho
χ(f(z), f(z0)) < ε, z ∈ D ∩Cp(z0, δ).
f được gọi là liên tục cầu trên D nếu nó liên tục cầu tại mọi điểm thuộc D.
Bổ đề 2.4 ([7]). Một hàm phân hình địa phương f là liên tục cầu trong miền xác định của nó.
Chứng minh. Nếu z0 không phải là cực điểm của f, thì f liên tục tại z0 theo định nghĩa của hàm phân hình, và từ bất đẳng thức
χ(f(z), f(z0)) < |f(z)−f(z0|, (2.3) ta thấy rằng f cũng liên tục cầu tại cực điểm của f, khẳng định tương tự được rút ra bằng cách xét hàm f1 với chú ý rằng χ 1 f(z), 1 f(w) = χ(f(z), f(w)).
Định nghĩa 2.5 ([7]). Một họ F các hàm từ tập mở D ⊂ Cp vào Cp được gọi là đồng liên tục cầu hoặc một họ đồng liên tục cầu tại z0 ∈ D nếu và chỉ nếu mọi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho với mọi z ∈ D,với mọi f ∈ F,
|z −z0| < δ kéo theo χ(f(z), f(z0)) < ε.
Họ F được gọi là đồng liên tục cầu trên D nếu và chỉ nếu F là đồng liên tục cầu tại mọi điểm của D. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bất đẳng thức (2.3) suy ra rằng một họ F các hàm mà đồng liên tục theo nghĩa gốc thì cũng đồng liên tục cầu.
Một dãy các hàm fn xác định trên D gọi là hội tụ cầu đều trên D nếu với mọi ε > 0, tồn tại N > 0 sao cho
χ(fm(z), fn(z)) < ε,với mọi m, n > N,với mọi z ∈ D
và được gọi là hội tụ cầu đều địa phương trên D nếu mọi điểm z0 ∈ D có một đĩa Cp[z0, r] mà trên đó fn hội tụ cầu đều, và được gọi là bị chặn đều trên D nếu tồn tại B ∈ R+ sao cho:
|fn| < B, với mọi n > 1, với mọi z ∈ D
Bổ đề 2.6 ([7]). Nếu một dãy hàm liên tục cầu {fn} hội tụ cầu đều trên tập đóng D, thì nó hội tụ tới một hàm f liên tục cầu trên D và fn đồng liên tục cầu trên D.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh f là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại f, f0 xác định trên D : fn → f, fm →f0.
Khi đó
với mọi ε > 0, tồn tại N1 : χ(fn, f) < ε,với mọi n > N1 tồn tại N2 : χ(fm, f0) < ε,với mọi m > N2.
Lại do fn hội tụ đều suy ra tồn tại N3 :χ(fn, fm) < ε, với mọi m, n > N3. Chọn N = max{N1, N2, N3} thì từ bất đẳng thức
χ(f, f0) < max{χ(f, fn), χ(fn, fm), χ(fm, f0)}
suy ra χ(f, f0) < ε,với mọi ε > 0. Điều này kéo theo χ(f, f0) =
Chú ý rằng f có thể nhận giá trị ∞ ở đâu đó trên D. Xét bất đẳng thức χ(f(z), f(z0)) 6 max{χ(f(z), fn(z0)), χ(fn(z), fn(z0)), χ(fn(z0)f(z0))}. Ta thấy với mọi ε > 0 thì tồn tại N > 0, tồn tại δ > 0 để
χ(f(z), f(z0)) < ε, χ(fn(z0), f(z0)) < ε
do f → fn.Và χ(fn(z), fn(z0)) < |fn(z)−fn(z0)| < ε khiz ∈ D∩Cp[z0, δ] do fn liên tục cầu. Suy ra f liên tục cầu trên D.
Để chứng minh tính liên tục đồng bậc, xét bất đẳng thức
χ(fn(z), fn(z0)) 6 max{χ(fn(z), f(z)), χ(f(z), f(z0)), χ(fn(z0)f(z0))}. Ta thấy với mọi ε > 0, tồn tại N > 0, tồn tại δ > 0 để
χ(fn(z), f(z)) < ε, χ(f(z0), fn(z0)) < ε,với mọi n > N do fn →f,
χ(fn(z), fn(z0)) < ε,với mọi z ∈ D ∩Cp[z0, δ] do fn liên tục cầu. Suy ra {fn} liên tục cầu trên D.
Định nghĩa 2.7 ([7]). Một họ F các hàm phân hình địa phương xác định trên một tập mở D được gọi là chuẩn tắc trên D nếu mọi dãy {fn} trong
Định lý 2.8 ([7]). Giả sử {fn} là dãy các hàm phân hình địa phương xác định trên tập mở D. Nếu {fn} hội tụ cầu đều địa phương trên D, thì nó hội tụ đến một hàm phân hình địa phương f (kể cả bằng vô hạn).
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.6, f liên tục cầu trên D, và fn đồng liên tục cầu trên D (do fn phân hình địa phương nên liên tục cầu trên miền xác định). Trong trường hợp riêng, với mỗi z0 ∈ D, chúng có tính chất này trên một đĩa ∆ nào đó chưa z0. Ta xét ba khả năng:
1. f0 ∈ Cp. Theo tính đồng liên tục của f tại z0, tồn tại lân cận U ⊂ ∆ để f liên tục trên U suy ra f bị chặn trên U suy ra tồn tại B > 1 :
|f(z)| < B,với mọi z ∈ U. Hơn nữa, do tính hội tụ cầu đều địa phương tồn tại số nguyên n0 sao cho:
|fn(z)| < 2B, n > n0, z ∈ U.
trong đó fn có không cực điểm trong U, với mỗi n > n0,chúng là chỉnh hình trong U. Chú ý rằng
|fn(z)−f(z)| < 2B2χ(fn(z), f(z)), n > n0, z ∈ U.
Nó chỉ ra rằng dãy {fn} hội tụ đều tới f trên U. Do đóf là chỉnh hình trong U.
2. f(z0) = ∞, nhưng có một lân cận U ⊂ ∆ của z0 trong đó f(z) 6= ∞
trừ ra z = z0. Chúng ta có thể giả sử U phải đủ nhỏ sao cho f(z) 6= 0 trong U. Khi đó f(1z) được xác định rõ ràng trong U và nhận giá trị 0 tại z = z0. Chú ý rằng χ 1 f(z), 1 fn(z) = χ(f(z), fn(z)). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi đó tồn tại số nguyên n0 sao cho dãy
1
fn|n > n0
gồm có hàm chỉnh hình trong U trong đó hội tụ đều tới 1
f trên U. Do đó 1
f là chỉnh hình trong U và có một số không tại z = z0. Nó chỉ ra rằng f là chỉnh hình trong U và có cực điểm tại z = z0.
3. f(z0) =∞,và f nhận giá trị∞trong mọi lân cận của z0 trừ ra z = z0. Bây giờ chú ý rằng
χ(f(z), f(z0)) = 1
Theo tính liên tục cầu, ta phải có:
|f(z)|> B,|z−z0| < δ(B), với B > 1, và hội tụ cầu đều, chứng tỏ rằng:
|fn(z)| > 1
2B, n > n0, |z −z0| < δ(B). Do đó, hàm 1
fn (n > n0) là chỉnh hình trongCp(z0;δ(B)) và nhỏ đều. Trở lại chúng ta có sự hội tu đều của 1
fn(z) tới 1
f(z) trong lân cận này, và do đó 1
f(z) là chỉnh hình. Từ đó z = z0 là điểm tới hạn của không của 1
f(z), khi đó f(z) phải đồng nhất ∞ trong lân cận dưới.
Vì vậy, chúng ta nhìn thấy rằng mọi điểm z0 ∈ D, có một lân cận trong f(z) hay 1
f(z) là chỉnh hình, và do đó f là hàm phân hình trong lân cận. Bởi vậy, f là phân hình địa phương trong D.
Định lý 2.9 ([7]). Nếu một họ hàm F của các hàm phân hình địa phương xác định trên một tập mở D là chuẩn tắc, thì F là đồng liên tục cầu trên
D.
Chứng minh. Giả sử rằng họ F là chuẩn tắc, và giả sử ngược lại rằng F
không đồng liên tục cầu trên D. Khi đó tồn tại ε > 0, tồn tại z0 ∈ D, tồn tại {zn} ⊂ D : zn → z0 nhưng
χ(fn(zn), fn(z0) > ε, n ∈ Z+ ( xem δn = 1
n). (2.4)
Mặt khác, tính chuẩn tắc của F kéo theo rằng dãy {fn(z)} chứa một dãy con {fnk(z)} hội tụ đều cầu địa phương trên D. Nghĩa là, tồn tại đĩa Cp(z0;r) ⊂D mà trên đó {fnk(z)} hội tụ đều. Không mất tính tổng quát, ta giả sử {zn} ⊂ Cp(z0;r (dozn →z0). Tuy nhiên, theo Bổ đề 2.6, {fnk(z)}
đồng liên tục tại z = z0, với k đủ lớn thì
χ(fnk(znk), fnk(z0)) < ε. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra mâu thuẫn với (2.4). Bởi vậy F phải là đồng liên tục cầu trên D. Điều ngược lại của định lý có thể không đúng vì ta sẽ cần tính compact địa phương của không gian để chứng minh tính chuẩn tắc của F từ tính đồng liên tục.