không giao hoán
Luận văn này không đi sâu vào việc xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán nên các định nghĩa và định lý về vành các thương chỉ mang tính chất giới thiệu cho tiện việc sử dụng.(không chứng minh tất cả).
a)Định nghĩa vành S – khả nghịch:
Cho S là một tập con đóng nhân của vành R, tức là một tập con SR sao cho S được đóng bởi phép nhân , 0S,1S. Một đồng cấu :R→R' được gọi là một S – khả nghịch nếu ( )S U(R'). (U(R')là nhóm các phần tử khả nghịch của vành R’).
b) Định nghĩa vành các thương phải:
Một vành R' được gọi là một vành các thương phải (tương ứng với
SR) nếu có một đồng cấu :R→R' sao cho: (i) là S – khả nghịch.
(ii) Mọi phần tử của R' có dạng: 1
( ). ( )r s
− , khi rR s, S . (iii) ker( ) = r R s S rs: =0. (là một ideal trong R)
Để đơn giản hóa kí hiệu, ta viết phần tử của R' là phân số r s/ hay 1
.
r s−
thay cho 1
( ). ( )r s
− . Ta cộng phân số bằng cách lấy mẫu số chung, và nhân phân số bằng cách nhân tử số và mẫu số.
* Lưu ý: Từ iii) ta có R'0, tuy nhiên với một vành Rbất kì, ta không kỳ vọng là sẽ luôn tồn tại các vành thương phải R' . Nếu R' tồn tại thì theo định nghĩa trên, ta có hai điều kiện cần theo S như sau:
c) Định lí:
Cho R tồn tại vành các thương phải, khi đó với mọi aRvà
sSta đều có aSsR (với tính chất này S được gọi là khả hoán bên phải hoặc S là một tập Ore phải) .
Chứng minh:
Với mọi aRvà sS, 1
( )s ( )a R'
− , nên tồn tại rRvà s'S sao cho:
1 1
( )s ( )a ( ) ( ')r s (as') (rs)
− = − = .
Do đó theo iii) ta được: (as'−sr s) "=0, với s"S. Vậy as s' "=srs"aSsR.
d) Định lí:
Cho R tồn tại vành các thương phải, khi đó cho aR, nếu s a' =0, với
'
s Snào đó thì as=0với sS(S thỏa mãn tính chất này nên Scòn được gọi là khả nghịch phải).
Chứng minh:
s a' =0suy ra ( ') ( )s a =0. Do đó ( )a =0, theo iii) ta được as=0với
sS.
e) Định nghĩa:
Tập con đóng nhân SRvừa là tập khả hoán bên phải, vừa là khả nghịch phải thì S được gọi là tập mẫu số phải.
f) Định lí:
Vành R có vành thương phải tương ứng với S, kí hiệu là 1
RS− , khi và chỉ khi S là một tập mẫu số phải.
Tương tự như định nghĩa vành các thương phải, ta cũng có khái niệm “ khả hoán bên trái ”, “ khả nghịch trái ” và vành các thương trái , kí hiệu là
1
S R− .
g) Định lí:
Cho R tồn tại vành các thương trái, khi đó với mọi aRvà sSta đều có SaRs (với tính chất này S được gọi là khả hoán bên trái hoặc S là một tập Ore trái) .
h) Định lí:
Cho R tồn tại vành các thương trái, khi đó cho aR, nếu as'=0, với
'
s Snào đó thì sa=0với sS(S thỏa mãn tính chất này nên Scòn được gọi là khả nghịch trái).
i) Định nghĩa:
Tập con đóng nhân SRvừa là tập khả hoán bên trái, vừa là khả nghịch trái thì S được gọi là tập mẫu số trái.
j) Định lí:
Vành R có vành thương trái tương ứng với S, kí hiệu là 1
S R− , khi và chỉ khi S là một tập mẫu số trái.
k) Hệ quả:
Nếu cả RS−1 và S R−1 cùng tồn tại thì 1 1
( S)
3.3.1. Mệnh đề
Cho S R như trên, khi đó tồn tại một đồng cấu S – khả nghịch đi từ R đến một số vành , kí hiệu là RS, với tính chất phổ dụng sau: Cho bất kỳ đồng cấu S – khả nghịch :R→R', khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành f R: S →R' sao cho = fo.
Chứng minh:
Cố định một số trình bày của R bằng các phần tử sinh và các quan hệ : Cho mỗi sS, gắn liền với một phần tử sinh mới s* và thêm vào hai quan hệ :
. * 1 *. 1 s s s s = =
, khi s là một phần tử trong - đại số tùy ý sao cho có ánh xạ đến s trong sự trình bày đã cho. Tập hợp mới của các phần tử sinh và các quan hệ theo định nghĩa trên là một vành RS, cùng với một đồng cấu vành :R→RS. Cho mỗi sS, hình ảnh của s*trong RScung cấp một nghịch đảo cho ( )s , vì vậy ( )S U R( S). Việc khẳng định tính chất phổ dụng của có thể được xem xét nhanh chóng từ định nghĩa của RS.
Tính chất phổ dụng ở trên đảm bảo tính duy nhất của :R→RS. Đó là lý do chúng ta có lý khi sử dụng kí hiệu RScho việc nhận vành của “ đồng cấu S – khả nghịch phổ dụng ”.
*Ghi chú: mệnh đề trên thực tế là đúng cho bất kỳ tập con SR. Các giả thiết mà ta đưa ra trên S chỉ được áp dụng cho thuận tiện và để tránh các tình huống tầm thường. (Ví dụ như : nếu 0S, khi đó RS sẽ là vành không).