Biểu thức (2.19) là biến đổi Fourier ngược của 𝑆(𝜔, 𝜃)|𝜔|. Do đó, ta có thể nói 𝑔(𝑟, 𝜃) chính là dữ liệu chiếu thu được sau khi đã áp dụng bộ lọc |𝜔|. Ý nghĩa của biểu thức (2.20) ở đây là hình ảnh 𝜇(𝑥, 𝑦) cần dựng tại vị trí (x,y) bằng tổng tất cả những dữ liệu chiếu đã lọc mà có đường tia đi qua điểm đó [2].
Phương pháp chiếu ngược có lọc là phương pháp đơn giản, trực quan, đòi hỏi chí phí tính toán thấp. Nhược điểm của phương pháp được thể hiện thông qua biểu thức tích phân (2.19). Biểu thức (2.19) đòi hỏi dữ liệu chiếu phải là dữ liệu liên tục. Trong thực tế ta chỉ thu được dữ liệu rời rạc và có độ mịn tùy thuộc vào hệ ghi hình.
2.2. Phương pháp lặp
Nguyên tắc chung của phương pháp lặp là lặp đi lặp lại một thuật toán để đạt được hình ảnh có chất lượng tốt nhất. Phương pháp lặp được chia thành hai loại nhỏ, phương pháp lặp đại số và lặp thống kê.
Đối với phương pháp lặp đại số, ta tìm cách giải nghiệm x của phương trình,
𝐴𝑥 = 𝑏 (2.21)
trong đó x là ảnh cần dựng, b là dữ liệu chiếu chụp từ thực tế, A là ma trận mô tả phép chiếu. Vì số lượng tia chiếu và góc chiếu trong dữ liệu chiếu thực tế là lớn nên
phương trình (2.21) không thể giải được bằng các phương pháp giải hệ phương trình tường minh, ngay cả khi sử dụng máy tính diện tử. Nghiệm x được giải bằng phương pháp lặp,
𝑥(𝑘+1) = 𝑥(𝑘)+ 𝜆𝑛𝛿𝑥(𝑘) (2.22)
Ở phương trình (2.22), nghiệm ở lần lặp thứ k+1 thu được bằng cách thêm một lượng ( )k
n x
tương ứng với nghiệm của lần lặp ngay trước đó [9]. Cách tìm 𝜆𝑛𝛿𝑥(𝑘) khác nhau khi các thuật toán lặp đại số khác nhau. Có thể kể đến một số thuật toán được sử dụng phổ biến như Algebraic Reconstruction Technique (Kỹ thuật tái tạo đại số), Simulataneous Algebraic Reconstruction Technique (Kỹ thuật tái tạo đại số đồng thời)...
Với phương pháp lặp thống kê, ta sử dụng mô hình sau
𝐴𝑥 + 𝑝 = 𝑏 (2.23)
trong đó x là ảnh cần dựng, b là dữ liệu chiếu chụp thực tế, A là ma trận mô tả phép chiếu, p là đại lượng mô tả những đặc tính không ổn định của hệ chụp, chẳng hạn như nhiễu [10]. Áp dụng mô hình thống kê thích hợp, ta có thể tìm được nghiệm x sao cho thỏa mãn phương trình (2.23). Một số thuật toán được sử dụng để tìm ra nghiệm x có thể kể đến như thuật toán cực đại hóa kỳ vọng (EM) [2], cực đại hóa kỳ vọng theo thứ tự tập hợp con [11], cực đại hóa kỳ vọng trên không gian phổ quát luân phiên [12], gradient liên hợp [13], ...
Ưu điểm mà phương pháp lặp mang lại đó là cho hình ảnh với chất lượng tốt. Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi chi phí tính toán rất cao do phải thực hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trước khi có kết quả tối ưu.
Một trong các phương pháp lặp phổ biến là phương pháp cực đại hóa kỳ vọng (EM) [2]. Nguyên lý cơ bản của phương pháp này là những đặc tính không ổn định của hệ ghi hình được mô tả bởi một mô hình thống kê. Ảnh thu được từ những lần lặp đầu tiên không ổn định, vẫn còn nhiều nhiễu. Trải qua nhiều lần lặp, nhiễu và những đặc điểm không ổn định sẽ bị loại bỏ dần và trở thành ảnh tin cậy.
Trong phương pháp EM, gọi 𝜇𝑥,𝑦 để chỉ điểm ảnh tại vị trí (𝑥, 𝑦) trên ảnh CT 𝜇(𝑥, 𝑦), 𝑝𝑟,𝜃 để chỉ dữ liệu chiếu thu nhận được tại detector cách tâm một đoạn 𝑟, tại góc chiếu 𝜃 [2]. Vì phương pháp cực đại hóa kỳ vọng thuộc loại phương pháp lặp nên bước đầu tiên ta mô hình hóa phép biến đổi từ ảnh 𝜇(𝑥, 𝑦) thành dữ liệu chiếu 𝑃(𝑟, 𝜃). Sau đó, một thuật toán lặp được sử dụng để tìm nghiệm 𝜇(𝑥, 𝑦) phù hợp nhất với mô hình cực đại hóa kỳ vọng.
Bước thứ nhất là mô hình hóa biến đổi từ ảnh 𝜇(𝑥, 𝑦) thành dữ liệu chiếu 𝑃(𝑟, 𝜃). Ta giả sử phép biến đổi này có dạng,
𝐴𝜇 + 𝑏 = 𝑃 (2.24)
với 𝐴 = {𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦} là xác xuất để một bức xạ đi xuyên qua điểm (𝑥, 𝑦) và đến được detector ở vị trí góc chiếu 𝜃; 𝑏 là tham số diễn tả các tính chất không ổn định của hệ. A được diễn tả là một toán tử sao cho khi toán tử này tác dụng lên ảnh 𝜇, cộng thêm các tác động khác từ tính bất ổn định của hệ 𝑏 sẽ cho ra dữ liệu chiếu thực tế 𝑃. Vì thế, nếu ta không xét tới tính bất ổn định của hệ, thì dữ liệu chiếu sẽ là
𝑃 = 𝐴𝜇 (2.25)
Trong toán học thống kê, mối quan hệ giữa dữ liệu chiếu thực tế 𝑃 với dữ liệu lý tưởng 𝑃̃ được cụ thể hóa bằng một phân bố xác suất sao cho 𝑃̃ là kỳ vọng của 𝑃 [2]. Trong các quá trình hạt nhân, phân bố Poisson thường được sử dụng để diễn tả mối quan hệ này [14],
𝑃 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑃̃) = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝐴𝜇) (2.26)
Gọi 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 là số photon đến được detector sau khi đi qua vị trí (𝑥, 𝑦). Hay nói cách khác 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 là số photon đóng góp bởi sự có mặt của vị trí (𝑥, 𝑦) cho dữ liệu chiếu thu được tại detector. Ta có
𝑝𝑟,𝜃 = ∑ 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 𝑥,𝑦
(2.27) 𝑍 = {𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦} là biến ngẫu nhiên trong mối quan hệ, nghĩa là,
𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦) (2.28) và kỳ vọng của Z là,
𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦) = 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 (2.29)
Ta đưa vào dạng tường minh của phân bố Poisson, 𝑃(𝑍|𝜇) = ∏ ∏ 𝑒−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦[𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦]𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦
𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦! 𝑥,𝑦
𝑟,𝜃
(2.30) với đại lượng 𝑃(𝑍|𝜇) là xác suất để có 𝑍 hay còn được gọi là hàm phân bố mật độ xác suất của 𝑍. Do dạng tích phức tạp nên người ta không sử dụng trực tiếp mà sẽ lấy logarit cơ số tự nhiên của hàm phân bố này,
𝐿(𝑃(𝑍|𝜇)) = ∑ ∑[−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦 + 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦ln(𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦) 𝑥,𝑦
𝑟,𝜃
− ln(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)]
(2.31) Ta tìm nghiệm µ = 𝜇̂ sao cho 𝑃(𝑍|𝜇) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó, 𝜇̂ chính là ảnh tốt nhất có thể dựng được.
Để giải quyết vấn đề này, ta sử dụng thuật toán cực đại hóa kỳ vọng, tức là thay vì đi tìm cực trị của làm 𝐿(𝑃(𝑍|𝜇)), ta đi tìm điểm cực trị của kỳ vọng 𝐿(𝑃(𝑍|𝜇̂)),
𝜇̂ = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) (2.32)
Thuật toán cực đại hóa kỳ vọng sẽ giải (2.32) thông qua hai bước: Bước tìm kỳ vọng 𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) = 𝐸 (∑ ∑ (−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦+ 𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦) 𝑥,𝑦 𝑟,𝜃 − ln (𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)| 𝑃, 𝜇̂) (2.33)
𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇) = ∑ ∑[(𝐸(−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂) 𝑥,𝑦 𝑟,𝜃 + 𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦)|𝑃, 𝜇̂) − 𝐸(ln (𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)|𝑃, 𝜇̂)] (2.34)
Do không có phân bố thống kê của 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦 và kỳ vọng thứ hai có thể được tính bằng cách đưa hằng số ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦) ra khỏi phép tính kỳ vọng, kết hợp với định nghĩa (2.27), ta có, 𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂) = 𝑝𝑟,𝜃 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇̂𝑥,𝑦 ∑𝑥,𝑦𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇̂𝑥,𝑦 (2.35) khi đó (2.34) trở thành, 𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇) = ∑ ∑[−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦+ ln (𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇𝑥,𝑦)𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂)] 𝑥,𝑦 𝑟,𝜃 − 𝐸(ln (𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦!)|𝑃, 𝜇̂)] (2.36) Bước cực đại hóa:
Ta lấy đạo hàm cấp một của kỳ vọng 𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) theo biến 𝜇𝑥,𝑦 𝜕 𝜕𝜇𝑥,𝑦𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) = ∑ [−𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦+ 1 𝜇𝑥,𝑦𝐸(𝑧𝑟,𝜃,𝑥,𝑦|𝑃, 𝜇̂)] 𝑟,𝜃 (2.37) Cho đạo hàm cấp một trên bằng 0 để tìm cực trị 𝜇̂𝑥,𝑦
𝜕
𝜕𝜇𝑥,𝑦𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂) = 0 (2.38)
ta được
𝜇̂𝑥,𝑦 =∑𝑟,𝜃𝐸(𝐿|𝑃, 𝜇̂)
∑𝑟,𝜃𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦 (2.39)
Thay (2.35) vào (2.38) ta được 𝜇̂𝑥,𝑦(𝑛) = 𝜇̂𝑥,𝑦(𝑛−1) 1 ∑𝑟,𝜃𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦∑ 𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝑝𝑟,𝜃 ∑𝑥,𝑦𝑎𝑟,𝜃,𝑥,𝑦𝜇̂𝑥,𝑦(𝑛−1) 𝑟,𝜃 (2.40)
với 𝜇̂𝑥,𝑦(𝑛) là ảnh thu được của lần tính toán hiện tại, 𝜇̂𝑥,𝑦(𝑛−1) là ảnh thu được của lần tính toán ngay trước đó. Bước tính toán cực đại hóa đòi hỏi việc lặp lại phép tính (2.40) nhiều lần để thu được kết quả tốt nhất bằng cách sử dụng kết quả trước đó. Quá tình lặp kết thúc khi đạt điều kiện hội tụ
|𝐿𝑛− 𝐿𝑛−1| ≤ 𝜀 (2.41)
trong đó 𝐿𝑛 và 𝐿𝑛−1 là hàm logarit phân bố xác suất được tính theo công thức (2.31) lần lượt ở lần lặp hiện tại và lần lặp trước đó.
Ưu điểm của việc dựng ảnh bằng phương pháp cực đại hóa kỳ vọng là giúp cải thiện hình ảnh thu được sau mỗi lần lặp. Nhược điểm của phương pháp này là việc lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ làm tăng chi phí tính toán, đòi hỏi bộ nhớ có dung lượng lớn.