2 Sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường đàn hồi nén được có ứng
2.5.2 Trường hợp θ =0 hoặc θ= π/2
Xét trường hợp tới hạn khi góc θ = 0. Khi đó sóng Rayleigh truyền theo hướng chính Ox1. Từ (2.5.21)−(2.5.26) suy ra
β12 = 0 β21 = 0 γ22−γ11 = 0
(2.5.30) Sau đây ta sẽ chỉ raβ12= 0 hoặc β21= 0 không cho ta vận tốc của sóng Rayleigh.
Xét trường hợp đặc biệt khi môi trường không có ứng suất trước. Khi đó, ta có: 0< x < 1
và0< γ = µ λ+ 2µ < 3 4 (xem [3]). Do vậy β12= 0 ⇔g11[e12∆ +g22e21g33] = 0 ⇔g11g33(e12g11+e21g22) = 0, (2.5.31) từ đây suy rag11= 0 hoặcg33= 0 (chú ý rằng (e12g11+e21g22)6= 0).
+)g11 = 0 ⇒X+ [ λ 2 λ+ 2µ−(λ+ 2µ)] = 0 ⇒X = 4µ(1− 3µ λ+ 2µ) ⇒x= 4(1−3γ)>4(1− 3 4) = 1, (2.5.32)
vậyg11= 0 không cho ta vận tốc sóng Rayleigh. +)g33 = 0
⇒X =µ
⇒x= 1,
(2.5.33) vậyg33= 0 không cho ta vận tốc sóng Rayleigh mà cho ta vận tốc sóng ngang.
+) Công thức vận tốc sóng Rayleigh được tìm từ
γ22−γ11= 0, (2.5.34) hay
Đây là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh (hai thành phần) truyền theo hướng Ox1
trong môi trường đàn hồi nén được có ứng suất trước, dạng hữu tỷ đối vớiX (phương trình bậc 3), lần đầu tiên tìm thấy. Dowaikh và Ogden [7] đã tìm ra phương trình tán sắc của sóng này nhưng ở dạng vô tỷ.
Khi môi trường không có ứng suất trước từ (2.5.35) suy ra phương trình sau
x3−8x2+ 8(3−2γ)x−16(1−γ) = 0. (2.5.36) Phương trình (2.5.36) trùng với phương trình mà Rayleigh tìm ra năm 1885 (xem [11]). Tương tự, đối với trường hợp gócθ = 90o phương trình tán sắc là
g222 g33f22−e223−g332 g22f33−e213= 0. (2.5.37) Khi môi trường không có ứng suất trước thì (2.5.37) trở thành (2.5.36).
Kết luận
Nội dung của luận văn gồm hai phần. Phần một nhằm giới thiệu "phương pháp tích phân đầu" và chứng minh một cách chi tiết khẳng định "phương pháp tích phân đầu Mozhaev không dẫn đến một phương trình tán sắc như mong muốn, mà dẫn đến một đồng nhất thức". Trong phần hai, phần chính của luận văn, sóng mặt Rayleigh truyền theo hướng không chính trong môi trường đàn hồi nén được chịu biến dạng ban đầu đã được nghiên cứu. Đây là sóng Rayleigh ba thành phần. Bằng cách áp dụng phương pháp tích phân đầu trình bày trong [1], phương trình tán sắc dạng tường minh đã được tìm ra. Đây là một kết quả mới, sẽ có nhiều ứng dụng thực tế. Các phương trình tán sắc cho hai trường hợp tới hạn khiθ = 0, θ=π/2, tương ứng với sóng Rayleigh hai thành phần, cũng được rút ra bằng phương pháp này. Chúng là các phương trình bậc ba đối với X =ρc2, lần đầu tiên tìm thấy.
Danh mục công trình của tác giả
1. Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Thị Nam, "Áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương trình tán sắc của sóng Stoneley", Hội nghị Cơ học lần thứ 8, Hà Nội 6-7/12/2007, P.654-663.
2. Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue, Dinh Van Quang, Nguyen Thi Khanh Linh, Nguyen Thi Nam,"Method of first intergrals and interface Surface Waves", Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 32 (2010) (2).
[1] Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Thị Nam,"Áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương
trình tán sắc của sóng Stoneley", Hội nghị Cơ học lần thứ 8, Hà Nội 6-7/12/2007,
P.654-663.
[2] J. D. AchenbachWave Propagation in Elastic Solids, North Holland, Amsterdam (1973). [3] S. D. M. Adam et al," Rayleigh Waves Guided by Topography", Proc. R. Soc. London,
Ser. A, 463, pp 531-550, (2007)
[4] M. Destrade,"The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals", Journal of the Acoustic Society of America, 109 (2001),1398-1402. [5] M. Destrade,"Elastic interface acoustic waves in twinned crystals", Int. J. Solids and
Struct., 40 (2003), 7375-7383.
[6] M. Destrade, "Rayleigh Waves in anisotropic crystals rotating about the nomal asym- metry plane", ASME J.Appl.Mech,71 (2004), 516-520.
[7] M. A. Dowaikh, R.W. Ogden, "On Surface Waves and Deformations in a Compressible Elastic hafl-space", SAACM-Vol-1, pp 27-45.
[8] P. Hess, "Surface acoustic waves in material science", Phys. Today 55 (2002),43-47.
[9] P. Malischewsky, "A note on Rayleigh waves velocity as a function of a material parameters", Geoficica International,43 (2004).507-509.
[10] V. G. Mozhaev, "Some new ideas in the theory of surface acoustic waves in anisotropic
media", IUTAM Symposium on Anisotropy, Inhomogeneity and Nonlinearity in Solid
Mechanics (ed by O.F.Paker and A.H.England), KluWer Academic Pub, Dordrencht, The Netherlands,(1995), 455-462.
[11] Lord Rayleigh, "On waves propagated along the plane surface of an elastic solid", Proc. R. Soc. London 17 (1885), 4-11.
[12] T. C. T. Ting,Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork 1996.
[13] T. C. T. Ting, "Explicit secular equation for surface waves in an anisotropic elastic half-space-From Rayleigh to today, Surface waves in anisotropic and laminated bodies
and defects detection", ed by R. V. Goldstain, and G. A. Maugin, Kluwer Academic,
95-117, 2004.
[14] R. W. Ogden, Non-linear Elastic Deformation, Ellis Horwood: Chichester,(1984). [15] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue, Dinh Van Quang, Nguyen Thi Khanh Linh,
Nguyen Thi Nam, "Method of first intergrals and interface Surface Waves", Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 32 (2010) (2).