Trong phần còn lại của mục này chúng tôi trình bày một kết quả tồn tại nghiệm của (CQP) dưới giả thiết tất cả các toán tử tương ứng với dạng toàn phương có hạng hữu hạn. Chú ý ràng giả thiết này là rất giới hạn nhưng bằng việc sử dụng giả thiết này ta có thể nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của lớp bài toán (CQP), trong đó dạng toàn phương trong hàm mục tiêu không là dạng Legendre. Định lý tiếp theo có thể coi là phần bù của Định lý 2.2.4.
Định lý 2.2.11 (Frank-Wolfe type Theorem 2, [5]). Xét bài toán (CQP), trong đóA vàAi (i= 1,2, . . . , m)là các toán tử hạng hữu hạn và nửa xác định dương. Giả sử rằng hàm mục tiêu f bị chặn dưới trên tập khác rỗng D. Khi đó, (CQP) có nghiệm.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theom- số phương trình bậc hai xác định tập ràng buộc D của (CQP).
Với m= 1: với mỗi k, xét tập Sk = {x ∈ D | f(x)≤ f∗ + 1k}. Vì f∗ >−∞, tồn tại {xk} ⊂ X sao cho
f(xk) = 1 2hxk, Axki+hc, xki ≤ f∗+ 1 k, g(xk) = 1 2hxk , A1xki+hc1, xki+α1 ≤ 0. (2.35)
Giả sử xk là phần tử có chuẩn nhỏ nhất trong Sk. Nếu {xk} bị chặn dưới thì {xk} có dãy con hội tụ yếu. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử xk hội tụ yếu tới x. Do A và A1 là toán tử hạng hữu hạn, chúng compact. Kéo theo f(x)và g1(x)liên tục yếu. Do đó, lấy giới hạn trong (2.35) khi xk * x ta thấy rằng x là nghiệm của (CQP).
Xét trường hợp {xk} không bị chặn. Đặt vk := xk/kxkk, ta có kvkk = 1. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử vk := xk/kxkk * v khi k → ∞. Vì A và A1 nửa xác định dương, bằng lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 2.2.4 ta có thể suy ra
Av = 0,hc, vi= 0, A1v = 0,hc1, vi ≤ 0.
Bây giờ ta chứng minh rằng hc1, vi< 0. Giả sử ngược lại, hc1, vi= 0. Khi đó, Av = 0,hc, vi = 0, A1v = 0,hc1, vi= 0.
Đặt L1 = X ⊕ X ⊕ R2, trong đó ⊕ ký hiệu tổng trực tiếp của không gian Hilbert, ký hiệu h·,·i L và k · k L tương ứng là tích vô hướng và chuẩn trên L. Định nghĩa Q : X → L1 bởi
Qx= (Ax, A1x,hc, xi,hc1, xi).
Vì A và A1 là toán tử hạng hữu hạn, nên Q cũng thế. Với mỗi k, xét hệ tuyến tính
Qx =Qxk. (2.36)
VìQ là toán tử hạng hữu hạn,Qlà toán tử compact với miền giá trị đóng. Cho nên, tồn tại tựa nghịch đảo liên tục Q+ của Q và một nghiệm xk của (2.36) sao cho xk =Q+Qxk. Do đó, tồn tại ρ > 0, chỉ phụ thuộc A, sao cho
kxkk ≤ρ(kQxkk L).
Kéo theo
kxkk ≤ρ(kAxkk+kA1xkk+|hc, xki|+|hc1, xki|).
Theo (2.36), Qxk = Qxk, ta có thể kiểm tra được f(xk) = f(xk)≤ f∗+ 1
Vì xk là phần tử có chuẩn nhỏ nhất trong Sk, ta có
kxkk ≤ kxkk ≤ρ(kAxkk+kA1xkk+|hc, xki|+|hc1, xki|) ∀k.
Theo giả thiết A và A1 là toán tử có hạng hữu hạn, A và A1 compact với miền giá trị đóng. Chia cả hai vế của bất đẳng thức này chokxkk, cho k → ∞ và do tính compact của A và A1, ta có
1≤ ρ(kAvk+kA1vk+|hc, vi|+|hc1, vi|).
Điều này mâu thuẫn vớiAv = 0,hc, vi= 0, A1v = 0,hc1, vi = 0. Do đóhc1, vi< 0. Khẳng định được chứng minh.
Xét bài toán quy hoạch toàn phương min f(x) := 1 2hx, Axi+hc, xi |x∈ X .
Nếu f bị chặn dưới trên không gian Hilbert X, theo Định lý 2.2.1, tồn tại x∈ X sao chof(x)≤f∗. Nếuf(x) không bị chặn dưới trênX, thì rõ ràng tồn tạixˆ∈ X sao cho f(ˆx)≤ f∗. Cho nên, trong cả hai trường hợp tồn tạix∗ ∈ X sao cho f(x∗)≤ f∗.
Do hc1, vi < 0, ta có thể kiểm tra được x∗+tv ∈ D với mọi t > 0 đủ lớn. Chọn t∗ > 0 sao cho x∗+t∗v ∈ D, và theo (2.35), ta có
f(x∗+t∗v) = 1
2hx∗, Ax∗i+hc, x∗i ≤ f∗.
Điều này chỉ ra x∗+t∗v là nghiệm của bài toán (CQP). Kết thúc chứng minh trường hợp m= 1.
Giả sử khẳng định đúng với tất cả các tập ràng buộc D xác định bởi m−1 hàm bậc hai, cho D xác định bởi m hàm bậc hai. Đặt f∗ = inf{f(x) | x ∈ D} > −∞. Đặt Sk = {x ∈ D | f(x) ≤ f∗ + 1k}. Vì f∗ > −∞, Sk khác rỗng, lồi và đóng. Cho nên Sk có phần tử có chuẩn nhỏ nhất. Gọi xk là phần tử có chuẩn nhỏ nhất trong Sk, ta có f(xk) = 1 2hxk, Axki+hc, xki ≤ f∗+ 1 k, gi(xk) = 1 2hxk , Aixki+hci, xki+αi ≤ 0, i= 1,2, . . . , m.
Nếu {xk} bị chặn thì thì {xk} có dãy con hội tụ yếu. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử xk hội tụ yếu tới x. Khi đó dễ kiểm tra được x là một nghiệm của (CQP).
Xét trường hợp {xk} không bị chặn. Đặt vk := xk/kxkk, ta có kvkk = 1. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử vk := xk/kxkk * v khi k → ∞. VìA vàAi nửa xác định dương, bằng lập luận tương tự như trường hợpm = 1 ta có thể suy ra
Av = 0,hc, vi = 0, Aiv = 0,hci, vi ≤ 0,
và tồn tại j ∈ {1,2, . . . , m} sao cho hcj, vi< 0. Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử hcm, vi< 0.
Xét bài toán
min{f(x) := 1
2hx, Axi+hc, xi | x∈ D1} (P1) trong đó D1 := {x ∈ X : gi(x)≤ 0, i = 1,2, . . . , m−1}.
Đối với bài toán này, hoặc f bị chặn dưới trên D1 hoặc không. Nếu f bị chặn dưới trên D1 thì theo giả thiết quy nạp, bài toán (P1) có nghiệm. Nên không cả hai trường hợp, tồn tại x∈ D1 sao cho f(x)≤ f∗.
Xét véctơ x(t) := x+tv, t≥ 0. Do hc, vi= 0, ta có
f(x(t)) =f(x) +thc, vi= f(x)≤ f∗, ∀t > 0.
Vì
gm(x(t)) =gm(x) +thcm, vi,
và hcm, vi <0, ta có thể chọn t∗ > 0 sao cho x(t∗) ∈ f và f(x(t∗)) ≤ f∗. Điều này chứng minh x(t∗)là nghiệm của (CQP). Suy ra điều phải chứng minh. Nhận xét 2.2.12. Chú ý trong Ví dụ 2.2.5, A là toán tử compact có miền giá trị không đóng, nên A không có hạng hữu hạn. Do đó, Định lý 2.2.11 không đúng nếu giả thiết A, Ai là các toán tử hạng hữu hạn bị thay bởi A, Ai là các toán tử compact, i= 1,2, . . . , m.
Trong trường hợp A = 0 và Ai = 0 (i= 1,2, . . . , m), ta thu được sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch (LP) trong không gian Hilbert.
Hệ quả 2.2.13 ([5]). Xét bài toán quy hoạch tuyến tính (LP). Giả sử f(x) bị chặn dưới trên tập khác rỗng F. Khi đó bài toán (LP) có nghiệm.
Chứng minh. Dễ thấy toán tử không là toán tử có hạng hữu hạn. Khẳng định của hệ quả được suy ra từ Định lý 2.2.11.
Nhận xét 2.2.14 ([5]). Nếu X hữu hạn chiều thì bất kì toán tử liên tục A trên X là toán tử hạng hữu hạn vàhx, Axilà một dạng Legendre. Do đó, trong trường hợp hữu hạn chiều, Định lý 2.2.4 và Định lý 2.2.11 giống nhau.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi trình bày:
1. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất của không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi, dạng toàn phương, hàm toàn phương, dạng Legendre và bài toán quy hoạch toàn phương.
2. Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương lồi (CQP). Định lý 2.2.4 khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài toán khi dạng toàn phương hx, Axi là dạng Legendre và hàm mục tiêu f bị chặn dưới trên tập ràng buộc khác rỗng.
3. Ví dụ 2.2.5 chỉ ra rằng tính Legendre của dạng toàn phương không thể bỏ qua.
4. Định lý 2.2.11 khẳng định khi các toán tử tương ứng với các dạng toàn phương có hạng hữu hạn, nửa xác định dương, hàm mục tiêu f bị chặn dưới trên tập ràng buộc khác rỗng thì bài toán có nghiệm.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giáo trình giải tích hàm, Đại học Khoa học Huế.
Tiếng Anh
[3] E.G. Belousov and D. Klatte (2002), “A Frank-Wolfe type theorem for convex polynomial programs”, Comput. Optim. Appl., Vol. 22, No. 1, pp. 37–48.
[4] J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000),Pertubation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York.
https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1394-9
[5] Vu Van Dong and Nguyen Nang Tam (2016), “On the Solution Existence of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces”, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol. 20, No. 6, pp. 1417–1436.
[6] D.S. Kim, N.N. Tam and N.D. Yen (2012), “Solution existence and stability of quadratically constrained convex quadratic programs”, Optim. Lett., Vol. 6, No. 2, pp. 363–373.
[7] Hestenes (1951), “M. R. Applications of the theory of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations”, Pacific J. Math., 1, pp. 525– 581.
[8] R.T. Rockafellar (1970), Convex analysis, Priceton University Press. [9] Hoang Tuy (1998), Convex analysis and global optimization, Kluwer Aca-