Hai đường cong này không thỏa mãn mệnh đề 3.2.1. Nhưng ta vẫn có thể tìm được hai đường cong bậc bốn thỏa mãn một số trường hợp sau:
• [1,1, . . . ,1]và [16] đã nói trong mệnh đề 3.2.2
• [1,15] như đã nói ở mệnh đề 3.2.3, vớiC định nghĩa bởi g(x, y) =y(y−x3).
D định nghĩa bởih(x, y) = y4+y.x−y−x4+x3
Khi đóRes(f, g, x) =y16,Res(f, g, y) =−x15(x−1)
• [4,4,4,4]. Ta có thể chọn hai đường cong như đã nói ở mệnh đề 3.2.4 hoặc chọn khác đi.
C định nghĩa bởif(x, y) =x4+y4−1. D định nghĩa bởi
g(x, y) = (x+ 1)(x−1)(y+ 1)(y−1) +x4+y4−1. Khi đó Res(f, g, x) =y4(y−1)4y4(y+ 1)4, Res(f, g, y) = (x−1)4x4(x+ 1)4x4. Hình 3.18: Trường hợp [4,4,4,4]. Tương tự ta có các trường hợp
• [4,4,8]vớiC định nghĩa bởi f(x, y) =x4+y4−1vàDđịnh nghĩa bởi g(x, y) = (x+ 1)(x−1)(y+ 1)2+x4+y4−1.
• [8,8] với C định nghĩa bởi f(x, y) =x4+y4−1 và D định nghĩa bởig(x, y) = (x+ 1)2(y+ 1)2+x4+y4−1.
• [4,12] với C định nghĩa bởi h = y −(x − 1)(x + 1)3 và D định nghĩa bởi
g(x, y) =y4 −h(x, y).
Nhận xét 3.2.1 Trong trường hợp hai đường cong bậc bốn, chúng tôi có thể đưa được tất cả các trường hợp tuy nhiên để đưa được hết vào luận văn thì quá dài nên không trình bày tất cả. Từ những ví dụ trên ta có thể hi vọng tồn tại toàn bộ các trường hợp của bài toán ngược định lý Bézout.
KẾT LUẬN
Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1 Đọc hiểu và trình bày lại các kết quả về kết thức, định lý Bézout.
2 Chứng minh chiều ngược lại của định lý Bézout cho một số trường hợp riêng. Ngoài ra, luận văn còn cho nhiều ví dụ minh họa cho chiều ngược lại.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2000).
[2] David Cox, John Little & Donal O’Shea,Ideals, Varieties, and Algorithms - 3rd edition, Springer(2006).
[3] Frances C.Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge University Press (1992).