Trong phần này, ta sẽ phát biểu tiêu chí xác định ảnh Fourier, ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng thuộc không gian các hàm suy rộng tăng chậmS0(Rn). Sau đó, ta dùng định nghĩa được nêu trên, để vận dụng vào giải ví dụ minh họa kèm theo.
Định nghĩa 1.12. Cho hàm f ∈ S0(Rn). Ảnh Fourier của hàm suy rộng tăng chậm f, ký hiệu là fb(hay Ff), là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi
f , ϕˆ
=hf,ϕˆi ∀ϕ∈ S(Rn).
Định nghĩa 1.13. Với hàm f ∈ S0(Rn). Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng tăng chậm f, ký hiệu ^f hay F−1(f) là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi
h^f , ϕi=f,ϕ^ ∀ϕ∈ S(Rn).
Ví dụ 1.8. Cho δ0 là hàm Dirac tại điểm 0. Tìm biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0.
Chứng minh. Áp dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S0(Rn), ta có hbδ0, ϕi=hδ0,ϕbi, hơn nữa có
hδ0,ϕbi=ϕb(0) = (2π)−n/2 Z Rn e−ix0ϕ(x)dx = (2π)−n/2 Z Rn ϕ(x)dx= (2π)−n/2h1, ϕi ∀ϕ∈(Rn). Vậy suy ra bδ0 = (2π)−n/21.
Sử dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier ngược cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S0(Rn), ta có hδ^0, ϕi=hδ0,^ϕi, mà
hδ0,^ϕi=^ϕ(0) = (2π)−n/2 Z Rn eix0ϕ(x)dx = (2π)−n/2 Z Rn ϕ)(x)dx = (2π)−n/2h1, ϕi ∀ϕ∈ S(Rn). Vậy dẫn đến δ^0= (2π)−n/21.
Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 đều là hàm hằng (2π)−n/2. Chứng minh được hoàn thành.
1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộngvới giá compact E0(Rn)