2.6.1. Chứng minh 2 3 là số vô tỷ.
2.6.2.Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dƣơng tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn đƣợc 3 số x y z, , là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
2.6.3. Khẳng định sau đây có đúng không: Nếu tổng và tích của hai số thực là số nguyên thì chúng cũng là số nguyên.
Cùng câu hỏi với hai số hữu tỉ.
2.6.4. Cho biết là một số vô tỉ. Chứng minh rằng trong khai triển thập phân của 3,1415...
sẽ có một chữ số xuất hiện vô hạn lần.
2.6.5. Số thực a0,12345... đƣợc tạo ra bằng cách viết các số tự nhiên liên tiếp kế nhau sau dấu phảy. Chứng minh rằng a không phải là số hữu tỉ.
2.6.6. Chứng minh rằng một tờ giấy hình tròn bán kính bằng 1 không thể cắt ra một tam giác tù có diện tích lớn hơn 1 đƣợc.
2.6.7. Cho các số nguyên a, b, c mà (a,b) = 1. Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại số
43
2.6.8. Cho 9 đƣờng thẳng. Mỗi đƣờng đều chia hình vuông thành 2 tứ giác với tỉ số diện tích là 2
3 . Chứng minh rằng có ít nhất 3 trong 9 đƣờng này phải đi qua 1 điểm.
2.6.9. Trong một hình vuông cạnh đơn vị lấy 101 điểm tùy ý. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 3 điểm, mà tam giác với đỉnh là 3 điểm đã chọn có diện tích không vƣợt quá 0,02 đơn vị.
2.6.10. Một đƣờng gấp khúc đặt trong hình vuông có cạnh 50cm, sao cho khoảng cách từ mỗi điểm bất kỳ của hình vuông đến đƣờng gấp khúc bé hơn 1cm. Chứng minh rằng độ dài đƣờng gấp khúc không nhỏ hơn 1248cm.
2.6.11. Trong hình vuông cạnh bằng 1 ta đặt một số hữu hạn các đoạn thẳng với độ dài mỗi đoạn không lớn hơn 1, sao cho khoảng cách từ một điểm bất kì của hình vuông đến một trong những đoạn thẳng đã đặt không quá 0,1. Chứng minh rằng số đoạn thẳng đã đặt không lớn hơn 4.
44
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày đƣợc nguyên lý phản chứng và các dạng phát biểu của nguyên lý Dirichlet, đồng thời đƣa ra đƣợc nhiều ví dụ minh họa thuộc ít nhất ba dạng:
Dạng tập hợp
Dạng hình học
Dạng số học
Khi biên soạn luận văn, tác giả đã cố gắng bám sát vào những dạng toán hay gặp ở chƣơng trình phổ thông nói chung và một số bài toán trong thì học sinh giỏi nói riêng. Hy vọng luận văn có thể là một tài liệu tham khảo có ích cho học sinh và giáo viên các trƣờng trung học phổ thông.
45
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Hữu Điển (2003), Những phương pháp điển hình trong giải toán
phổ thông, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
2. Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận (2004), Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học
sinh giỏi, Trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, ĐHQGHN.
3. Đặng Huy Ruận (2012), Hai phương pháp giải các bài toán không mẫu mực, Trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, ĐHQGHN.
4. Đặng Huy Ruận (2002), Bảy phương pháp giải các bài toán logic, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.