2 Phương pháp hệ số R/T trong bài toán tìm band-gaps của sóng
2.2 Bài toán phổ band-gaps
Xét một lớp vật liệu trực hướng, hữu hạn có cấu trúc tuần hoàn theo phương 0z đặt giữa hai bán không gian trực hướng thuần nhất (Hình 2.1). Hai bán không gian trên và dưới được kí hiệu là môi trường (1) và (3) tương ứng. Và lớp tuần hoàn ở giữa được kí hiệu là môi trường (2). Các trục chính vật liệu của hai bán không gian và lớp được giả thiết là có cùng phương.
Xét bài toán truyền sóng trong đó sóng tới qSH (hoặc qP −SV) nằm trong một mặt phẳng đối xứng của vật liệu đi từ bán không gian trên qua lớp vật liệu và truyền vào bán không gian bên dưới. Sóng tới có tần số góc làω. Tại mặt phân cách giữa bán không gian trên và lớp vật liệu, sóng tới sẽ tách làm hai phần. Một phần phản xạ lại vào trong bán không gian trên, và một phần sẽ khúc xạ đi vào lớp vật liệu. Thành phần khúc xạ này sẽ truyền tới mặt phân cách với bán không gian dưới và sẽ khúc xạ qua mặt phân cách này. Bài toán cần xét là đi tìm biên độ của sóng khúc xạ trong bán không gian dưới phụ thuộc vào biên độ của sóng tới.
Hình 2.1: Mô hình một lớp vật liệu phân lớp trực hướng nằm giữa hai bán không gian thuần nhất trực hướng. Sóng tới qSH đi xuống từ bán không gian trên sinh ra hệ 2 sóng phản xạ và khúc xạ.
Giả sử sóng tới từ bán không gian trên là sóng qSH tạo một góc θ với trục z (hay trục x3) có dạng
Hình 2.2: Mô hình một lớp vật liệu phân lớp trực hướng nằm giữa hai bán không gian thuần nhất trực hướng. Sóng tớiqP đi xuống từ bán không gian trên sinh ra hệ 4 sóng phản xạ và khúc xạ.
trong đó k1 = ω c(1)qSH
, (p(1)1 , p(1)3 ) là vector đơn vị của hướng truyền sóng, c(1)qSH là vận tốc truyền sóng theo phương đã cho.
Vì sóng tới qSH tới bề mặt của lớp vật liệu sẽ sinh ra một sóng phản xạ qSH và một sóng khúc xạ qSH nên sóng phản xạ và khúc xạ có dạng sau (xem Hình vẽ 2.1)
uP qSH =PqSHeik1(x1q(1)1 +x3q3(1)), (2.13) uKqSH =KqSHeik3(x1p(3)1 +x3p(3)3 )
,
(2.14) trong đó PqSH, KqSH là biên độ của sóng phản xạ và khúc xạ của sóng qSH, k3 = ω
c(3)SH
, c(3)SH là số sóng và vận tốc của sóng khúc xạ trong bán không gian dưới. q(1)1 , q3(1) là vector đơn vị truyền sóng của sóng phản xạ và p(1)1 , p(1)3 là vector đơn vị truyền sóng của sóng khúc xạ trong bán không gian dưới. Bài toán đặt ra là đi tìm tỉ số giữa biên độ của sóng khúc xạ và sóng tới KqSH/TqSH.
Trong trường hợp sóng tới là sóng qP có dạng
uT qP =TqPeik1(x1p1(1)+x3p3(1)), (2.15) trong đó, p1 = sinθ1, p3 = cosθ1, θ1 là góc tới, k1 = ω/c(1)P là số sóng trong bán
không gian (1), c(1)P là vận tốc sóng qP bán không gian (1) theo hướng truyền sóng. Chỉ số dưới “T” trong công thức của chuyển dịch trên biểu thị đó là sóng tới. Sóng phản xạ và sóng khúc xạ của sóngqP −SV được giả sử có các biên độ
PqP,PqSV,KqP,KqSV và có các góc phản xạ, khúc xạ được biểu diễn như trong Hình vẽ 2.2. Các chữ cái “P” và “K” biểu thị cho sóng phản xạ và sóng khúc xạ. Để đơn giản, ta đã bỏ qua nhân tử e−iωt trong các công thức chuyển dịch trên. Mục đích của bài toán là sẽ đi tìm giá trị biên độ của sóng khúc xạ |KqP| và |KqSV| phụ thuộc vào biên độ của sóng tới TqP. Phổ band-gaps của các sóng tới là các phổ tần số khi biên độ của các sóng khúc xạ này bị triệt tiêu.