2 Tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân trong không
3.2 Tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm
đều trên đa tạp tâm
Phát biểu sau đây là một cách phát biểu khác của Định lý 3.1 về tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm. Ta sử dụng ký hiệu giống như trong Mục 3.1. Đặc biệt ta xét tập Vs trong (3.2).
Định lý 3.2. Giả thiết như trong Định lý 1.1, nếu phương trình v0 =A(t)v+
f(t, v) có tính nghịch đối với một ánh xạ S với S02 = Id và St tuyến tính với ∀t∈R, các hằng số trong (1.4) và (3.1) thỏa mãn
a+ 2 (γ+θ) < b và c+ 2 (γ+θ)< d với γ = maxa0, b0, c0, d0
thì Ss(Vs) =Vs với mọi s∈R.
Từ chứng minh Bổ đề 3.2 và 3.3, ta thu được các phát biểu sau đây
Bổ đề 3.7. Với mọi t, s ∈R ta có
St(Fi(t)) =Fi(t), i= 1,2, St(E(t)) =E(t),
và
StVi(t, s) =Vi(t, s)Ss trên Fi(s), i= 1,2, StU(t, s) =U(t, s)Ss trên E(s)
Theo cách hiểu như trong (3.39), ta có thể sử dụng (2.25) để chỉ ra với bất kì t ∈R và v ∈X,
f(t, Stv)−Stf(t, v) = 0 (3.44) Thực hiện như trong chứng minh của Bổ đề 3.5 và 3.6, trong trường hợp này ta sử dụng Bổ đề 3.7 và (3.44) thay cho Bổ đề 3.2 và 3.3, kết hợp với (3.39), ta thu được bổ đề sau đây:
Bổ đề 3.8. Có duy nhất một hàmϕ= (ϕ1, ϕ2) ∈X trong Định lý 1.1 thỏa mãn:
Stϕ1(t, x) = ϕ1(t, Stx), Stϕ2(t, x) =ϕ2(t, Stx)
với mọi (t, x) ∈R×E(t). Ngoài ra, cho s∈R
Stxs(t, ξ) =xs(t, Ssξ)∀(t, ξ)∈R×E(s). Chứng minh Định lý 3.2
Tương tự như chứng minh của Định lý 3.1 Từ Bổ đề 3.8 ta có
Ss(ξ, ϕ(s, ξ)) = (Ssξ, ϕ(s, Ssξ))
Mặt khác, từ Bổ đề 3.7 ta có Ss(E(s)) =E(s), như vậy,
Ss(Vs) ={(η, ϕ(s, η)) :η ∈Ss(E(s))}=Vs.
Kết luận
Trong luận văn này tôi đã giới thiệu được các khái niệm mới như hệ phương trình vi phân có tam phân mũ đều, không đều và sự tồn tại của đa tạp tâm, tập trung trình bày tính thuận và tính nghịch của hệ phương trình vi phân nửa tuyến tính
v0 =A(t)v+f(t, v), v(s) =vs
(với giả thiết phần tuyến tính v0 = A(t)v có tam phân mũ không đều) trên đa tạp tâm trong không gian Banach. Ta thấy rằng tính thuận nghịch của hệ được bảo toàn trên đa tạp tâm. Kết quả trên là đặc thù cho các hệ không ôtônôm.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp và do thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn mong muốn nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Stability of nonautonomous differ- ential equations, Springer Press.
[2] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories, Springer Press.
[3] Luis Barreira and Claudia Valls (2007),Smooth center manifolds for nonuni- formly partially hyperbolic trajectories, Springer Press.
[4] Luis Barreira and Claudia Valls (2009), "Robustness of nonuniform expo- nential trichotomies in Banach spaces", J. Math, pp.373–381.
[5] Luis Barreira and Claudia Valls (2008), "Growth rates and nonuniform hy- perbolicity", Discrete and continuous dynamical systems , pp.509–528. [6] J. Carr (1980), Applications of Centre Manifold Theory, Springer Verlag. [7] Lawrence Perko (2000), Differential equations and dynamical systems,
Springer Verlag.
[8] Lamb and J. Roberts (1998), "Time-reversal symmetry in dynamical sys- tems: a survey", Phys.D , 112, pp.1–39.