2 Tính chính quy cho toán tử ∂ ¯
2.3Tính chính quy toàn cục cho ∂ ¯ trên biên
Kỹ thuật chứng minh trong chương này tương tự kỹ thuật của Kohn. Chúng ta luôn giả sử các trọng giống nhau làe−(c+t)|z|2. Ký hiệuL2 liên hợp với trọng
e−(c+t)|z|2 là ∂¯∗ và không gian Sobolev với trọng e−(c+t)|z|2 là Hs.
Định lý 2.5. Cho ∂Ω trơn. Khi đó, với mọi s sẽ có t =ts thỏa mãn
kuk2Hs
(c+t)|z|2/k∂¯∗uk2Hs
(c+t)|z|2 +k∂¯k2Hs
(c+t)|z|2 (2.32)
với mọi u thỏa mãn điều kiện ∂¯−N.
Để thuận tiện, ta viết Hs thay vì phải viết đầy đủ H(sc+t)|z|2.
Chứng minh. Ký hiệuN là đạo hàm pháp tuyến của∂ΩvàTj,j = 1,· · · ,2n−1
là hệ của các đạo hàm tiếp tuyến độc lập tuyến tính. Lấy số nguyên i≥1 và đa chỉ số α = α1,· · · , α2n−1 với i+|α| =s. Chúng ta có khẳng định sau, với mọi u có hệ số trong Hs và i≥1 thì
k NiTαuk2H0/k∂u¯ k2Hs−1 +k∂¯∗uk2Hs−1 +X
|β|=s
k Tβuk2H0 +kuk2Hs−1 . (2.33)
Để chứng minh (2.33), trước tiên theo [10, 11] ta có
k Nuk2H0/k∂u¯ k2H0 +k∂¯∗uk2H0 +X
j
k Tjuk2H0 +kuk2H0 . (2.34)
Nếu sử dụng (2.34) bằng việc thay thế u bởi Ni−1Tαu và chú ý [ ¯∂∗,Ni−1Tα]
và [ ¯∂,Ni−1Tα] là các toán tử bậc s−1 thì ta thu được (2.33). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (2.32) bằng phương pháp quy nạp theo s. Nếu s = 0 thì (2.32) giống như (2.20). Giả sử (2.32) đúng với s−1, ta sẽ chứng minh (2.32) đúng với s. Thật vậy, nếu các đạo hàm có dạng NiTαu với i ≥ 1 thì chúng ta sử dụng (2.33) và giả thiết quy nạp là xong. Vì thế ta chỉ cần ước lượng các đạo hàm có dạng Tαuvới |α|=s. Chúng ta chú ý rằng Tαu thỏa mãn∂¯−N. Tiếp theo, ta có công thức[ ¯∂∗,Tα] =As+Ast−1, trong đóAs và Ats−1 là các toán tử
bậcs và bậc s−1 tương ứng, và As độc lập với t. Chúng ta cũng có [ ¯∂,Tα] là toán tử bậc ≤s, không phụ thuộc vào t. Do đó,
t
2 k Tαuk2H0≤ k∂¯Tαuk2H0 +k∂¯∗Tαuk2H0 (2.35)
≤ k Tα∂u¯ k2H0 +k Tα∂¯∗uk2H0 +kAsuk2H0 +kAts−1uk2H0 .
Nếu As có dạng là cácNi với i≥1 thì ta có thể bỏ qua vế trái của (2.35), và sử dụng (2.33) ta thu được
kAs k2Hs/k∂u¯ k2Hs−1 +k∂¯∗uk2Hs−1 +X
|β|≤s
k Tβuk2H0 +kuk2Hs−1 . (2.36)
Tiếp theo, ta có thể bỏ qua Tβu ở vế phải của (2.35) và thu được
k Tαuk2H0/k∂u¯ k2Hs +k∂¯∗uk2Hs +kuk2Hs−1, (2.37) kết hợp với giả thiết quy nạp ta thu được
k Tαuk2H0/k∂u¯ kH2 s +k∂¯∗uk2Hs . (2.38) Chứng minh Định lý 1.16. Đặt ts = ¯∂t∗ s ¯ ∂+ ¯∂∂¯t∗ s, sử dụng (2.32) chúng ta có thể định nghĩa toán tử ∂¯−N eumann Nts : Hs → Dts là nghịch đảo của ts (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thỏa mãn
kNtsf k2Hs
ts/kf k2Hs
ts (2.39)
với mọi f ∈C∞( ¯Ω) bậc k sao cho Ntsf ∈C∞( ¯Ω).
Chúng ta có thể sử dụng thuật toán "elliptic regularization" và định nghĩa toán tử Nt s :Hs →Dts ∩Hs+1 thỏa mãn kNtsf k2Hs ts +kNtsf k2Hs+1/kf k2Hs ts (2.40) cho mọi f ∈Hs bậc k.
Chof ∈Hs, theo (2.40), chúng ta có hội tụHs−yếuNtsf →g. Do đó, hiển nhiên Nt
sf →Ntsf khi →0 (trong H0). Đặc biệt, Ntsf =g thì
Khi đó, tương tự phần chứng minh cuối trong [10], cho f ∈ Hs bậc k thỏa mãn ∂f¯ = 0, u:= ¯∂t∗sNtsf ta có
¯
∂u=f, u∈Hs, kukHs/kf kHs . (2.41) Cuối cùng, một khi chúng ta biết phương trình∂u¯ =f có thể giải được trong
Hs với ước lượng (2.41) thì theo lập luận của Hormander trong [11] ta sẽ thu được lời giải trong C∞( ¯Ω).
[1] K. Adachi, Several complex variables and integral formulas, World Scien- tific, 2007.
[2] D. Barrett, Behavior of the Bergman projection on the Diederich- Fornaess worm, Acta Math., 168(1992), 1–10.
[3] S. Bell and E. Ligocka, A simplification and extension of Fefferman’s theorem on biholomorphic mappings, Invent. Math., 57(1980), 285–289. [4] L. Baracco, G. Zampieri, Regularity at the boundary for ∂¯on q- pseudo-
convex domains, Jour. D’Anal. Math., 95(2005), 45– 61.
[5] S.C. Chen, M.C. Shaw,Partial Differential Equations in Several Complex Variables, Amer. Math. Soci., 19 (2001).
[6] M. Christ, Global Cn irregularity of the ∂¯Neumann problem for worm domains, J. Amer. Math. Soc, 9(1996), 1171–1185.
[7] G. M. Henkin, H. Lewy’s equation and analysis on pseudoconvex mani- folds, Uspehi Mat. Nauk, 32(1977), 57–118.
[8] L. Hormander, L2 estimates and existence theorems for the ∂¯ operator, Acta Math., 113(1965), 89–152.
[9] L. Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Complex Variables, Van Nostrand, Princeton, N.J., 1966.
[10] J.J. Kohn, Global regularity for ∂¯ on weakly pseudo-convex manifolds, Trans. Amer. Math. Soc., 181(1973), 273–292.
[11] J. J. Kohn, Methods of partial differential equations in complex analysis, Proc. Sympos. Pure Math., 30(1977), 215–237.
[12] L. Rothschild and E. M. Stein, Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups, Acta Math., 137(1976), 257–320.
[13] G. Zampieri, q-pseudoconvexity and regularity at the boundary for solu- tions of the ∂¯-problem, Compositio Math., 121(2000), 155–162.