Bài toán 19.Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P, Q. AC, BD tương ứng là các dây cung của (O1) và (O2) sao cho đoạn thẳng AB và tia CD cắt nhau tại P. Tia BD cắt AC tại X. Điểm Y nằm trên (O1) sao cho PY song song với BD. Điểm Z nằm trên (O2) sao cho PZ song song AC. Chứng minh rằng Q, X, Y, Z cùng nằm trên một đường thẳng.
Lời giải
Giả sử XQ cắt (O1) tại Y’, cắt (O2) tại Z’. Ta có Q là tâm của phép vị tự quay biến D thành C; B thành A. Do đó Q cũng là tâm của phép vị tự quay biến D thành B; C thành A. Theo cách xác định tâm của phép vị tự quay này thì Q nằm
X, D, Q, C cùng nằm trên đường tròn nên Suy ra DX//PY’.Vậy Y ' Y . Suy ra PZ’//AC. Vậy Z 'Z .
Vậy các điểm Q, X, Y, Z cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài toán 20.Cho tứ giác lồi ABCD, gọi E, F lần lượt là các điểm trên cạnhAD, BC sao cho . Tia FE cắt
tia BA và tia CD tại S và T. Chứng minh rằngđường tròn ngoại tiếp các tam giác SAE, SBF, TCF, TDE cùng đi qua một điểm chung.
Lời giải
Nhận xét: Các điểm E, F là các điểm có “cùng tính chất trên các đoạn AD và BC”; qua phép đồng dạng sẽ biến một điểm có tính chất này thành một điểm cũng có tính chất đó trên ảnh của nó.
Gọi O là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hai tam giác SAE và SBF. Ta chúng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác TCF, TDE cùng đi qua O. Để ý rằng O là tâm của phép vị tự quay biến A thành B và E thành F.
O là tâm của phép vị tự quay f biến B thành A và F thành E. Qua f biến tia BE thành tia AF , mà nên qua f biến C thành D.
Theo cách xác định tâm của phép vị tự quay biến F thành E; C thành D thì O là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác TFC và TED.
Vậy bốn đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAE, SBF, TCF, TDE cùng đi qua một điểm chung O (đpcm).
Bài toán 21.Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Đường chéo AC cắt BD tại P. Đường tròn
ngoại tiếp các tam giác ABP và CDP cắt nhau tại P và Q phân biệt khác O. Chứng minh .
Ta thấy Q chính là tâm của phép vị tự quay biến A thành C và B thành D và do đó cũng là tâm của phép vị tự quay f biến A thành B và C thành D.Yêu cầu cần chứng minh tương đương với việc chứng minh 4 điểm Q, P, M, N nằm trên một đường tròn (M, N lần lượt là trung điểm AC, BD)
Xét phép vị tự quay f biến AC thành BD do đó biến trung điểm của AC là M thành trung điểm của BD là N.
Theo định nghĩa phép vị tự quay suy ra (QM,QN)=(QA,QB) Mà (QA,QB)=(PA,PB) (do A, P, Q, Bcùng nằm trên đường tròn) Suy ra (QM,QN)=(PA,PB).
Do đó bốn điểm P, M, Q, N cùng nằm trên đường tròn. Mà ta lại có O, P, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP nên .
Bài toán22.Trên mặt phẳng, cho đường tròn (O) và hai điểm cố định B, C trên đường tròn này sao cho
BC không là đường kính của (O). Gọi A là một điểm di động trên đường tròn (O) và A không trùng với hai điểm B, C. Gọi D, K, J lần luợt là trung điểm của BC, CA, AB và E, M, N lần luợt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên BC, DJ, DK. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M, N của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn cắt nhau tại diểm T cố định khi điểm A thay đổi trên (O).
Lời giải
Đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN chính là đường tròn đường kính HD.
Bằng việc lấy đối xứng qua trục BC ta chứng minh T’ là giao điểm của hai tiếp tuyến với (I) tại M’, N’ là cố định.
Gọi X là giao điểm của hai tiếp tuyến với (O) tại B, C. Gọi Q là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O) và (I). Q là tâm của phép vị tự quay f biến M’ thành B; N’ thành C; f biến D thành D’; I thành O; T’ thành X.
- XD’ là đường đối trung của tam giác D’BC nên . Suy ra H’B = SC.
- Từ đây dễ chứng minh tam giác XSC bằng tam giác XH’B. S đối xứng với H qua D và AS là đường kính của (O).
- Qua f thì biến thành . Vậy X, T’, D, O thẳng hàng. - Qua f thì biến thành . Suy ra IT’// XH’.
Vậy T’ là trung điểm của XD. T’ cố định nên T cố định.
Bài toán23.Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi N là giao điểm của phân giác trong góc M của
tam giác AMB với đường tròn (O). Đường phân giác ngoài góc cắt đường thẳng NA, NB lần lượt tại P, Q. Đường thẳng MA cắt đường tròn đường kính NQ tại R, đường thẳng MB cắt đường tròn đường kính NP tại S và R, S khác M. Chứng minh rằng đường trung tuyến ứng với đỉnh N của tam giác NSR luôn đi qua một điểm cố định khi M di động phía trong đường tròn.
Lời giải
Ta có Để chứng minh N, O , G thẳng hàng ta chứng minh
Ta có N là tâm của phép vị tự quay f biến đường tròn đường kính NQ thành đường tròn đường kính NP. Do nên f có góc quay bằng 900.
M’M là đường kính của đường tròn đường kính NP. SA, MA cắt đường tròn đường kính NP lần lượt tại T, Y.
Qua phép vị tự quay f thì M biến thành M’, R biến thành Y, Q biến thành P. B biến thành B’ trên đoạn PN.Do (M'B',M'P) =(MB,MQ) =(MS,MP) = (M'S,M'P) nên M’, B’, S thẳng hàng. , suy ra MN = YN.
Lại do PM là phân giác góc nên PM = PY.
Vậy Y, S đối xứng nhau qua đường kính PN. Suy ra M, T cũng đối xứng nhau qua đường kính PN.
Tương tự M, K đối xứng nhau qua NQ. Suy ra T, N, K thẳng hàng. Ta có: , tương tự
Mà nên ( đpcm).