1./AB cố định, M di động sao cho �AMB thì quỹ tích M là 2 cung chứa gĩc
dựng trên AB
2./AB cố định, M di động sao cho �AMB900 thì quỹ tích M là đường trịn đường kính AB
Chú ý: Trên 1 nửa mặt phẳng bờ AB nếu �AMB ANB� �AEB � M;N;E cùng nằm trên 1 cung chứa gĩc � A;M;N;E;B cùng nằm trên 1 đường trịn.
BÀI TẬP TỰ LUẬNBÀI TẬP MẪU BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Cho ΔABC cĩ cạnh BC cố định và ∠A = α khơng đổi (0o < α < 180o). Tìm quỹ tích tâm I của đường trịn nội tiếp ΔABC
Hướng dẫn giải
* Phần thuận:
Vì I là tâm đường trịn nội tiếp ΔABC nên BI là phân giác của ∠B
=> ∠IBC = 1/2∠ABC
CI là phân giác ∠ACB, do đĩ: ∠ICB = 1/2 ∠ACB Suy ra: ∠IBC + ∠ICB = 90o - α
Trong ΔBCI cĩ ∠BIC = 180o - 1/2(∠ABC + ∠ACB) =180o - (90o - 1/2 α) = 90o + 1/2 α
=> Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới một gĩc 90o + 1/2α
=> I thuộc cung chứa gĩc 90o + 1/2 α dừng trên đoạn thẳng BC (trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC cĩ chứa điểm A).
* Phần đảo:
Lấy I’ thuộc cung chứa gĩc 90o + 1/2 α nĩi trên.
Vẽ các tia Bx và Cy sao cho BI’ là tia phân giác của ∠CBy và CI’ là tia phân giác của gĩc ∠BCx.
Hai tia By và Cx cắt nhau tại A’.
Vì I’ thuộc cung chứa gĩc 90o + 1/2 α dựng trên đoạn BC nên: ∠BI'C = 90o + 1/2 α
Do đĩ: ∠I'BC + ∠I'CB = 180o - ∠BIC = 90o - 1/2α
Vì BI’ là phân giác của ∠A'BC và CI’ là phân giác của ∠A'CB
=> ∠A'BC + ∠A'CB = 2(∠I'BC + ∠I'CB) = 180o - α
Mặt khác I’ là giao điểm các tia phân giác của ∠A'BC và ∠A'CB => I’ là tâm đường trịn nội tiếp ΔA'BC
* Kết luận: Quỹ tích tâm I của đường trịn nội tiếp ΔABC là cung chứa gĩc 90o + 1/2 α dựng trên đoạn BC.
Bài 2: Cho đường trịn (O) và điểm A cố định nằm trong đường trịn . Một đường thẳng d quay quanh điểm A cắt đường trịn (O) tại hai điểm M và N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Hướng dẫn giải
* Phần thuận:
Vì I là trung điểm của dây MN suy ra OI ⊥ MN => ∠OIA = 90o
Vì điểm I nhìn đoạn OA cố định dưới gĩc 90o nên I nằm trên đường trịn đường kính OA.
* Phần đảo:
Lấy điểm I’ bất kỳ thuộc đường trịn đường kính OA. Nối AI’ cắt đường trịn (O) tại M’ và N’
Vì I’ thuộc đường trịn đường kính OA nên ∠OI'A = 90o hay OI' ⊥ M'N' => I’ là trung điểm của M’N’ (theo quan hệ giữa đường kính và dây cung)
* Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường trịn đường kính OA.
Bài 3: Dựng ΔABC biết BC = 8cm; ∠A = 60o và trung tuyến AM = 5cm.
Hướng dẫn giải
* Phân tích:
Giả sử đã dựng được ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vì ∠BAC = 60o
=> A thuộc cung trịn chứa gĩc 60o dựng trên đoạn BC.
Lại cĩ: AM = 5cm
=> A thuộc đường trịn tâm M, bán kính 5cm. * Cách dựng:
Dựng đoạn thẳng BC = 8cm. Xác định trung điểm M của BC. Dựng cung chứa gĩc 60o trên đoạn thẳng BC.
Dựng đường trịn tâm M, bán kính 5cm. Gọi giao điểm của cung chứa gĩc và đường trịn (M, 5cm) là A và A’.
Ta cĩ hai tam giác ABC và A’BC đều thỏa mãn đề bài. * Chứng minh:
Vì A thuộc cung chứa gĩc 60o dựng trên đoạn BC nên ∠A = 60o
Lại cĩ: A thuộc đường trịn (M, 5cm) nên AM = 5cm. BC = 8cm theo cách dựng.
* Biện luận: Bài tốn luơn cĩ nghiệm hình.
Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, cĩ C là điểm chính giữa của cung AB. M là một điểm chuyển động trên cung BC . Lấy điểm N thuộc đoạn AM sao cho AN = MB. Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường trịn; D là điểm thuộc Ax sao cho AD = AB .
b) Chứng minh rằng DN ⊥ AM c) Tìm quỹ tích điểm N.
Hướng dẫn giải
a) Ta cĩ: ΔANC = ΔBMC (c.g.c) Do đĩ: CN = CM
Lại cĩ: ∠CMA = 1/2 SđAC = 1/2 .90o = 45o
Từ (1) và (2) suy ra ΔMNC vuơng cân tại C. b) Xét ΔAND và ΔBMA cĩ:
AD = AB
∠DAN = ∠ABM
AN = BM (gt)
=> ΔAND = ΔBMA (c-g-c) do đĩ ∠AND = ∠BMA . Mà ∠BMA = 90o (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy ra ∠AND = 90o hay DN ⊥AM.
c) Tìm quỹ tích điểm N. * Phần thuận:
Vì ∠AND = 90o N nhìn đoạn AD cố định dưới một gĩc 90o
=> N thuộc đường trịn đường kính AD.
Giới hạn: Nếu M ≡ A thì N ≡ C, nếu M ≡ C thì N ≡ A do đĩ quỹ tích điểm N là cung nhỏ AN của đường trịn đường kính AD (cung này thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Ax cĩ chứa nửa đường trịn (O)).
* Phần đảo: Học sinh tự chứng minh.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. I di động trên nửa đường trịn. Trên tia đối tia IA lấy M sao cho IM = IB. Tính gĩc AMB từ đĩ suy ra quỹ tích M
Bài 2: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. I di động trên nửa đường trịn. Trên đoạn IA lấy M sao cho IM = IB. Tính gĩc AMB từ đĩ suy ra quỹ tích M.
Bài 3: Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB. Một dây cung CD di động sao cho CD = R và C trên cung nhỏ AD.Tia AC và BD cắt tại E. Đoạn AD và BC cắt tại H. a./Tính gĩc AEB suy ra quỹ tích E
b./Tính gĩc AHB suy ra quỹ tích H c./Chứng minh EH AB
Bài 4: Cho tam giác ABC cĩ Â = 600 nội tiếp đường trịn (O;R). Gọi H là trực tâm, I là tâm đường trịn nội tiếp.
a./Tính các gĩc BOC; BHC; BIC từ đĩ suy ra B;C;H;O;I cùng nằm trên 1 đường trịn. b./AH cắt BC tại A’ và đường trịn tại K. Chứng minh H và K đối xứng qua BC. c./Chứng minh : AH.2R = AB.AC
Bài 5: Từ A bên ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB. Chứng minh AM.AN = AB2
Bài 6:Từ một điểm T ở ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P là tiếp điểm) và cát tuyến TBA đi qua tâm O của đường trịn (B và A thuộc đường trịn, B nằm giữa O và T).
Chứng minh: � � 0
2. 90
BTP BPT
Bài 7: Cho A, B, C là ba điểm trên một đường trịn. Người ta vẽ một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A, đường song song này cắt đường thẳng AB ở M và cắt đường thẳng AC ở N.
Chứng minh rằng AB . AM = AC . AN.
Bài 8:Cho đường trịn (O) đường kính AB và một dây cung AP. Tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường trịn ở T. Chứng minh: �APO TBP�