Môđun  minimax

Ngoài Định nghĩa 2.2.1 về môđun minimax ở trên, trong bài báo [18] và [20] thì môđun minimax còn được định nghĩa như sau: “Cho R là vành Noether, một

môđun là minimax khi và chỉ khi chiều Goldie của mọi môđun thương trong nó đều hữu hạn”. Từ điều này, trong [8] J.Azami, R.Naghipour và B.Vakili đã định nghĩa một lớp môđun -minimax sau:

Định nghĩa 2.3.1. Cho  là một iđêan của R. Một R-môđun M được gọi là - minimax (minimax theo iđêan ) nếu chiều Goldie -tương đối của bất kỳ môđun thương trong M là hữu hạn, nghĩa là với bất kỳ môđun con N trong M thì

dim /

G M N  .

Từ định nghĩa của môđun -minimax, ta rút ra một số nhận xét cơ bản sau đây:

Nhận xét 2.3.2.Cho  là một iđêan của R và M là một R-môđun, khi đó: (i) Nếu = 0 thì M là -minimax khi và chỉ khi M là minimax.

(ii) Nếu M là -xoắn thì M là -minimax khi và chỉ khi M là minimax.

(iii) Nếu M là Noether thì M là -minimax.

(iv) Nếu  là một iđêan của R sao cho  và M là -minimax thì M là - minimax. Nói riêng, mỗi môđun minimax là -minimax.

Chứng minh:

(i) Nếu  = 0 thì GdimM = GdimM (Nhận xét 2.1.4) và do GdimM hữu hạn (M là -minimax) nên GdimM cũng hữu hạn. Ta suy ra M là minimax.

Ngược lại, giả sử M là minimax. Nếu  = 0 thì Γ(M) = M nên Γ(M) là minimax, do đó GdimΓ(M) hữu hạn nên từ Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra

GdimM hữu hạn. Vậy M là -minimax.

(ii) Giả sử M là minimax và Γ(M) = M. Từ Mệnh đề 2.1.3, ta có

GdimM = GdimΓ(M) = GdimM < ∞. Do đó M là -minimax.

Ngược lại thì cũng chứng minh tương tự.

(iii) Nếu M là R-môđun Noether thì Γ(M) cũng là R-môđun Noether, nên từ Nhận xét 2.1.4 thì GdimΓ(M) < ∞. Do đó từ Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra

GdimM < ∞. Vậy M là -minimax.

(iv) Do  nên V( )V( ), từ giả thiết M là -minimax, ta có:

V( ) V( ) 0 0 dim ( ) ( ) dim . G M μ ,M μ ,M G M <         Vậy M là -minimax.

Nói riêng, nếu N là một R-môđun minimax bất kỳ thì từ (i) ta có N là một 0-minimax. Mặt khác, 0 nên từ chứng minh trên, ta suy ra N là - minimax. Vậy m i môđun minimax đều là -minimax. ∎

Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh một mệnh đề quan trọng của môđun - minimax. Mệnh đề này sẽ được sử dụng nhiều trong luận văn này, mà chủ yếu là ứng dụng nó để rút ngắn chứng minh định lý chính của luận văn này.

Mệnh đề 2.3.3:Cho  là một iđêan của R và dãy khớp ngắn các R-môđun

0M'M M''0.

Khi đó, M là -minimax khi và chỉ khi M'và M'' đều là -minimax. Chứng minh:

Ta xem M' là một môđun con của M và M''M M/ '. Nếu M là -minimax, từ định nghĩa của môđun -minimax ta dễ dàng suy ra được M' và M M/ ' là - minimax. Giả sử M' và M M/ ' đều là -minimax, cho N là một môđun con bất kỳ trong M và cho AssM /NV . Khi đó ta có dãy khớp ngắn

' 0 0 '       M N M M N N M N cảm sinh dãy khớp   '    

0 Hom , Hom , Hom ,

' ' , R R R M M M k k k N M N M N                            trong đó: k R / R .

Mặt khác, ta có Ass ( / ) Ass ' Ass

'                R R R M N M M N N M N . Trong đó '   Ass     V   R M N N và Ass V  '         R M

M N đều hữu hạn nên ta suy ra Gdim (M N/ )   và do đó từ định nghĩa suy ra M là -minimax. ∎

Từ định nghĩa của môđun -minimax và áp dụng Mệnh đề 2.3.3 ta có Hệ quả 2.3.4 sau, hệ quả này dùng để rút ngắn chứng minh một số kết quả quan trọng được trình bày trong luận văn này.

Hệ quả 2.3.4.Cholà một iđêan của R. Khi đó

(i) Môđun thương và môđun con của môđun -minimax là môđun -minimax.

(ii) Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun -minimax là môđun -minimax. Chứng minh:

(i) Cho M là R-môđun -minimax và N là một môđun con bất kỳ của M. Khi đó, ta có dãy khớp ngắn sau:

0 N M M N/ 0

(ii) Giả sử 1 n i i M M 

 , trong đó Mi là -minimax với mọi i. Bằng phương pháp quy nạp ta thấy rằng chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 2. Với n = 2 thì ta có dãy khớp ngắn

1 1 2 2

0M M M M 0. Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 thì M1M2 là -minimax. ∎

Hệ quả 2.3.5.Cho  là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một R-môđun -minimax. Khi đó, ExtiRM,N và  ToriRM,N đều là R-môđun 

-minimax với mọi i. Nói riêng, ExtiRR / ,N và ToriRR / ,N đều là các R-

môđun -minimax với mọi i.

Chứng minh:

Khi R là Noether và M là hữu hạn sinh, giả sử M có một phép giải tự do sau :

-1 1 0

: ... Fn Fn ... F F 0

      

trong đó, các môđun tự do Fi đều có hạng hữu hạn với mọi i≥ 0.

Như vậy, ExtiRM,N= H Homi R •,N là môđun thương của môđun tổng trực tiếp các bản sao của N. Từ Hệ quả 2.3.4 ta suy ra ExtiRM,N là -minimax với mọi i0. Tương tự, ta cũng suy ra ToriRM,Nlà -minimax với mọi i0.∎

Mệnh đề 2.3.6. Cho  là một iđêan của R và M là một R-môđun -minimax sao cho

 

AssRM V . Khi đó,Hi  M là -minimax với mọi i0. Chứng minh :

Nếu i = 0, thì 0   

H M = Γ M là môđun con của M, áp dụng Mệnh đề 2.3.3, ta suy ra   M là -minimax. Mặt khác, do AssRM / Γ  M AssRM và

 

AssRM V ta suy ra M Γ  M . Do đó, theo Mệnh đề 1.5.7 (i) thì

 

Hi M 0 với mọi i > 0. Vậy ta suy ra Hi  M là -minimax với mọi i0. ∎

Định lý 2.3.7. Cho  là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một R-môđun tùy ý. Cho t là một số nguyên không âm sao choExtiRM,N là  - minimax với mọi it. Khi đó, với mọi R-môđun hữu hạn sinh L thỏa Supp L ⊆ Supp M thì ExtiRL,N là  -minimax với mọi it.

Chứng minh:

Từ giả thiết Supp L⊆ Supp M, ta áp dụng định lý Gruson [17, Định lý 4.1] thì luôn tồn tại một chu i hữu hạn

0 1

0L   L ... Lk L,

trong đó các nhân tố Lj /Lj1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn các bản sao của M. Bằng cách sử dụng các dãy khớp ngắn thích hợp, ta có thể quy về trường hợp k = 1. Khi đó, có một dãy khớp ngắn

0  n  0

K M L (*) với n ∈ℕ và R-môđun K hữu hạn sinh.

Bây giờ, ta chứng minh định lý bằng phép quy nạp trên t. Thật vậy với t = 0, do HomR(L,N) là một môđun con của Hom ( n, )

R M N nên từ giả thiết và Hệ quả 2.3.4 ta suy ra 0  

 

ExtRj L N', là -minimax với mọi j t 1 và với mọi R-môđun hữu hạn sinh L' thỏa Supp 'L  SuppM. Từ dãy khớp ngắn (*) sẽ cảm sinh ra dãy khớp dài

   

1

… Exti , Exti , Ext ( n, ) … .

R R i K N L N M N R     

Do giả thiết quy nạp nên ta có 1 

ExtiR K N, là -minimax với mọi it. Mặt khác,

theo Hệ quả 2.3.4 thì   1 Ext ( , ) Ext ,    n n i i R R i M N M N là -minimax. Ta áp dụng Mệnh đề 2.3.3 suy ra ExtiRL N,  là -minimax với mọi it.∎

Hệ quả 2.3.8. Cho  là một iđêan của R, và cho t là số nguyên không âm. Khi đó,

với mọi R-môđun M thì các điều kiện sau là tương đương: (i) ExtiRR / ,M là  -minimax với mọi it.

(ii) Với mọi iđêan  của R chứa  thì ExtiRR / ,M là  -minimax với mọi

.

it

(iii) Với mọi R-môđun hữu hạn sinh N thỏa SuppN ⊆ V() thì ExtiRN ,M là  - minimax với mọi it.

(iv) Với mọi iđêan nguyên tố tối tiểu  trên  thì ExtiRR / ,M là  -minimax với mọi it.

Chứng minh:

Dễ thấy từ (i) ta suy ra được (iii), từ (iii) ta suy ra (ii) và từ (ii) ta cũng suy ra được (iv). Do đó, ta chỉ cần chứng minh từ (iv) ta suy ra được (i). Giả sử

1, 2, ... , n là các iđêan nguyên tố tối tiểu của , theo giả thiết thì các R-môđun

 

  1Ext / , Ext ( 1 / , ) n n i i R j R j j R M j R M      là -minimax. Mặt khác 1 ( / ) Supp n j j R    Supp /R nên từ Định lý 2.3.7 ta suy ra rằng ExtiRR/ ,Mlà -minimax.∎

Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX

Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether.

3.1 Môđun -cominimax và đối đồng điều địa phƣơng

Cho R là vành Noether,  là một iđêan của R và M là một R-môđun. M được gọi là -cofinite nếu thỏa điều kiện Supp M ⊂ V() và Ext ( / ,iR R M) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i (độc giả có thể tham khảo thêm trong [14]). Từ định nghĩa của lớp các môđun -cofinite và môđun -minimax ở trên, trong [8] J.Azami, R.Naghipour và B.Vakili đã cho một định nghĩa về mối liên quan giữa 2 lớp môđun đó, đó là định nghĩa về lớp các môđun -cominimax.

Định nghĩa 3.1.1. Cho R là vành Noether và  là một iđêan của R. M được gọi là R-môđun -cominimax nếu thỏa điều kiện Supp M ⊆ V() và ExtiRR / ,M là  - minimax với mọi i0.

Ví dụ 3.1.2.

(i) Cho  là một iđêan của R và M là một R-môđun -minimax thỏa

 

SuppM V . Khi đó, áp dụng Hệ quả 2.3.5 ta suy ra M là -cominimax. Nói riêng, mọi R-môđun minimax với giá nằm trong V() đều là -cominimax.

(ii) Với  là một iđêan của R thì mọi R-môđun -cofinite đều là -cominimax. Nói riêng, mọi môđun Noether với giá trong V() đều là -cominimax.

Mệnh đề 3.1.3.Cho  là một iđêan của R và dãy khớp ngắn các R-môđun

trong đó hai trong số các môđun M', M, M'' là -cominimax. Khi đó, tất cả 3

môđun M', M, M''đều là -cominimax .

Chứng minh: Dãy khớp

0M'M M''0 cảm sinh nên dãy khớp dài

     

 

1

1

… Ext / , Ext / , '' Ext / , '

Ext / , …. i i i R R R i R R M R M R M R M       

Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 ở trên, ta có điều phải chứng minh. ∎

Hệ quả 3.1.4. Cho  là một iđêan của R. Cho f : M ⟶ N là đồng cấu giữa hai môđun -cominimax sao cho một trong ba môđun Kerf, Imf và Cokerf là - cominimax. Khi đó, cả ba môđun đó đều là -cominimax.

Chứng minh: Ta có các dãy khớp sau:

0 Ker Im 0, 0 Im Coker 0. f M f f N f        

Sau đó, áp dụng Mệnh đề 3.1.3 ta có điều cần chứng minh. ∎

Mệnh đề 3.1.5. Cho  là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun sao cho

 

V

SuppM  và 0:M có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó, M có chiều Goldie hữu hạn.

Chứng minh:

Từ giả thiết 0:M  có chiều Goldie hữu hạn và SuppM V , áp dụng định lý Bourbaki [13, Bài tập 1.2.27] ta suy ra AssRM là hữu hạn. Mặt khác, với mọi

Ass

 

     

HomR k ,M  HomR k ,0 :M R

với k không gian vector, k R / R . Vì vậy 0 

, M

 là hữu hạn, suy ra dim

G M  . ∎

Từ Mệnh đề 3.1.5 ta có ngay hệ quả sau:

Hệ quả 3.1.6.Cho  là một iđêan của R và M là một R-môđun -cominimax. Khi đó, M có chiều Goldie hữu hạn. Nói riêng, tập các iđêan nguyên tố liên kết của M là hữu hạn.

Mệnh đề 3.1.7.Cho  là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun sao cho Hi  M là -cominimax với mọii. Khi đó, ExtiRR / ,M là  -minimax với mọi i.

Chứng minh:

Trường hợp i0 thì mệnh đề luôn đúng. Với i0, ta quy nạp theo i. Ta có