I J
H M trong phạm trù con Serre
Định lý 3.2.1. Cho M là Rmôđun và s là số nguyên không âm. Nếu
,
i I J
H M với mọi is thì ExtRi R I M, với mọi is.
Chứng minh:
Ta kí hiệu hàm tử F HomRR I, và G I J, . Dễ thấy
, , ,
R I J R
FGHom R I Hom R I . Khi đó ta có dãy phổ Grothendieck:
, 2p q Rp , I Jq, Rp q , p E Ext R I H M Ext R I M . Vì , i I J
Ta có dãy các đồng cấu của dãy phổ với mọip0,0 k svà i2, , 1 , , 1 dip i k i , dip k , 1 p i k i p k p i k i i i i E E E Ta có , , 1, 2 1 1 Ker / Im p k p k p i k i i i i
E d d và Eip l, 0 với mọi l0. Suy ra
, , ,
2 2
Kerdkp k p Ekp k p Ep k p
với mọi 0 p k. Khi đó ta có lọc của Hk ExtRkR I M, thỏa
1 1 0
0k Hk kHk Hk Hk ExtRk R I M, và i k i, i k i 1 k
E H H
với mọi 0 i k. Khi đó có một dãy khớp ngắn
1 ,
0 i Hk iHk Ei k i 0
.
Theo chứng minh trên ta có Ei k i, Eki k i,2 Kerdki k i,2 là môđun thương con của ,
2
i k i
E và E2i k i, với mọi 0 i k. Dẫn tới Ei k i, với mọi 0 i k. Bằng quy nạp theo i ta có iHk với mọi 0 i k. Cuối cùng
,
k R
Ext R I M với mọi k s.
Bổ đề 3.2.2. Cho R,m là vành địa phương. Nếu là lớp các Rmôđun có độ dài hữu hạn thì .
Chứng minh:Tham khảo [8, 2.11]
Định lý 3.2.3 Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương R,m và slà một số nguyên không âm. Nếu ,
i I J
H M với mọi is thì khi đó ta có
/ , s,
R I J
Hom R m H M .
Chứng minh:
Khi s0, vì Mlà hữu hạn sinh, vì vậy 0 , I J H M cũng là hữu hạn sinh. Vì vậy 0 , , R I J
Hom R m H M có độ dài hữu hạn nên 0
, , , R I J Hom R m H M (do Bổ đề 3.2.2). Với s0, ta có , , , i i I J I J I J H M H M M với mọi i0. Bằng cách thay thế Mbằng M I J, M , ta có thể giả sử, M là I J, xoắn tự do. Vì
, 0
I M I J M
, theo đó M cũng là I xoắn tự do. Vì vậy, tồn tại một phần tử xI không là ước của 0 trong M . Đặt M M xM , dãy khớp ngắn
0 0 x M M M cảm sinh dãy khớp 1 1 1 , , , , , . f g x x s s s s s I J I J I J I J I J H M H M H M H M H M Vì , i I J H M với mọi is, , i I J
H M với mọi i s 1. Vì vậy
1
, , s
R I J
Hom R m H M theo giả thiết quy nạp. Tác động hàm tử
,
R
Hom R m vào dãy khớp ngắn
1 , 0Im f HI Js M Img 0 ta có dãy khớp dài 1 ,
0HomR R m, Im f HomR R m,HI Js M HomR R m, Img
1 ,Im R Ext R m f Vì 1 , Im R
Ext R m f , vì vậy HomRR m,Img . Bây giờ từ dãy khớp
, , 0 Im x s s I J I J g H M H M
ta có dãy khớp , , 0 , Im , , x s s R R I J R I J
Hom R g Hom R H M Hom R H M
m m m . Dễ thấy Im , , , , 0 x s s R I J R I J Hom R m H M Hom R m H M .
Vì vậy HomRR m,HI Js, M HomRR m,Img .
Mệnh đề 3.2.4. Lớp các Rmôđun hữu hạn sinh là phạm trù con Serre của phạm trù các Rmôđun.
Chứng minh:
Thật vậy từ dãy khớp
1 1
0M M M M 0
Nếu M là môđun hữu hạn sinh thì M1 và M M1 đều là các môđun hữu hạn sinh . Mặt khác từ dãy khớp
1 2
0M M M 0
với M M1, 2 là các môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là một mở rộng của M2
nhờ M1 và M là hữu hạn sinh. Như vậy, lớp các Rmôđun hữu hạn sinh là phạm trù con Serre của phạm trù các Rmôđun. Từ Mệnh đề 1.1.17, ta thấy rằng nếu , nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương R m với SuppR M m thì M là Artin. Sau đây là một kết quả của Định lý 3.2.3.
Hệ quả 3.2.5. Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương R,m
và slà một số nguyên không âm. Nếu ,
i I J
H M là hữu hạn sinh với mọi is, khi đó HomRR m,HI Js, M có độ dài hữu hạn.
Chứng minh:
Theo Định lý 3.2.3 ta có HomRR m,HI Js, M là hữu hạn sinh. Hơn nữa,
, s,
R R I J
Supp Hom R m H M m . Vì vậy, HomRR m,HI Js, M là Artin và nó có độ dài hữu hạn.
KẾT LUẬN
Luận văn này đã trình bày một số kết quả liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan I J, , cụ thể như sau:
1. Trình bày lại định nghĩa về môđun Lasker yếu và môđun cofinite yếu và nghiên cứu tính Lasker yếu và cofinite yếu của môđun
, i R Ext R I M và môđun , i I J H M .
2. Với s là số nguyên không âm, tập Ass Hom RR I H/ ; I Js, M là hữu hạn khi M là Rmôđun Lasker yếu và i,
I J
H M là môđun I J, cofinite yếu với mọi is.
3. Tập ,
s R I J
Ass H M là hữu hạn nếu ,
i I J
H M là môđun Lasker yếu với mọi is, với s là số nguyên không âm, trong đó M là R
môđun Lasker yếu thỏa
, 0 : 0 :
I J
M a M a và W I J , V a , với a
là một iđêan của vành R.
4. Bên cạnh đó ta cũng chỉ ra được ExtRi R I M, ,HomRR m,HI Js, M
thuộc phạm trù con Serre dựa vào tính chất môđun ,
i I J
H M với mọi is. Ngoài ra ta có hệ quả về độ dài hữu hạn của
, s,
R I J
Hom R m H M trong trường hợp R,m là vành địa phương và
,
i I J
H M là hữu hạn sinh.
Như vậy, tính Lasker yếu và cofinite yếu của môđun Đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan đã mang lại cho ta một số kết quả khá hay về sự
hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass Hom RR I H/ ; I Js, M và
,
s R I J
Ass H M . Ngoài ra, đối đồng điều địa phương ,
i I J
H M theo một cặp iđêan vẫn giữ được vai trò quan trọng để ta nghiên cứu một số tính chất theo quan điểm của phạm trù con Serre.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] R. Takahashi, Y. Yoshino and T. Yoshizawa, “Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals”, J. Pure Appl. Algebra, vol. 213, no. 4, pp. 582–600, 2009.
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.09.008
[2] A. Grothendieck, “Cohomologie local des faisceaux coherents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2)”, North-Holland, Amsterdam, vol. 2, 1968.
[3] T. T. Nam and N. M. Tri, “Some Results on Local Cohomology Modules with Respect to a Pair of Ideals”, Taiwanese J. Math, vol. 20, no. 4, pp. 743–753, 2016. doi:10.11650/tjm.20.2016.5805.
https://projecteuclid.org/euclid.twjm/1498874488
[4] K. Divaani-Aazar and A. Mafi, “Associated primes of local cohomology modules”, Proc. Amer. Math. Soc, vol. 133, no.3, pp. 655–660, 2005.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07728-7
[5] A. Tehranian and A. Pour Eshmanan Talemi, “Cofiniteness of local cohomology based on a non-closed support defined by a pair of ideals”,
Bull. Iranian Math. Soc, vol. 36, no. 2, pp. 145–155, 2010.
[6] K. Divaani-Aazar and A. Mafi, “Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules,” Commun. Algebr., vol. 34, no. 2, pp. 681–690, 2006.http://dx.doi.org/10.1080/00927870500387945
[7] J. J. Rotman, “An Introduction to Homological Algebra”, Second edition, Universitext,Springer, New York, 2009.
http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68324-9
[8] M. Asgharzadeh and M. Tousi, “A Unified Approach to Local Cohomology Modules Using Serre Classes”, Canad. Math. Bull, vol 53,
no. 4, pp. 577-586, 2010. http://dx.doi.org/10.4153/cmb-2010-064-0
[9] C. Huneke, “Problems on local cohomology, Free Resolutions in commutative algebra and algebraic geometry, (Sundance, Utah, 1990),”