Cho vector 𝒃 = (𝑏1, … , 𝑏𝑘) là hoán tử bậc cao của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng định nghĩa bởi 𝑈𝜓,𝑠𝒃 𝑓(𝑥) = ∫ (∏ (𝑏𝑗(𝑥) − 𝑏𝑗(𝑠(𝑡)𝑥)) 𝑘 𝑗=1 ) 𝑓(𝑠(𝑡)𝑥) 1 0 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 Khi 𝑘 = 0 thì 𝑈𝜓,𝑠𝒃 = 𝑈𝜓,𝑠, 𝑘 = 1 thì 𝑈𝜓,𝑠𝒃 = 𝑈𝜓,𝑠𝑏 .
Tương ứng, ta định nghĩa hoán tử bậc cao của toán tử Cesàro có trọng suy rộng 𝑉𝜓,𝑠𝒃 𝑓(𝑥) = ∫ (∏ (𝑏𝑗(𝑥) − 𝑏𝑗(𝑠(𝑡)𝑥)) 𝑘 𝑗=1 ) 𝑓(𝑠(𝑡)𝑥) 1 0 |𝑠(𝑡)|𝑛𝜓(𝑡)𝑑𝑡 Chú ý rằng 𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) nghĩa là 𝑏𝑖 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.
Áp dụng phương pháp chứng minh như trong định lí 2.3.2, ta cũng có được những kết quả tương tự cho hoán tử bậc cao của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng.
Định lí 2.4.1Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼(𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, 1 < 𝑝 < 𝑞 < ∞ và
−1 𝑞⁄ < 𝜆 < 0. Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ là hàm đo được thỏa 0 < |𝑠(𝑡)| ≤ 1 h.k.n trên
[0,1]. Khi đó các khẳng định sau tương đương:
(𝑖)𝑈𝜓,𝑠𝒃 bị chặn trên từ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆(𝜔) ∀𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔);
(𝑖𝑖)∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆|𝑙𝑜𝑔 2
|𝑠(𝑡)||𝑘𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ 1
0 .
Và hai mệnh đề sau cũng tương đương:
(𝑖)𝑉𝜓,𝑠𝒃 bị chặn trên từ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆(𝜔) ∀𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔);
KẾT LUẬN
Luận văn đã hệ thống lại điều kiện cần và đủ để toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng bị chặn trên các không gian Morrey trung tâm có trọng. Ngoài ra, luận văn cũng trình bày lại những kết quả về tính bị chặn của hoán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng với biểu tượng trong
.
( ).
p
C M O Các kết quả chính của luận văn được trình bày trong chương 2.
Hướng nghiên cứu nối tiếp của luận văn: nghiên cứu tính bị chặn của toán tử Hardy- Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử của toán tử đó trên các không gian quen thuộc của Giải tích điều hòa như: không gian Campanato, không gian loại Triebel-Lizorkin.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. J. Alvarez, M. Guzmán-Partida, J. Lakey (2000), "Spaces of bounded 𝜆−central mean oscillation, Morrey spaces, and 𝜆 -central Carleson measures", Collect. Math. 51, pp.1–47.
2. C. Carton-Lebrun, M. Fosset (1984), "Moyennes et quotients de Taylor dans BMO", Bull. Soc. R. Sci. Liege 53 (2), pp.85-87.
3. Y.Z.Chen, K.S Lau (1989), “On some new classes of Hardy spaces”, J. Funct. Anal. 84, pp.255-278.
4. N.M. Chuong, H.D. Hung (2012), “A generalized weighted Hardy-Cesaro operator, and its commutator on weighted Lpand BMO spaces”, arXiv:1208.5242v1 [math.CA].
5. J. Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Grad. Stud. Math, vol. 29, American Mathematical Society, Providence, RI, Translated and revised from the 1995 Spanish original by David Cruz-Uribe.
6. G.B. Folland (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley and Sons.
7. Z.W. Fu, Z.G. Liu, S.Z. Lu (2009), “Commutators of weighted Hardy operators on ℝ𝑛”, Proc. 137 (10), pp.3319-3328.
8. Z.W. Fu, S.Z. Lu (2010), “Weighted Hardy operators and commutators on Morrey spaces”, Front. Math. China 5(3), pp.531-539.
9. J. Garcia-Cuerva and J. L. Rubio de Francia (1985), “Weighted Norm Inequalities and related topics”, North-Holland Mathematics Studies 116, North-Holland, Amsterdam.
10.G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya (1952), Inequalities, 2nd ed., Cambridge University Press, London/NewYork.
11.J. Heinonen, T. Kilpelainen and O. Martio (2006), Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Dover Pulications, Inc., NewYork.
12.F. John, L. Nirenberg (1961), “On functions of bounded mean oscillation”,
Comm. Pure Apple. Math. 14, pp.415-426.
13.S.G. Krantz, H.R. Parks (2008), Geometric Integration Theory, Birkh𝑎̈user. 14.J. Kuang (2010), “Weighted Morrey–Herz spaces and applications”, Appl.
Math. E-Notes 10, pp.159–166.
15.C.B. Morrey (1938), “On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations”, Trans. Amer. Math. Soc. 43, pp.126–166.
16.E.M. Stein (1993), Harmonic Analysis, Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press.
17.C. Tang, Z. Zhai (2010), “Generalized Poincaré embeddings and weighted Hardy operator on 𝒬𝛼,𝑞𝑝 spaces”, J. Math. Anal. Appl. 371, pp.665–676. 18.C. Tang, R. Zhou (2012), Boundedness of weighted Hardy operator and its
applications on Triebel–Lizorkin-type spaces, J. Funct. Spaces Appl. 2012. 19.T.D. Tran (2014), “Generalized weighted Hardy-Cesàro operators and their
commutators on weighted Morrey spaces”, J. Math. Anal. 412, pp.1025-1035. 20.T.D. Tran (2015), A study of Musielak-Orlicz Hardy spaces, weighted Morrey spaces and boundedness of operators, Thesis for the degree of doctor of philosophy department of mathematics, Australia Macquare University, Sydney.
21.J. Xiao (2001), “𝐿𝑝 and 𝐵𝑀𝑂 bounds of weighted Hardy–Littlewood averages”, J. Math. Anal. Appl. 262, pp.660–666.
22.Komori Yasuo, Shirai Satoru (2009), “Weighted Morrey spaces and a singular integral operator”, Math. Nachr. 282 (2), pp.219–231.
23.F. Zhao, Z. Fu, S. Lu (2011), “Sharp bounds for generalized Hardy operators”, arXiv:1106.0455v1 [math.FA].