• Lời giải 1. Tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn
nên suy ra ABE+ACE =1800. Mà EM=EC nên suy ra được EMC =ACE.
Y X T K I O F D E N M C B A Lại có 0
AME+EMC=180 nên ABE =AME. Do E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên suy ra AE là phân giác của góc BAC, suy ra BAE =MAE ta suy ra được AEB=AEM. Hai tam giác ABE và ADE có EB=EC =ED, AEB =AEM và AE chung nên chúng bằng nhau, do đó ta được AB=AD. Kết hợp với EB= ED ta được AE là trung trực của đoạn BD nên AE vuông góc với BF. Cũng từ AB=AM suy ra ABM=AMB. Kết hợp với ABM=MCN (cùng chắn cung AN) và AMB=NMC (đối đỉnh). Suy ra NMC=NCM nên tam giác MNC cân tại F. Do đó NM=NC. Kết hợp với EM=EC ta được NE là trung trực của MC nên suy ra CD vuông góc với EF. Từ các kết quả trên suy ra M là trực tâm của tam giác AEN.
• Lời giải 2. Ta có EB=EC=EM nên Elà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Từ đó ta suy ra được MEC =2MBC=2NBC=2NEC. Do đó ta được MEN =NEC. Tam giác MEC cân tại E có EN là đường phân giác của MEC nên EF là đường trung trực của CM. Suy ra AM vuông góc với EN. Tương tự ta cũng có BEM=2BCM=2BCA=2BEA. Do đó ta có BEA=MEA. Ta cũng có tam giác ABM cân tại E nên suy ra EA là đường trung trực của BM. Suy ra NM vuông góc với AE. Vậy M là trực tâm của tam giác AEN.
• Lời giải 3. Gọi I là tâm đường trong nội tiếp tam giác ABC, khi đó điểm I thuộc nằm trên tia AE. Ta có
( )
1
IBE IBC CBE ABC BAC 2
= + = + . Lại có 1( )
BIE IBA IAB ABC BAC 2
= + = + . Từ đó ta có
IBE =BIE nên tam giác BEI cân tại E, suy ra EB=EI. Do vậy EB=EB =EC=ED. Từ đó suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BIDC nên 0 0
BIM=180 −BCM=180 −BCA. Lại có
( ) ( 0 )
1 1
BIE ABC BAC 180 ACB
2 2
= + = − nên suy ra 1
BIE BIM 2
= hay IE là phân giác của góc BIM. Do đó suy ra BIA=MIA. Để ý rằng AE là tia phân giác của góc BAM nên ta suy ra được hai
tam giác ABI và AMI bằng nhau, do đó AB=AM. Do vậy AE là đường trung trực của BM. Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được EN là đường trung trực của MC. Vậy M là trực tâm của tam giác AEN.
• Lời giải 4. Gọi P là điểm đối xứng với B qua tia AE. Khi đó do AB và AC đối xứng nhau qua đường
thẳng AE nên dễ dàng suy ra được điểm P nằm trên cạnh AC của tam giác ABC. Khi đó dễ thấy hai tam giác ABE và APE bằng nhau nên ta suy ra được EB= EP. Kết hợp với EM=EC ta được
EB=EP =EM=EC. Từ đó suy ra hai điểm D và P trùng nhau. Điều này dẫn đến AE là trung trực của BM. Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng được EN là đường trung trực của DC. Tam giác AEN có EM và NM là các đường cso nên suy ra M là trực tâm của tam giác AEN.
c) Chứng minh CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK.
• Lời giải 1. Kẻ đường kính TE của đường tròn ( )O . Khi đó dễ thấy TN và AM song song với nhau vì cùng vuông góc với EN. Tương tự ta cũng có AT song song với MN. Do đó tứ giác AMNT là hình bình hành. Do I là trung điểm của AN nên suy ra TM đi qua điểm I. Do vậy bốn điểm T, I, N, K thẳng hàng. Lại có TN song song với AC nên suy ra AT =CN. Từ đó ta có biến đổi góc
( ) ( )
1 1 1
AMB sdAB sdCN sdAB sdAT sdBT BKT BKM
2 2 2
= + = + = = =
Từ đó suy ra AM là tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK hay CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK.
• Lời giải 2. Chứng minh tương tự như trên ta được ta được bốn điểm K, M, I, T thẳng hàng. Do đó suy ra
0
EKM=EKT =90 . Gọi X là giao điểm của AC với EN và Y là giao điểm của AE với BN. Khi đó theo
chứng minh như trên ta được 0
MXE =MYE =90 nên suy ra năm điểm M, X, K, E, Y cùng nằm trên đường tròn đường kính ME. Từ đó ta có biến đổi góc
CMK=XMK =XEK =NEK =NBK=MBK Từ đó suy ra CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK.
Câu 5 (1.0 điểm).
Cho 12 điểm trong mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.
Lời giải
Tô màu các đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong số 12 điểm đã cho. Ta tô màu đỏ cho đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673 và tô màu xanh cho các đoạn thẳng còn lại. Ta sẽ chỉ ra có ít nhất hai tam giác có ba cạnh đều được tô màu đỏ.
+ Xét 6 điểm phân biệt được lấy từ 12 điểm đã cho. Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F. Nối A với năm điểm còn lại la được năm đoạn thẳng là AB, AC, AD, AE, AF. Vì các đoạn thẳng đó được tô bằng một trong hai màu xanh và đỏ nên theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất ba ddaonj thẳng được tô bởi cùng một màu. Không mất tính tổng quát ta giả sử ba đoan thẳng đó là AB, AC, AD. Khi đó ta xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1. Ba đoạn thẳng AB, AC, AD được tô bằng màu đỏ. Trong tam giác BCD có ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673 được tô bằng màu đỏ. Nếu cạnh được tô màu đỏ là BC thì tam giác ABC có ba cạnh được tô màu đỏ. Nếu cạnh được tô màu đỏ là CD thì tam giác ACD có ba cạnh được tô màu đỏ. Nếu
cạnh BD được tô màu đỏ thì tam giác ABC có ba cạnh được tô màu đỏ. Như vậy trong trường hợp này luôn tìm được một tam giác có ba cạnh cùng tô màu đỏ.
Trường hợp 2. Ba đoạn thẳng AB, AC, AD được tô bằng màu xanh. Khi đó vì trong tam giác có ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673 được tô bằng màu đỏ nên trong tam giác ABC có cạnh BC được tô màu đỏ, trong tam giác ABD có cạnh BD được tô màu đỏ và trong tam giác ACD có cạnh CD được tô màu đỏ. Như vậy tam giác BCD có ba cạnh được tô màu đỏ.
Vậy với sáu điểm bất kì ta luôn tìm được một tam giác có ba cạnh cùng được tô màu đỏ hay một tam giác có ba cạnh cùng có độ dài nhỏ hơn 673, suy ra tam giác này có chu vi nhỏ hơn 2019.
+ Xét tương tự như trên cho 6 điểm còn lại ta cũng được một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2019. Vậy có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019.