Tính cofinite yếu của 

Một phần của tài liệu Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (Trang 37 - 40)

s I J

H M

Định lý 2.4.1. Cho MRmôđun thỏa ExtRiR I M,  là Lasker yếu với mọi is là số nguyên không âm. Nếu i,  

I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi is, khi đó ,  

s I J

H M cũng là  I J, cofinite yếu. Chứng minh: Ta quy nạp theo s.

Với s0, đặt MMI J,  M ta có dãy khớp ngắn:

 

,

0 I J MMM 0 cảm sinh dãy khớp dài

 

 , ,   ,   , 

i i i

R I J R R

Ext R I M Ext R I M Ext R I M

    

Ta có ,   ,  

i i

I J I J

H MH M với mọi i0 (do Mệnh đề 1.3.14) và   0 , 0 I J H M  nên ,   i I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi i0. Theo Mệnh đề 2.1.7 , ExtiRR I M,  là môđun Lasker yếu với mọi i0. Kết hợp với giả thiết ExtiRR I M,  là Lasker yếu với mọi i, nên từ dãy khớp dài ở trên cho

ta ExtRiR I,I J,  M là môđun Lasker yếu. Mặt khác từ 1.3.6 ta lại có

 

 ,   , 

R I J

SuppMW I J nên I J,  M là  I J, cofinite yếu. Vì vậy

   

0

, ,

I J I J

H M   M cũng là môđun  I J, cofinite yếu. Vậy mệnh đề đúng với s 0.

Khi s 0, với E M  là bao nội xạ của M , khi đó ta có     1  , , i i R R Ext R I E M MExtR I M và    1  , , i i I J I J H E M MHM , với mọi i0. Vì ,   i I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi is nên    

1 1

, ,

i i

I J I J

HMHM cũng là  I J, cofinite yếu với mọi i s 1.

Nên ,    

i I J

H E M M là  I J, cofinite yếu với mọi i s 1.

ExtRiR I M,  là Lasker yếu với mọi i nên ExtRiR I E M,   M là Lasker yếu với mọi i0. Theo giả thiết qui nạp, 1   

,

s I J

HE M M là  I J, cofinite yếu, vì vậy ,  

s I J

H M là  I J, cofinite yếu. Kết hợp Bổ đề 2.1.2.b và Định lý 2.4.1 ta được kết quả sau.

Bổ đề 2.4.2. Cho MRmôđun Lasker yếu và slà số nguyên không âm. Nếu i,  

I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi is, khi đó s,  

I J

H M cũng là  I J,  cofinite yếu.

Bổ đề 2.4.3. Cho I là iđêan chính của vành RM là môđun Lasker yếu. Khi đó ,  

i I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi i0. Chứng minh:

Từ [1, 4.11] ta có HI Ji,  M 0 với mọi i1. Hơn nữa, 0   ,

I J

H M

Rmôđun Lasker yếu, vì 0   ,

I J

H M là môđun con của M . Điều đó có nghĩa  

,

i I J

H M là I J, cofinite yếu với mọi i1. Từ Định lý 2.4.1 ta có điều cần

Chương 3. Phạm trù con Serre

Một phần của tài liệu Một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (Trang 37 - 40)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(48 trang)