= IA , IA = IC
ABC có AI =
2 1
BC =>ABC vuông tại A hay BAC =900
3. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO là tia phân giác BIA; I0’là
tia phân giác CIA . mà hai góc BIA và CIA là hai góc kề bù => I0 I0’=> 0I0’= 900
4. Theo trên ta có 0I0’ vuông tại I có IA là đờng cao (do AI là tiếp tuyến chung nên AI OO’) nên AI OO’)
=> IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm)
Bài 38 Cho hai đờng tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung
ngoài, B(O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh :
1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp . 2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
3. ME.MO = MF.MO’.
4. OO’ là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.
5. BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’.
Lời giải:
1. ( HS tự làm)
2. Theo tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau ta có MA = MB
=>MAB cân tại M. Lại có ME là tia phân giác => ME AB (1). Chứng minh tơng tự ta cũng có MF AC (2).
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có MO và MO’ là tia phân giác của hai góc kề bù BMA và CMA => MO MO’ (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác MEAF là hình chữ nhật
3. Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn => MA OO’=>
MAO vuông tại A có AE MO ( theo trên ME AB) MA2 = ME. MO (4) Tơng tự ta có tam giác vuông MAO’ có AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5) Từ (4) và (5) ME.MO = MF. MO’
4. Đờng tròn đờng kính BC có tâm là M vì theo trên MB = MC = MA, đờng tròn này đi qua Avà co MA là bán kính . Theo trên OO’ MA tại A OO’ là tiếp tuyến tại A của đờng tròn đờng kính BC.
5. (HD) Gọi I là trung điểm của OO’ ta có IM là đờng trung bình của hình thang BCO’O
=> IMBC tại M (*) .Ta cung chứng minh đợc OMO’ vuông nên M thuộc đờng tròn đờng kính OO’ => IM là bán kính đờng tròn đờng kính OO’ (**)
Từ (*) và (**) => BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’
Bài 39 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F
theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
1. Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).
2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?. 3. Chứng minh AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K).
5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.
Lời giải:
1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiếp xúc (O) OK = OC – KC => (K) tiếp xúc (O)
IK = IH + KH => (I) tiếp xúc (K)
2. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)
CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> AFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)
BAC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn hay EAF = 900 (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).
3. Theo giả thiết ADBC tại H nên AHB vuông tại H có HE AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*)
Tam giác AHC vuông tại H có HF AC (theo trên CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH2)