V y vi ậớ không chia ht cho ế3 thì A(n)= 32n +3n +1 13 i ớ n N
Ví d3 ụ: Tìm tc các st nhiên ốự để 2n-1
Gi iả
L y n chia cho 3 ta có n = 3k + ấ r (k N); r {0; 1; 2}V i r = 0 ớ n = 3k ta có V i r = 0 ớ n = 3k ta có
2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M 7v i r =1 ớ n = 3k + 1 ta có: v i r =1 ớ n = 3k + 1 ta có: 2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1 m 2à 3k - 1 7 2n - 1 chia cho 7 d 1ư v i r = 2 ớ n = 3k + 2 ta có : 2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3 m 2à 3k - 1 7 2n - 1 chia cho 7 d 3ư V y 2ậ 3k - 1 7 n = 3k (k N) Ví d ụ 4 : Tìm n N để: a) 3n – 1 chia hết cho 8 b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho 9 Gi iả
a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = 3.8M + 2
Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N) b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n
= (25 + 2) 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n
= 25. 32n + 2(9n + 16n)
Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k (k N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6
suy ra 2(9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25
Vậy :A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 khi n = 2k +1(k N)
c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9
Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k
= 5(53k – 23k) + 3. 23k = 5. 9M + 3. 8k
9
=5. 9M+9.N + 3(-1)k
Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9
Vậy : 5n – 2n chia hết cho 9 khi n = 3k (k N)
Bài 61 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : a. 9n + 1 không chia hết cho 100
b. n2 + n + 2 không chia hết cho 15 Bài làm :
a. ta có : 9n + 1 2(mod 4) 9n + 1 4 9n + 1 100 b.Ta chứng minh n2 + n + 2 không chia hết cho 3 với mọi n Cách 1 :
Với n = 3k thì n2 + n + 2 = 9k2 +3k +2 3
Với n = 3k + 1 thì n2 + n + 2 = (3k + 1)2 + 3k + 1 + 2 1(mod 3)
Với n = 3k + 2 thì n2 + n + 2 = (3k + 2)2 + 3k + 2 + 2 2(mod 3)
Vậy n2 + n + 2 không chia hết cho 3 với mọi n hay n2 + n + 2 không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n .
Cách 2 : ta có : n2 + n + 2 = (n2 – 1 )+n + 3 = (n – 1 )(n+ 1)+n+3
Nếu n 3 thì (n – 1 )(n+ 1) 3 do đó n2 + n + 2 3
n2 + n + 2 3
Vậy n2 + n + 2 3 với mọi số tự nhiên n hay n2 + n + 2 không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n .
Bài 62 : Chứng minh rằng :
a. n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi n N
b. n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 với mọi n N Bài làm :
a. Cách 1 :
Nếu n 3 thì n2 + n + 1 1(mod 3) n2 + n + 1 9
Nếu n = 3k + 1 thì n2 + n +1=(3k + 1)2 + 3k + 1 + 1
= 9(k2 +k) +3 9
Nếu n = 3k + 2 thì n2 + n + 2 = (3k + 2)2 +3k + 2 + 11(mod 3), suy ra n2 + n + 1 9
Vậy n2 + n + 1 9 với mọi n N Cách 2 :
Giả sử n2 + n + 19 , khi đó n2 + n + 13.Ta có :
n2 + n + 1= (n + 2 )(n – 1 ) + 3 3 (n + 2 )(n – 1 ) 3
Vì 3 là số nguyên tố nên n + 2 3 hoặc n – 1 3,
nhưng hiệu (n + 2) - (n – 1 ) = 33 nên n + 2 và n – 1 đồng thời chia hết cho 3.
Khi đó (n+ 2)(n – 1 ) 9 mà (n + 2 )(n – 1 ) + 3 9 3 9(vô lí )
Vậy n2 + n + 1 9 với mọi n N
Cách 3 : Giả sử n2 + n + 1 = 9k (k N) ,
suy ra phương trình n2 + n + 1 –9k = 0 có nghiệm nguyên .
ta có : = 1 – 4(1 – 9k ) = 36k – 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương (vô lý )
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên hay n2 + n + 2 9 với mọi n N . b. Giả sử n2 +11n + 39 49
n2 +11n + 39 = (n +9)(n+2) + 21 7 (n +9)(n+2) 7 n + 9 7 và n + 2 7 ( vì n + 9 – ( n + 2) = 7 7 )
(n +9)(n+2) 49
Mà theo giả sử n2 +11n + 39 = (n +9)(n+2) + 21 49 21 49 (vô lý )
Vậy n2 + n + 2 9 với mọi n N .
Lưu ý : Các cách khác được tiến hành tương tự như trên
2.Bài tập đề nghị :
Bài 63 : Cho n là một số tự nhiên , chứng minh : a. n2 + 11n +39 không chia hết cho 49
c. n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi n lẻ
Bài 64 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có : a.212n+1 + 172n + 1 + 17 không chia hết cho 19
b. 42n+1 + 3n+2 – 1 không chia hết cho 13