2 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không
2.2 Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm
(2.26)
với mọi x, y, x + y, x
Giả sử rằng (2.26) đúng với n = r với mọi x, y, x + y, x y 2 X. Khi đó kTmr+1 f (x + y) + Tmr+1 f (x y) 2Tmr+1 f (x) Tmr+1 f (y)
Tmr+1 f (
= kTmTmr f (x + y) + TmTmr f (x y) 2TmTmr f (x) TmTmr f (y) TmTmr f (
= k2Tmr f ((m + 1)(x + y)) + Tmr f (m(x + y)) + Tmr f ( m(x + y)) T r
+T r f ( m(x y)) T r f ((2m + 1)(x y))
2(2T r f ((m + 1)x) + T r f (mx) + T r f ( mx) T r f ((2m + 1)x)) 2T r f ((m + 1)y) T r f (my) T r f ( my) + T r f ((2m + 1)y) 2T r f ((m + 1)( y)) T r f (m( y)) T r f ( m( y))
+Tmr f ((2m + 1)( y))k
Y h k2
2(2Tm f ((m + 1)x)) 2Tm f ((m + 1)y) 2Tm f ((m + 1)( y))k +kTmr f (m(x + y)) + Tmr f (m(x y)) 2Tmr f (mx) Tmr f (my)
22 +kTmr f ( m(x + y)) + Tmr f ( m(x y)) 2Tmr f ( mx) Tmr f ( my) Tmr f ( m( y))k +kTmr f ((2m + 1)(x + y)) + Tmr f ((2m + 1)(x y)) i 2Tmr f ((2m + 1)x) Tmr f ((2m + 1)y) Tmr f ((2m + 1)( y))k kY2kY2r[2s12(m + 1) + s12(m) + s12( m) + s12(2m + 1)]r [2u((m + 1)x)v((m + 1)y) + u(mx)v(my) + u( mx)v( my) +u((2m + 1)x)v((2m + 1)y)]
kY2r+2[2s12(m + 1) + s12(m) + s12( m) + s12(2m + 1)]r [2s12(m + 1)u(x)v(y)
+s12(m)u(x)v(y) + s12( m)u(x)v(y) + s12(2m + 1)u(x)v(y)] kY2(r+1)[2s12(m + 1) + s12(m) + s12( m) + s12(2m + 1)]r+1u(x)v(y): Suy ra (2.26) đúng với n = r + 1. Điều này suy ra rằng (2.26) đúng với mọi n 2
N. Đặt d(x;y) = kx yk với mọi x, y 2 Y . Theo Định lí 1.2.1 khi đó (Y;d;kY ) là một không gian b -metric. Từ (2.26) và (1.3) trong Định lí 1.2.1, ta có
Dd(T n f (x + y) + T n f (x y);2T n f (x) + T n f (y) + T n f ( y))
m
dq (Tmn f (x + y) + Tmn f (x y);2Tmn f (x) + Tmn f (y) + Tmn f ( y)) = kTmn f (x + y) + Tmn f (x y) 2Tmn f (x) Tmn f (y) Tmn f ( y)kq kYq 2n[2s12(m + 1) + s12(m) + s12( m) + s12(2m + 1)]q n
(uq (x)vq (y)):
Vì Dd liên tục, cho n ! ¥ trong (2.27), sử dụng (2.24), (2.25) và định nghĩa của M0 với mọi x;y 2 X, ta suy ra
Dd(Fm(x + y) + Fm(x y);2Fm(x) + Fm(y) + F = lim Dd(T n f (x + y) + T n f (x n!¥ = 0: y)): (2.28)
Theo (2.16), lấy giới hạn hai vế của (2.23) khi m ! ¥, ta được
Suy ra m lim k
! ¥
Từ (2.29) với x, y 2 X, ta có
lim (2Fm(x) + Fm(y) + Fm( y)) = 2 f (x) + f (y) + f ( y): (2.30)
m!¥
Cho m ! ¥ trong (2.28), sử dụng (2.29), (2.30) và tính liên tục của Dd, ta có Dd( f (x + y) + f (x y);2 f (x) + f (y) + f ( y) = lim D m!¥ d = 0: Do đó f (x + y) + f (x y) = 2 f (x) + f (y) + f ( y): Vậy f là nghiệm của phương trình (2.18).
2.2 Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình
hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn
Trong mục này, chúng tôi áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn để suy ra một số kết quả đã có trong không gian định chuẩn và một số trường hợp đặc biệt. Trước hết, là những kết quả đã có trong tài liệu tham khảo [1]. Những kết quả này có được
24
Hệ quả 2.2.1 ([1], Định lí 2.1). Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian định chuẩn
(Z;k:k;kZ) trên
trường F sao cho x 2 X thì x 2 X và (Y;k:k;kY ) là một không gian Banach trên trường K.
2. Tồn tại n0 2 N sao cho nx 2 X với mọi x 2 X, n n0 và hàm số
h : X ! R+ thỏa mãn
M0 := fn 2 N;n n0 : 2s(n + 1) + s(n) + s( n) + s(2n + 1) < 1g
là một tập vô hạn, trong đó
s(n) := infft 2 R+ : h(nx) th(x) với mỗi x 2 Xg
và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n 2 N
3. Hàm f : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức
k f (x + y) + f (x
với mỗi x, y, x + y, x
Khi đó f thỏa mãn phương trình
f (x + y) + f (x y) = 2 f (x) + f (y) + f ( y)
với mọi x;y 2 X.
Hệ quả 2.2.2 ([1], Định lí 2.2). Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian định chuẩn
(Z;k:k;kZ) trên
trường F sao cho x 2 X thì x 2 X và (Y;k:k;kY ) là một không gian Banach trên trường K.
2. Tồn tại n0 2 N sao cho nx 2 X với mọi x 2 X, n n0 và hàm số
u, v : X ! R+ thỏa mãn
M0 := fn 2 N, n n0 : 2s12(n + 1) + s12(n) + s12( n) +s12(2n + 1) < 1g
là một tập vô hạn, trong đó s1(n)s2(n):= s12(n),
s1(n) := infft 2 R+ : u(nx) tu(x) với mỗi x 2 Xg: s2(n) := infft 2 R+ : v(nx) tv(x) với mỗi x 2 Xg:
và s1(n), s2(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n 2 N (W ) lim s ( n)s (
(W ) lim s
3. Hàm f : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức
k f (x + y) + f (x
với mọi x, y 2 X.
Tiếp theo là một số trường hợp đặc biệt của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn.
Hệ quả 2.2.3. Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn
(Z;k:k;kZ) trên
trường F sao cho x 2 X thì x 2 X và (Y;k:k;kY ) là một không gian tựa Banach trên trường K, c 0 và p < 0.
26
2. Tồn tại n0 2 N với nx 2 X;x 2 X;n n0 và hàm số f : X ! Y thỏa mãn bất phương trình
k f (x + y) + f (x y) 2 f (x) f (y) f ( y)k c(kxkp + kykp)
với mỗi x, y, x + y, x y 2 X. Khi đó f thỏa mãn phương trình
f (x + y) + f (x y) = 2 f (x) + f (y) + f ( y)
với mỗi x, y 2 X.
Chứng minh. Định nghĩa h: X! R+được xác định bởi h(x) :=ckxkpvới c2R+, x 2 X.
Với mọi n 2 N, c > 0, khi đó
s(n) = infft 2 R+ : h(nx)th(x);x 2 Xg = jnjp: Tương tự, ta có Suy ra Ta suy ra k2 Y
Khi đó, tất cả các điều kiện trong Định lí 2.1.1 là đúng. Do đó, f thỏa mãn phương trình
Hệ quả 2.2.4. Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn
(Z;k:k;kZ) trên
trường F sao cho x 2 X thì x 2 X và (Y;k:k;kY ) là một không gian tựa Banach trên trường K, c 0 và p, q 2 R với p + q < 0.
2. Tồn tại n0 2 N với nx 2 X, x 2 X, n n0 và hàm số f : X ! Y thỏa mãn bất phương trình
k f (x + y) + f (x y) 2 f (x) f (y) f ( y)k c(kxkp + kykp)
với mỗi x, y, x + y, x y 2 X. Khi đó f thỏa mãn phương trình
f (x + y) + f (x y) = 2 f (x) + f (y) + f ( y)
với mỗi x, y 2 X.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạu, v : X ! R+ với u(x) :=skxkp và v(x) := rkxkq, trong đó s;r 2 R+, sr = c, p;q 2 R, p + q < 0, với mọi x 2 X.
Theo định nghĩa s1(n);s2(n) trong Định lí 2.1.2 và c > 0, ta có s1(n) = infft 2 R+ : u(nx) tu(x);x 2 Xg = jnjp Tương tự, ta có
s1( n) = j njp = jnjp
s2(n) := infft 2 R+ : v(nx) t(vx);x 2 Xg = jnjq s2( n) = j njq = jnjq
Với p;q 2 R, p + q < 0, do đó p < 0 hoặc q < 0. Khi đó lim s1(n) = 0 hoặc
n!¥
lim s2(n) = 0.
28
Với c = 0 thì r = 0 hoặc s = 0. Từ định nghĩa của s1 và s2, ta có lim s1( n)s2( n) = 0
n!¥
Suy ra
kY2(2s12(n + 1) + s12(n) + s12( n) + s12(2n + 1)) < 1:
Khi đó các điều kiện trong Định lí 2.1.2 là đúng. Do đó, f thỏa mãn phương trình
KẾT LUẬN
Đề tài đã đạt được các kết quả sau.
-Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựa chuẩn và tựa Banach.
- Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn: Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.2. Áp dụng những kết quả này chúng tôi thu được các trường hợp đặc biệt: Hệ quả 2.2.1, Hệ quả 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, Hệ quả 2.2.4.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] L. Aiemsomboon and W. Sintunavarat. Two new generalised hyperstability results for the Drygas functional equation. Bull. Aust. Math. Soc., 95(2):269– 280, 2017.
[2] M. Boriceanu, M. Bota, and A. Petrus¸el. Multivalued fractals in b-metric spaces. Cent. Eur. J. Math., 8(2):367–377, 2010.
[3] D. G. Bourgin. Approximately isometric and multiplicative
transformations on continuous function rings. Duke Math. J., 16(2):385–
397, 1949.
[4] S. Czerwik. Nonlinear set-valued contraction mappings in b- metric spaces. Atti Sem. Math. Fis. Univ. Modena, 46:263–276, 1998.
[5] H. Drygas. Quasi-inner products and their applications. In
Advances in Multivariate Statistical Analysis, pages 13–30. Springer, 1987.
[6] N. V. Dung and V. T. L. Hang. The generalized hyperstability of general linear equations in quasi-Banach spaces. J. Math. Anal. Appl., 462(1):131– 147, 2018.
[7] B. R. Ebanks, P. L. Kannappan, and P. K. Sahoo. A common generaliza- tion of functional equations characterizing normed and quasi-inner-productspaces. Canad.Math. Bull., 35(3):321–327, 1992.
31
[8] N. Kalton. Quasi-Banach spaces. In W. B. Johnson and J. Lindenstrauss, editors, Handbook of the geometry of Banach spaces, volume 2, pages 1099– 1130. Elsevier, 2003.
[9] G. Maksa and Z. Páles. Hyperstability of a class of linear
functional equa- tions. Acta Math. Acad. Paedagog. Nyházi, 17(2):107–
112, 2001.
[10] L. Maligranda. Tosio Aoki (1910-1989). In International symposium on Ba-nach and function spaces: 14/09/2006- 17/09/2006, pages 1–23, Yokohama, 2008. Yokohama Publishers. [11] M. Paluszynski´ and K. Stempak. On quasi-metric and metric spaces. Proc. Amer. Math. Soc., 137(12):4307–4312, 2009.
[12] M. Piszczek and J. Szczawinska´. Hyperstability of the
PHỤ LỤC
Danh mục bài viết công bố các kết quả của đề tài.
1. Phạm Thị Mai Thắm, Nguyễn Văn Dũng và Võ Thị Lệ Hằng (2019),
Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn, Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Trường Đại học Đồng Tháp năm học 2018-1019 (bài gửi tham gia).