2 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không
2.2 Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm
hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn
Trong mục này, chúng tôi áp dụng tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn để suy ra một số kết quả đã có trong không gian định chuẩn và một số trường hợp đặc biệt. Trước hết, là những kết quả đã có trong tài liệu tham khảo [1]. Những kết quả này có được bằng cách thay κZ =κY =1 trong Định lí 2.1.1 và Định lí 2.1.2.
Hệ quả 2.2.1 ([1], Định lí 2.1). Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian định chuẩn (Z,k.k,κZ) trên trường Fsao chox∈X thì−x∈X và(Y,k.k,κY)là một không gian Banach trên trườngK.
2. Tồn tại n0 ∈Nsao cho nx ∈X với mọi x∈X, n≥n0 và hàm sốh:X →R+
thỏa mãn
M0:={n∈ N,n≥n0: 2s(n+1) +s(n) +s(−n) +s(2n+1) <1}
là một tập vô hạn, trong đó
s(n) :=inf{t ∈R+ :h(nx)≤th(x) với mỗix∈X}
và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n∈ N
lim n→∞s(n) =0 và lim n→∞s(−n) =0. (2.31) 3. Hàm f :X →Y thỏa mãn bất đẳng thức kf(x+y) + f(x−y)−2f(x)− f(y)− f(−y)k ≤ h(x) +h(y) (2.32) với mỗix, y,x+y,x−y∈ X.
Khi đó f thỏa mãn phương trình
f(x+y) + f(x−y) =2f(x) + f(y) + f(−y) (2.33)
với mọi x,y∈X.
Hệ quả 2.2.2 ([1], Định lí 2.2). Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian định chuẩn (Z,k.k,κZ) trên trường Fsao chox∈X thì−x∈X và(Y,k.k,κY)là một không gian Banach trên trườngK.
2. Tồn tạin0∈Nsao chonx∈X với mọix∈X,n≥n0 và hàm sốu, v:X →R+
thỏa mãn
M0 :={n∈N, n≥n0: 2s12(n+1) +s12(n) +s12(−n) +s12(2n+1)<1}
là một tập vô hạn, trong đó s1(n)s2(n):=s12(n),
s1(n):=inf{t ∈ R+ :u(nx)≤tu(x) với mỗix∈ X}.
s2(n):=inf{t ∈R+ :v(nx)≤tv(x) với mỗi x∈X}.
và s1(n), s2(n)thỏa mãn các điều kiện sau đây với n∈N (W1) lim n→∞s1(±n)s2(±n) =0; (W2) lim n→∞s1(n) =0 hoặc lim n→∞s2(n) =0. (2.34) 3. Hàm f :X →Y thỏa mãn bất đẳng thức kf(x+y) + f(x−y)−2f(x)− f(y)− f(−y)k ≤ u(x)v(y) (2.35) với mỗix, y,x+y,x−y∈ X.
Khi đó f thỏa mãn phương trình
f(x+y) + f(x−y) =2f(x) + f(y) + f(−y) (2.36)
với mọi x, y∈X.
Tiếp theo là một số trường hợp đặc biệt của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong không gian tựa chuẩn.
Hệ quả 2.2.3. Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z,k.k,κZ) trên trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y,k.k,κY) là một không gian tựa Banach trên trườngK, c≥0và p<0.
2. Tồn tại n0 ∈ Nvới nx ∈X,x∈ X,n≥n0 và hàm số f :X →Y thỏa mãn bất phương trình
kf(x+y) + f(x−y)−2f(x)− f(y)− f(−y)k ≤c(kxkp+kykp)
với mỗix, y,x+y,x−y∈ X.
Khi đó f thỏa mãn phương trình
f(x+y) + f(x−y) =2f(x) + f(y) + f(−y)
với mỗi x, y∈X.
Chứng minh. Định nghĩah:X →R+ được xác định bởih(x):=ckxkpvớic∈R+,
x∈X.
Với mọin∈ N, c>0, khi đó
s(n) =inf{t ∈R+ :h(nx)≤th(x),x∈X}=|n|p. Tương tự, ta có s(−n) =| −n|p =|n|p Suy ra lim n→∞s(n) = lim n→∞s(−n) = lim n→∞|n|p=0. Ta suy ra κY2(2s(n+1) +s(n) +s(−n) +s(2n+1))<1.
Khi đó, tất cả các điều kiện trong Định lí 2.1.1 là đúng. Do đó, f thỏa mãn phương trình
Hệ quả 2.2.4. Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z,k.k,κZ) trên trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y,k.k,κY) là một không gian tựa Banach trên trườngK, c≥0và p, q∈Rvới p+q<0.
2. Tồn tại n0∈ Nvớinx ∈X, x∈X, n≥n0 và hàm số f :X →Y thỏa mãn bất phương trình
kf(x+y) + f(x−y)−2f(x)− f(y)− f(−y)k ≤c(kxkp+kykp)
với mỗix, y,x+y,x−y∈ X.
Khi đó f thỏa mãn phương trình
f(x+y) + f(x−y) =2f(x) + f(y) + f(−y)
với mỗi x, y∈X.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạu,v:X →R+vớiu(x):=skxkp vàv(x):=rkxkq, trong đó s,r ∈R+, sr=c, p,q∈R, p+q<0, với mọix∈X.
Theo định nghĩas1(n),s2(n) trong Định lí 2.1.2 vàc>0, ta có
s1(n) =inf{t ∈R+ :u(nx) ≤tu(x),x∈X}=|n|p
Tương tự, ta có
s1(−n) =| −n|p=|n|p
s2(n):=inf{t ∈R+ :v(nx)≤t(vx),x∈X}=|n|q s2(−n) =| −n|q=|n|q
Với p,q∈ R, p+q <0, do đó p< 0 hoặc q< 0. Khi đó lim
n→∞s1(n) =0 hoặc
lim
Vớic=0thìr =0hoặcs=0. Từ định nghĩa của s1 và s2, ta có
lim
n→∞s1(±n)s2(±n) =0
Suy ra
κY2(2s12(n+1) +s12(n) +s12(−n) +s12(2n+1))<1.
Khi đó các điều kiện trong Định lí 2.1.2 là đúng. Do đó, f thỏa mãn phương trình
KẾT LUẬN
Đề tài đã đạt được các kết quả sau.
- Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựa chuẩn và tựa Banach.
- Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn: Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.2. Áp dụng những kết quả này chúng tôi thu được các trường hợp đặc biệt: Hệ quả 2.2.1, Hệ quả 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, Hệ quả 2.2.4.
[1] L. Aiemsomboon and W. Sintunavarat. Two new generalised hyperstability results for the Drygas functional equation. Bull. Aust. Math. Soc., 95(2):269–
280, 2017.
[2] M. Boriceanu, M. Bota, and A. Petrus¸el. Multivalued fractals in b-metric spaces. Cent. Eur. J. Math., 8(2):367–377, 2010.
[3] D. G. Bourgin. Approximately isometric and multiplicative transformations on continuous function rings. Duke Math. J., 16(2):385–397, 1949.
[4] S. Czerwik. Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces.
Atti Sem. Math. Fis. Univ. Modena, 46:263–276, 1998.
[5] H. Drygas. Quasi-inner products and their applications. In Advances in Multivariate Statistical Analysis, pages 13–30. Springer, 1987.
[6] N. V. Dung and V. T. L. Hang. The generalized hyperstability of general linear equations in quasi-Banach spaces. J. Math. Anal. Appl., 462(1):131–
147, 2018.
[7] B. R. Ebanks, P. L. Kannappan, and P. K. Sahoo. A common generaliza- tion of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces. Canad. Math. Bull., 35(3):321–327, 1992.
[8] N. Kalton. Quasi-Banach spaces. In W. B. Johnson and J. Lindenstrauss, editors,Handbook of the geometry of Banach spaces, volume 2, pages 1099–
1130. Elsevier, 2003.
[9] G. Maksa and Z. Páles. Hyperstability of a class of linear functional equa- tions. Acta Math. Acad. Paedagog. Nyházi, 17(2):107–112, 2001.
[10] L. Maligranda. Tosio Aoki (1910-1989). In International symposium on Ba- nach and function spaces: 14/09/2006-17/09/2006, pages 1–23, Yokohama,
2008. Yokohama Publishers.
[11] M. Paluszy´nski and K. Stempak. On quasi-metric and metric spaces. Proc. Amer. Math. Soc., 137(12):4307–4312, 2009.
[12] M. Piszczek and J. Szczawi´nska. Hyperstability of the Drygas functional equation. J. Funct. Spaces Appl., 2013:1–5, 2013.
PHỤ LỤC
Danh mục bài viết công bố các kết quả của đề tài.
1. Phạm Thị Mai Thắm, Nguyễn Văn Dũng và Võ Thị Lệ Hằng (2019), Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas trong không gian tựa chuẩn, Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Trường Đại học Đồng