Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán

3. Phương pháp giấu tin Cheng-Pan-Tseng

3.3 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán

Theo cách xây dựng thuật toán ở mục 2 thì việc chứng minh tính đúng đắn của thuật toán CPT thực chất chỉ cần chứng minh bước 4 luôn thành công, tức là  số tự

nhiên h sao cho ZhdØ.

Bổ đề 1: Nếu Zα =Ø (với α= 1..2r-1, α2r-1) thì Z2r-αØ

Chứng minh:

Vì α= 1..2r-1 nên theo tính chất của ma trận W sẽ (j,k) sao cho [W]j,k=α. Do Zα =Ø nên [FiK]j,k=1 (*)

Từ (*) và (**) suy ra (j,k)  Zβ, do đó ZβØ nên Z2r

-αØ 

Bổ đề 2: Tập Z2r-1Ø

Chứng minh:

Giả sử Z2r-1Ø, theo bổđề 1 suy ra Z2r-2r-1Ø, do đó Z2r-1Ø 

Định lý 1: Với a, b là các số tự nhiên, ước chung lớn nhất (a,b)=u thì h1, h2 nguyên sao cho h1a+h2b=u.

Chứng minh:

Không giảm tổng quát, giả sử a>b, ta có

a= bq1+r1 0<r1<b b= r1q2+r2 0<r2<r1 r1= r2q3+r3 0<r3<r2 … rn-2= rn-1qn+rn 0<rn-2<rn-1 rn-1= rnqn+1

theo định lý Ơclit thì (a,b)=rn.

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp rằng với mỗi i thì riđều là tổ hợp tuyến tính của a và b. Thật vậy với i=1 ta có r1= a-bq1, với i=2 ta có:

r2= b-r1q2= b-(a-bq1)q2= -aq2+b(1+q1q2)

Với i>2 thì ri là tổ hợp tuyến tính của ri-1 và ri-2. Theo giả thiết qui nạp thì ri-1 và ri-2 là tổ hợp tuyến tính của a và b nên ri cũng là tổ hợp tuyến tính của a và b. Theo nguyên lý qui nạp thì ri là tổ hợp tuyến tính của a và b với mọi i=1..n. Bằng cách truy hồi như trên ta tìm được h1 và h2 sao cho rn=(a,b)=h1a+h2b. 

Chứng minh:

Nhận thấy (d,2r)= 2t , 0<t<r.

Theo định lý 1 suy ra k1, k2 nguyên sao cho k1d+k22r = 2t

Nhân cả 2 vế với 2(r-1)-t ta có: k12(r-1)-td+k22(r-1)-t2r=2t2(r-1)-t = 2r-1

Đặt h1= k12(r-1)-t , h2= k22(r-1)-t suy ra h1d+h22r= 2r-1 

Chứng minh bước 4 của thuật toán CPT luôn thành công:

Với d {1,2,…,2r-1} thì theo bổđề 3: h1, h2 nguyên sao cho

h1d + h22r = 2r-1 suy ra h1d = 2r-1 (mod 2r) .

Đặt h=h1 suy ra hd=2r-1 (mod 2r) do đó Zhd = Z2r-1.

Theo bổđề 2 thì Z2r-1Ø do đó ZhdØ. 

3.4 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán

Bổ đề 4:Với d {1,2,…,2r-1} thì h {1,2,…,2r-1} sao cho hd = 2r-1 (mod 2r)

Chứng minh: Trường hợp 1: Nếu d lẻ thì đặt d= 2t+1. Nhân cả 2 vế của biểu thức trên với 2r-1 ta có: 2r-1d = 2r-1.2t+2r-1  2r-1d = t.2r+2r-1 = 2r-1 (mod 2r) Chọn h=2r-1 ta có hd= 2r-1 Trường hợp 2: Nếu d chẵn - Trường hợp 2.1: Nếu d chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 thì d= 2u (với u≤r-1) o Nếu u=r-1 chọn h=1 sẽ có hd=1.2r-1= 2r-1

o Nếu u<r-1 chọn h=2(r-1)-u suy ra hd= 2(r-1)-u.2u = 2r-1

- Trường hợp 2.2. Nếu d chứa cả các thừa số khác 2: d= (2t+1)2v (với 1≤v<r-1)

Chứng minh bước 4 của thuật toán CPT luôn thành công:

Theo bổđề 4 ta có d {1,2,…,2r-1} thì h {1,2,…,2r-1} sao cho hd = 2r-1 (mod 2r).

Khi đó Zhd =Z2r-1. Theo bổđề 2 thì Z2r-1Ø do đó ZhdØ 