2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω)
Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn
Lu≡aij(x)uxixj +Bjuxj+B(x)u=f(x), (2.95) ở đây u, f là các hàm vecto N phần tử;
aij(x) là các hàm vô hướng aij(x)uxixj =aij(x).E.uxixj; Bj(x), B(x) là các ma trận vuông cấp N.
Ta cũng giả thiết rằng các hệ số aij(x) của hệ (2.95) cũng thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) λ n X i,j=1 ε2i ≤aij(x)εiεj ≤µ n X i,j=1 ;λ, µ=const >0,
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
với mọi x∈Ω;εi ∈Rn.
Đối với hệ (2.95) ta giả thiết thêm điều kiện
∂aij ∂xi, aij, b km i , bkm l−2,β,Ω ≤µ. (2.96)
Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Holder Cl,α(Ω) với
l ≥ 2 của hệ (2.95), được chứng minh tương tự như trong phần một phương trình.
Ta đưa ra đánh giá tiên nghiệm cho |u|l,β,Ω của hệ (2.95).
Định lý 2.6. Giả sử hệ (2.95) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2). Khi đó, với
u∈Cl,α( ¯Ω),1≥2 ta có đánh giá
|u|l,β,Ω ≤c(l)h|fi|l−1,β,Ω+|f|l−2,β,Ω+|u|l,β,S + max
Ω |u|i, l ≥2, (2.97) trong đó, c(l) được xác định bởi l và λ trong (2.2) và các hệ số của hệ (2.95), giá trị của µ trong bất đẳng thức (2.96) và cũng xác định bởi biên S trong không gian Cl,β.
Chứng minh. Do điều kiện (2.96), ta viết hệ (2.95) dưới dạng bảo toàn
∂ ∂xi(aiju k xj) = fk−B(x)uk −Bi(x)ukxi+ ∂ ∂xiaij(x)u k, hay ∂ ∂xi (aijukx j) = ˜fk, k = 1, . . . , N, (2.98) Với mỗi uk ∈Cl,α(Ω) của phương trình (2.98) ta có
|uk|l,β,Ω≤c(l)h|f˜k|l−2,β,Ω+ max
Ω |uk|+|uk|l,β,Si. (2.99)
Nếu ta mở rộng biểu thức|f˜k|l−2,β,Ω trong bất đẳng thức này bằng việc áp dụng các tính chất của chuẩn Cl,β
|v+w|l,β,Ω ≤ |v|l,β,Ω+|w|l,β,Ω, |vw|l,β,Ω ≤ |v|l,β,Ω|w|l,β,Ω,
(2.100) và kết hợp với giả thiết (2.96) ta thu được
|uk|l,β,Ω≤ ≤c0(l) " N X i=1 |ui|l−1,β,Ω+|f|l−2,β,Ω+ N X i=1 |ui|l,β,S + max Ω |uk| # . (2.101)
Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
Mặt khác, với u∈Cl,β ta có bất đẳng thức
|u|l−1,β,Ω ≤ε|u|l,β,Ω+c(ε, l) max
Ω |u|, (2.102)
với ε là số dương bất kì và c(ε, l)→ ∞ khi ε→ ∞, u∈Cl,β(Ω).
Thế (2.102) vào (2.101) ta được |uk|l,β,Ω≤c0(l)h N P i=1 ε|ui|l−1,β,Ω+c(ε, l) max Ω |ui|+ +|f|l−2,β,Ω+ N X i=1 |ui|l,β,S+ max Ω |uk|i.
Lấy tổng các kết quả trên với k = 1, . . . , N và chọn ε đủ nhỏ, ta thu được
|u|l,β,Ω≤c0(l)
h
|f|l−2,β,Ω+|u|l,β,S+ max Ω |u|i.
2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian
Cl,α(Ω)
Trong phần này, ta vẫn giả sử rằng các hệ số của hệ (2.95) thỏa mãn bất đẳng thức (2.96)
Định lý 2.7. Giả sử biên S ∈Cl,β, l≥2,và thỏa mãn các điều kiện (2.2),(2.96). Khi đó ta có hai khả năng sau
i) Hoặc hệ phương trình (2.95) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u6= 0.
ii) Hoặc hệ phương trình (2.95)với f ≡0 và điều kiện biên ϕ≡0chỉ có nghiệm duy nhất nghiệm tầm thường u≡0. Khi đó với mọi
f ∈Cl−2,β(Ω), ϕ∈Cl,β(S),
tồn tại duy nhất nghiệm u(x)∈Cl,α(Ω) của bài toán (2.1), (2.3).
Định lý 2.8. Tồn tại một số đếm được các giá trị λ=λ1, λ2, . . . trên mặt phẳng phức λ, sao cho bài toán
aijuxixj+Biuxj+Bu=λu, u|S = 0
có nghiệm khác không trong Cl,β(Ω). Tập hợp các giá trị {λk} tạo thành phổ của bài toán (2.1), (2.3). Mỗi λk có bội hữu hạn và |λk| → ∞ khi k → ∞.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây
- Các không gian Sobolev, Holder, định lý nhúng, định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach và không gian Hilbert.
- Khái niệm nghiệm suy rộng đối với hệ phương trình elliptic cấp hai dạng bảo toàn, tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet và các tính chất định tính về độ trơn của nó.
- Đối với lớp hệ phương trình không bảo toàn, trình bày lớp nghiệm cổ điển trong không gian Holder, các đánh giá tiên nghiệm, phát biểu và chứng minh định lý về tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian Holder.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] O. Ladyzhenskaya, N. Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California.
[2] D.Gillarg, N. Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer .