bước sóng gây ra bởi hiệu ứng Đôple đối với vạch D2 của natri (5890 A0 ).
Bài giải : Theo công thức Đôple ta có 0
0 1 1 v c c c v c hay v c v c λ λ λ λ + − = = + − Thay vào đó 5890 1 0, 005 5920 A0 1 0, 005 λ= + = − Ta có 0 5920 5890 30 A λ Δ = − =
Ánh sáng quan sát được bị dịch chuyển về phía bước sóng dài (dịch chuyển đỏ)
Ví dụ 10: Khi quan sát ánh sáng phát ra từ một ngôi sao xa, người ta phát hiện rằng dịch chuyển Đôple đối với vạch D2 của natri (5890 A0 ) là 100A0 . Tính vận tốc chuyển động ra xa Trái đất của ngôi sao đó.
Bài giải: 0 1 5990 5890 1 1 1 v v c hay c v v c c λ λ= + = + − − Tính ra ta được v= 0,017c
Ví dụ 11: Một tên lửa rời bệ phóng để thực hiện một chuyến bay với vận tốc 0,6c. Một nhà du hành trên tên lửa phát ra một chùm sáng có bước sóng 5000A0 về bệ phóng.
1) Tìm tần số ánh sáng quan sát được ở bệ phóng.
2) Tìm tần số ánh sáng quan sát được bởi một nhà du hành của tên lửa thứ hai rời bệ phóng với vận tốc 0,8c ngược hướng với tên lửa thứ nhất.
Bài giải: 1) 0 1 3.108 7 / 1 0,6 5.10 1 0,6 1 v m s c f f v m c − − − = = + + èf = 3.1014 Hz 2)Theo công thức biến đổi Lorenxơ vận tốc tương đối của hai tên lửa
' 2 2 0,6 ( 0,8 ) 0,946 ( 0,8 )(0,6 ) 1 1 x x x u v c c u c v c c u c c − − − = = − = − − Tần số phát hiện bởi nhà du hành vũ trụ của tên lửa thứ hai là: ' 14 0 ' 1 10 1 x x u c f f Hz u c − = = +
Trang 35
PHẦN III: BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI TẬP CƠ HỌC TƯƠNG ĐỐI
Bài 1. Hỏi một tên lửa phải tăng tốc đến vận tốc bao nhiêu để cho chiều dài của nó chỉ còn 99% chiều dài riêng (đo được trong hệ qui chiếu gắn với tên lửa).
Bài 2. Hãy xác định độ co lại của đường kính Trái đất trong mặt phẳng hoàng đạo đối với quan sát viên đứng yên đối với Mặt trời. Cho biết vận tốc chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời bằng 30km/s và đường kính của Trái Đất xấp xỉ bằng 12000km.
Bài 3. Thời gian sống trung bình của một hạt mêzôn chuyển động với vận tốc với vận tốc 0,95c là 6.10-6s. Hãy tính thời gian sống trung bình của hạt đó trong hệ qui chiếu gắn với nó.
Bài 4. Một máy bay bay với vận tốc 600m/s so với mặt đất. Hỏi sau bao lâu thì đồng hồ trên máy bay bị chậm lại 2 s so với đồng hồ trên mặt đất.
Bài 5. Thời gian sống trung bình của một hạt mêzôn được sinh ra ở một tầng cao của khí quyển cách mặt đất 6000m là 2.10-6s đối với hạt mêzôn . Khi sinh ra hạt mêzôn có vận tốc 0.998c, chuyển động đi thẳng xuống mặt đất.
Hỏi đối với quan sát viên đứng yên trên mặt đất, khoảng cách trung bình mà hạt đó có thể đi được trước khi biến mất (tiêu hủy) bằng bao nhiêu? (tính theo cơ học cổ điển và tính theothuyết tương đối)
Bài 6. Đối với quan sát viên đứng yên so với hạt mêzôn xét ở bài 1.5, khoảng cách từ hạt đó đến mặt đất khi hạt đó bị phân rã là bao nhiêu? so sánh khoảng cách đó với khoảng cách từ hạt đến mặt đất khi nó bắt đầu sinh ra.
Bài 7. Một phi công của một con tàu vũ trụ, bay với vận tốc 0,6c đối với Trái Đất, đi tới gần Trái Đất và chỉnh đồng hồ của mình để cho vào lúc giữa trưa, thời gian đồng hồ anh ta và của Trái Đất trùng nhau. Sau đó anh ta đi lên một Trạm không gian đứng yên đối với Trái Đất. Vào lúc 12h30phút (theo đồng hồ của anh ta ) tàu vũ trụđi đến gần Trạm đó.
1) Khi tàu vũ trụ tiếp cận với trạm thì đồng hồở Trạm chỉ bao nhiêu? 2) Xác định khoảng cách từ Trái Đất đến Trạm vũ trụ:
a. Do phi công vũ trụđo.
b. Do quan sát viên đứng trên mặt đất đo được.
3) Khi tàu vũ trụ tiếp cận với Trạm vũ trụ, phi công liên lạc với Trái Đất bằng sóng điện từ. Hỏi khi nào Trái Đất nhận được tín hiệu liên lạc:
a. Theo đồng hồở mặt đất. µ
Trang 36 b. Theo đồng hồ của phi công vũ trụ.
Bài 8. Một máy bay có chiều dài riêng l0 = 40m chuyển động đều với vận tốc v = 630m/s. 1) Đối với quan sát viên trên mặt đất, chiều dài máy bay ngắn đi bao nhiêu?
2) Máy bay phải bay bao lâu đểđồng hồ trên máy bay chậm 1 s so với đồng hồ trên mặt đất.
Bài 9. Một hình vuông có diện tích S = 100cm2 trong hệ qui chiếu 0 gắn với nó. Tìm dạng và diện tích của hình trong hệ quy chiếu 0/ chuyển động với vận tốc v = 0,8c.
1) Song song với một cạnh của hình vuông. 2) song song với một đường chéo.
Bài 10. Một thanh AB chuyển động từ trái sáng phải với vận tốc v = 0,8c song song với một trục x/0x đang đứng yên. Lúc t = 0, khi đầu trái A của thanh đi qua một máy ảnh đặt ở gốc 0 của t rục th́ máy ảnh hoạt đ ộng. Rửa ảnh,
người ta thấy đầu A ở ngang vạch 0 của trục còn đầu B ở vạch 0,9m (hình vẽ).
1) Tính chiều dài l (đối với 0) và chiều dài riêng l0 của thanh AB. Tại sao l0 = 0,9m? 2) Muốn máy ảnh ghi được chiều dài l thì phải chụp ở thời điểm nào.
3) A/B/ là một thanh khác cũng chuyển động với vận tốc v = 0,8c. Người ta chụp ảnh lúc đầu B/ đi qua trước máy và thấy trong ảnh B/ trùng với 0, A/ trùng với vạch – 0,9m. Tìm chiều dài l của thanh trong hệ quy chiếu gắn với 0.
Bài 11. Một tên lửa đi tới sao S cách Trái Đất 4,4 năm ánh sáng rồi quay về Trái Đất. Cách thức đi: đi từ Trái Đất với gia tốc 1m/s2, tới trung điểm của khoảng cách từ Trái Đất đến S thì tên lửa giảm tốc với gia tốc – 1m/s2 để tới S. Tên lửa cũng tăng tốc rồi giảm tốc lúc đi về. Bỏ qua thời gian dừng ở S, tính thời gian khứ hồi của tên lửa:
1) Đối với đồng hồ trên mặt đất. 2) Đối với đồng hồ trên tên lửa.
Lưu ý:Tính gần đúng, coi như tên lửa có một vận tốc trung bình thích hợp.
Bài 12. Một quan sát viên A ngồi trong một con tàu vũ trụ, phóng ra từ một Trạm vũ trụ, chuyển động với vận tốc 0,8c đối với Trạm vũ trụ, đi theo hướng tới sao của chòm sao Nhân Mã cách đó 4 năm ánh sáng. Khi tới sao anh ta lập tức quay trở lại ngay Trạm vũ trụ.
1) Hãy so sánh tuổi của của anh ta với tuổi của người anh em sinh đôi B làm việc tại µ
α α
Trang 37 trạm vũ trụ.
2) Giả sử trong quá trình chuyển động của A, cứ một năm (theo thời gian của B), B gởi một tín hiệu ánh sáng tới A. Hãy tính số tín hiệu ánh sáng mà A nhận được trong mỗi giai đoạn của cuộc hành trình của mình.
3) Bây giờ, giả sử rằng, cứ mỗi năm (theo thời gian của A) chính A lại gởi một tín hiệu ánh sáng tới B. Ta xét tien hiệu ánh sáng do A phát ra khi A vừa tới sao . Hỏi đối với B anh ta nhận được tín hiệu đó lúc nào.
Bài 13. Hai tên lửa A và B có chiều dài (đo khi chúng nằm yên) lần lượt là 90m và 200m. Hai tên lửa đó bay theo hai chiều ngược nhau. Phi công của tên lửa A thấy rằng, kể từ lúc mũi tên lửa B ở trước mặt mình thì phải mất 5.10-7s tên lửa B mới đi hết chiều dài riêng của mình.
1) Tìm vận tốc tương đối của hai tên lửa. ĐS: 2,4.108 m/s
2) Đối với phi công của tên lửa B thì khoảng thời gian cần thiết để mỗi tên lửa của mình đi hết chiều dài của A sẽ là bao nhiêu? ĐS: 2,25.10-7m/s.
Bài 14. Một nhà thiên văn học ở O, lúc t = 0 nhìn thấy một thiên thể rời điểm A, và lúc t = 1s nó đến điểm B cách A 400.000km. Hãy giải thích vận tốc siêu ánh sáng này. Biết rằng khoảng cách từ O đến A là 600.000km và từ O đến B là 300.000km (OAB tạo thành một tam gíác thường).
Bài 15. Một quan sát viên O thấy tên lửa A bay sang phải với vận tốc 0,8c, và tên lửa B bay sang trái với vận tốc 0,6c.
a) Đối với O hai tên lửa đi ra xa nhau với vận tốc bằng bao nhiêu? b) Đối với tên lửa B, vận tốc của tên lửa A là bao nhiêu?
c) Xét trường hợp hai tên lửa có vận tốc như trên bay lại gần nhau. Tính vận tốc lại gần nhau của A và B đối với O và vận tốc của A đối với B.
d) Nếu A và B là hai phôtôn thì đối với 0 vận tốc ra xa (hoặc lại gần )nhau của hai phôtôn là bao nhiêu? Vận tốc của phôtôn này đối với phôtôn kia là bao nhiêu?
Bài 16. Tìm vận tốc cực đại của một hạt để khi viết động lượng của nó theo công thức p = m0v thì sai số tương đối mắc phải nhỏ hơn 1%.
Bài 17. a) Nếu một hạt có vận tốc v = 0,2c mà viết động năng của nó theo công thức cổđiển K = m0v2 /2 thì sai số tương đối mắc phải là bao nhiêu?
b) Viết như vậy mà muốn sai số tương đối nhỏ hơn 1% thì vận tốc cực đại là bao nhiêu? α
Trang 38
Bài 18. Một hạt có khối lượng nghỉ m0 = 10u đang đứng yên, vỡ thành hai hạt văng theo hai hướng ngược nhau với các vận tốc v1 = 0,8c và v2 = 0,6c. Tìm các khối lượng nghỉ m01 và m02 của hai hạt và động năng của chúng. Bằng cách nào có thể kiểm tra lại giá trị của tổng động năng? Cho biết u = 931MeV/c2.
Bài 19. Một vật có khối lượng nghỉ m0 = 1kg chuyển động với vận tốc v0 = 0,6c tới va chạm mềm với một vật đứng yên có khối lượng nghỉ m1 = 2kg. Tìm khối lượng nghỉ m và vận tốc v của hạt tạo thành. Tìm cách kiểm tra lại kết quả. Cho biết 1kg = 561.1027MeV/c2.
Bài 20. Hạt có khối lượng nghỉ m0 = 1000MeV/c2 và động năng k0 = 250MeV va chạm mềm vào một hạt đứng yên có khối lượng nghỉ m1 = 3000MeV/c2. Tính khối lượng nghỉ m và vận tốc cảu hạt tạo thành. Tìm một cách kiểm tra lại kết quả.
Bài 21. Một hạt mưa rơi do trọng lượng của nó để lại vết trên cửa kính một ô tô chạy với vận tốc V. Xác định góc lệch của vết giọt mưa so với phương thẳng đứng theo quan điểm cổ điển và quan điểm tương đối. Coi giọt mưa rơi đều với vận tốc v.
Bài 22. Hai tên lửa được phóng đi từ Trái Đất trên cùng một phương theo hai hương ngược nhau với vận tốc 0,8c đối với Trái Đất. Hỏi:
a) Hai tên lửa tách xa nhau với vận tốc bằng bao nhiêu theo quan điểm của người đứng trên Trái Đất.
b) Vận tốc của một tên lửa đối với hệ qui chiếu gắn với tên lửa kia.
Bài 23. a) Tìm thời gian sống trung bình của một dòng mêzôn chuyển động với vận tốc =0,73 (thời gian sống riêng trung bình của mêzôn là = 2,5.10-8s).
b) Quãng đường mêzôn đi được là bao nhiêu?
c) Quãng đường mêzôn đi được là bao nhiêu nếu không kểđến hiệu ứng tương đối?
Bài 24. Thời gian sống riêng trung bình của mêzôn khoảng 2.10-6s. Giả sử có một dòng mêzôn từ một độ cao nào đó trong khí quyển chuyển động với vận tốc V = 0,99c. Số va chạm trong khí quyển trên đường đi của chúng xuống dưới là không lớn. Nếu như tại mặt đất chỉ còn lại 1% số mêzôn của dòng ban đầu, hãy xác định độ cao ban đầu (trong hệ qui chiếu của dòng mêzôn, số hạt còn lại sau thời gian t được xác định bằng công thức N(t) = N(0)e-t /T).
Bài 25. Theo quan điểm của một quan sát viên trên một xe chuyển động thì hai sét đánh tại hai điểm A (trước xe) và B (sau xe) xảy ra đồng thời. Hỏi theo quan điểm của người đứng trên mặt đất thì sét nào trước, sét nào sau?
+ π β π+ τ + π + π µ µ
Trang 39
Bài 26. Trong hệ K, một hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh bằng: A(xA = 1 ; yA = 4); B(xB = 3 ; yB = 4); D(xD = 3 ; yD = 2)
a) Khi đồng hồ trong hệ K chỉ thời điểm t = thì tọa độ các đỉnh A, B, D trong hệ K/ là bao nhiêu? Đồng hồ tại các đỉnh đó chỉ thời điểm nào.
b) Khi đồng hồ trong hệ K/ chỉ thời điểm t/ = thì tọa độ ác đỉnh A, B, D trong hệ K/ là bao nhiêu?
c) Tính kích thước của hình vuông trong hệ K/ và so sánh với kích thước của nó trong hệ K. Cho biết vận tốc của hệ K/ lag v =
Bài 27. Một “đoàn tàu Anhxtanh” (Einstein) A/B/ có chiều dài riêng l0 = 8,64.105km/s, chuyển động ngang qua một “sân ga” AB có chiều dài riêng cũng bằng l0 , ởđầu B/ và cuối A/ đoàn tàu có những đồng hồ chạy đồng bộ với nhau. Lúc đầu tàu đi ngang qua sân ga, đồng hồở A và B/ cùng chỉ 0h. Hỏi:
a) Có thể khẳng định là khi đó mọi đồng hồ trong hệ qui chiếu gắn với sân ga và đoàn tàu đều chỉ 0h được không?
b) Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga thì các đồng hồở A, B, A/, B/ chỉ mấy giờ? c) Khi đầu tàu ngang qua cuối sân ga thì các đồng hồđó chỉ mấy giờ?
Bài 28. Thành lập công thức biến đổi Loren (Lorentz) cho trường hợp vận tốc tương đối của hai hệ có hướng tùy ý.
Bài 29. Viết công thức biến đổi Loren cho trường hợp gốc tọa độ và gốc thời gian chọn tùy ý.
Bài 30. Tìm lại luật hợp các vận tốc song song bằng hai phép biến đổi Loren đặc biệt.
Bài 31. Chứng minh hệ thức:
Trong đó và là vận tốc của một hạt trong các hệ K và K/; là vận tốc tương đối của hệ K/đối với hệ K.
Bài 32. Vận tốc của một hạt đối với hệ qui chiếu K/ là u/ nằm trong mặt phẳng x/0y/ hợp với trục 0/x/ một góc . Hệ K/ chuyển động dọc theo trục 0x của hệ k. Hãy xác định phương
c 3 2 c 3 2 2 3 c ) ( 1 1 / . _ ) ( / 2 2 2 / 2 / v u c c v u v u u + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = u u/ v / θ
Trang 40 của vận tốc u của hạt trong hệ K.
Bài 33. Một hạt mưa rơi do trọng lượng của nó để lại vết trên cửa kính một ô tô chạy với vận tốc V. Xác định góc lệch của vết giọt mưa so với phương thẳng đứng theo quan điểm cổ điển và quan điểm tương đối. Coi giọt mưa rơi đều với vận tốc v.
Bài 34. Tìm quy luật biến đổi của các thành phần của gia tốc khi chuyển từ một hệ qui chiếu quán tính này sang hệ qui chiếu quán tính khác.
Bài 35. Một tên lửa được phóng từ Trái Đất vào khoảng không giữa các vì sao, tên lửa hướng tới một ngôi sao có khoảng cách là Ivà chuyển động thẳng tăng dần. Gia tốc của tên lửa trong hệ qui chiếu riêng luôn giữ không đổi và bằng a/.
Hỏi theo đồng hồ của các nhà du hành trên con tàu thời gian T/ để con tàu tới được ngôi sao đó là bao nhiêu?
Bài 36. Khối lượng nghỉ của hạt là m. Hãy biểu diễn vận tốc của nó theo: a) Năng lượng toàn phần E.
b) Động năng t. c) Xung lượng p.
Bài 37. Mêzôn đứng yên tự phân hủy thành mêzôn và nơtrinô (mv = 0). Biết khối lượng của mêzôn và mêzôn , tính động năng của hạt mêzôn .
Bài 38. Chứng minh rằng khi không có trường ngoài, phôtôn không thể biến thành cặp