Dao động của mạng một chiều đơn giản

Cỏc nguyờn tử trong mạng tinh thể chỉ đứng yờn khi ở nhiệt độ khụng tuyệt đối. Ở nhiệt độ T  0K, nguyờn tử sẽ bắt đầu dao động chung quanh vị trớ cõn bằng bền. Ta sẽ khảo sỏt dao động của nguyờn tử trong mạng theo quan điểm động lực học. Đối với mạng một chiều đơn giản thỡ cỏc

nguyờn tử sắp xếp trờn một đường thẳng và mỗi nỳt mạng chỉ cú một nguyờn tử. Ngoài ra, ở nhiệt độ đủ cao thỡ dao động của nguyờn tử trong mạng tinh thể tuõn theo những quy luật của cơ học cổ điển. Xột tương tỏc giữa cỏc nguyờn tử ở lõn cận nỳt mạng thứ n. Lực tỏc dụng của nguyờn tử thứ n-1 và n+1 lờn nguyờn tử thứ n là

fn,n-1 = - b(un  un-1), fn,n+1 = - b(un  un+1).

Như vậy, lực tổng hợp tỏc dụng lờn nguyờn tử thứ n là fn = - b(2un  un-1 un+1).

Phương trỡnh chuyển động của nguyờn tử thứ n là

mu" + b(2un  un-1 un+1) = 0. (2.3. 1) Nghiệm của phương trỡnh này là một hàm súng mụ tả sự dao động của nguyờn tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể. Ta tỡm nghiệm này bằng cỏch dựng phộp

n-1 n n+1

un-1 un un+1

Hình 2.2: Dao động của mạng tinh thể một chiều đơn giản

tương tự khi xột dao động và súng trong một sợi dõy đàn hồi . Ta đó biết súng truyền trong một dõy đàn hồi là súng ngang và cú dạng

u(x,t) = Aei(qxt)

, (2.3. 2)

trong đú A là biờn độ (cú thể phức), q là độ lớn của vectơ súng. Vỡ trong sợi dõy toạ độ x là liờn tục nờn q cú giỏ trị liờn tục từ 0 đến , tần số súng trong sợi dõy là tần số súng õm và cú dạng  = voq cũng biến thiờn liờn tục từ 0 đến .

Đối với mạng tinh thể một chiều đang xột thỡ cỏc nguyờn tử ở cỏch nhau một khoảng là a súng truyền cú dạng

u(x,t) = Aei(qant)

, (2.3. 3)

trong đú ta đó ỏp dụng (2.3.2) và thay x = an. Thay cỏc giỏ trị u"n , un-1, un+1 từ (2.3.3) vào (2.3.1) ta được: m2 = 2 b(1  cosqa) = 4.sin2 (qa/2). Vậy  = 2(b/m)1/2 sin(qa/2) = msin(qa/2), (2.3.4)

với m 2 b m/ là tần số cực đại khi q = /a.

Như vậy tần số súng  phụ thuộc vào vectơ súng q một cỏch tuần hũan. Ta khảo sỏt sự biến thiờn của  theo q. Trong biểu thức (2.3.3) nếu ta thay q  q' = q + (2/a)g, với g là số nguyờn, lỳc đú ta được:

u'n = Aei(q'an t) = A.ei(q + 2g/a)ant = Aei(qan t).ei 2gn = un.

Như vậy q và q' tương đương nhau về mặt vật lý, nghĩa là mụ tả cựng một trạng thỏi dao động với cựng một giỏ trị q. Vỡ vậy ta chỉ cần xột sự biến thiờn của q trong khoảng 2/a. Do tớnh đối xứng của đồ thị hàm số sin nờn ta chọn khoảng 2/a đối xứng quanh gốc O, nghĩa là khoảng [-/a, /a]. Đồ thị hàm (q) tương ứng với biểu thức (2.3.4) được biểu diễn ở hỡnh 2.3.

m



-2/a -/a O /a 2/a q

Theo lý thuyết về mạng đảo thỡ khoảng [-/a, /a] chớnh là vựng Brillouin thứ nhất của mạng đảo tương ứng với mạng thuận đang xột.

Bõy giờ ta xột súng tại lõn cận tõm và biờn của vựng Brillouin.

(i) Tại lõn cận tõm vựng Brillouin thỡ q cú giỏ trị bộ nờn sin(qa/2)  qa/2. Do đú  = m.sin(qa/2) = m (qa/2) = (b/m)1/2qa = v0q,

trong đú v0 là vận tốc truyền súng trong mụi trường đàn hồi:

v0 = E r/ , trong đú mụđun Young E = (fn,n-1)/((un-un-1)/a) = ba. Do đú

v0 = (ba/(m/a))1/2 = a b m/ .

Như vậy khi q nhỏ, ta thấy rằng súng truyền trong tinh thể trong trường hợp này tương tự như súng õm đàn hồi truyền trong sợi dõy đàn hồi.

(ii) Khi q lớn, vận tốc truyền súng là vg = d/dq = v0cos(qa/2).

Tại biờn của vựng Brillouin thứ nhất q =  /a thỡ vg = 0. Như vậy ở biờn của vựng Brillouin cú hiện tượng phản xạ súng, kết quả là cú sự tạo thành súng đứng trong tinh thể. Đối với tinh thể thực tế cú kớch thước hữu hạn thỡ tớnh đối xứng của tinh thể giảm do ảnh hưởng của biờn. Vỡ vậy để bảo toàn tớnh đối xứng của tịnh tiến của mạng tinh thể ta đưa vào điều kiện biờn tuần hũan Born-Karman như sau: Mạng tinh thể cú N ụ sơ cấp thỡ sẽ cú N nguyờn tử. Ta xem nguyờn tử thứ n+N cú dao động giống như nguyờn tử thứ n:

un = un +N, hay

Aei(qant) = Aei(qa[n+N]t).

Từ đú eiqaN = 1  q = 2n/Na = 2n/L (L là chiều dài của mạng) Như vậy ở mạng tinh thể thực thế hữu hạn vectơ súng q khụng lấy giỏ trị liờn tục trong khoảng [-/a, /a] mà cú giỏ trị giỏn đoạn cỏch nhau một khoảng 2/L. Trong trường hợp nếu N đủ lớn  L lớn thỡ 2/L  0 lỳc đú giỏ trị của q được coi là liờn tục. Như vậy khi mạng tinh thể hữu hạn thỡ dao động của mạng gồm một tập hợp hữu hạn cỏc dao động điều hũa. Số dao động đú bằng N, chớnh là số ụ sơ cấp của mạng.