3.1. Khái niệm siêu ổn định của Popov [15] 3.1.1. Hệ thống phản hồi dạng chuẩn 3.1.1. Hệ thống phản hồi dạng chuẩn
Khái niệm về siêu ổn định của Popov liên quan đến thuộc tính ổn đinh của hệ thống có phản hồi có dạng chuẩn như hình 3.1. Ở hệ thống này với khối phản hồi có thể tuyến tính hoặc phi tuyến. Hệ thống này siêu ổn định thì sẽ thỏa mãn bất đẳng thức tích phân Popov sau (3.1).
∫tu�Tv�dτ ≥ −γ02
0 với mọi t ≥0 với mọi 𝑡 ≥ 0 (3.1)
Trong đó:
- 𝑣̅: Vecto đầu vào của khối phản hồi. - 𝑢� =−𝑢�1: Vecto đầu ra của khối phản hồi.
- 𝛾02: Một hằng số dương xác đinh mà không phụ thuộc vào t mà phụ thuộc vào trạng thái ban đầu của hệ thống.
Hình 3.1. Hệ thống phản hồi dạng chuẩn
Các phương trình trạng thái của hệ thống phản hồi dạng chuẩn được trình bày trên hình 3.1 với n đầu vào và m đầu ra đươc cho bởi:
−× 𝑥̅̇=𝐴𝑥̅+𝐵𝑢� 𝑣̅=𝐶𝑥̅+𝐷𝑢� 𝑢�1 𝑢� =−𝑢�1 𝑢�1=−𝑢� 𝑢�(𝑡) =𝐹(𝑣̅(𝜏),𝑡) 𝑣̅ 39
𝑥̅̇ =𝐴𝑥̅+𝐵𝑢� (3.2) 𝑣̅ =𝐶𝑥̅+𝐷𝑢� (3.3) 𝑢�1 =−𝑢� (3.4) 𝑢�(𝑡) =𝐹(𝑣̅(𝜏),𝑡) 𝜏 ≤ 𝑡 (3.5) Trong đó: - A, B, C và D: các ma trận hằng số
- 𝑥̅: vecto trạng thái, 𝑢� và 𝑣̅ các vecto (Giả sử hệ thống là điều khiển và quan sát được hoàn toàn)
- 𝐹 : biểu thị sự phụ thuộc phi tuyến giữa vecto 𝑢 và các giá trị của vecto
𝑣 trong một khoảng giá trị thời gian. Tức xem các tập hợp con của 𝑢 để thỏa mãn được bất đẳng thức tích phân của Popov (3.1).
3.1.2. Các định nghĩa ổn định Popov
Định nghĩa 1: Hệ thống mô tả bởi các phương trình (3.2)-(3.5) sẽ được gọi là siêu ổn định nếu với mọi 𝑢� được định nghĩa theo bất đẳng thức tích phân Popov(3.1) với một giá trị hằng số k và 𝛿 cho trước với mọi thời gian t thì thỏa mãn yêu cầu sau.
�|x(t)|� ≤k��|x(0)|�+δ� (3.6)
Với ký hiệu �|. |� biểu thị “Euclidean norm – độ lớn vecto”
Với “Euclidean norm – độ lớn vecto” là các vecto 𝑥̅ được định nghĩa:
|𝑥̅| = �∑𝑛 𝑥𝑗2
𝑗=1 (3.7)
Định nghĩa 2: Hệ thống (3.2)-(3.5)được gọi là siêu ổn định tiệm cận nếu bất kỳ u(.) trong các tập con được xác định bởi (3.1) mà thỏa mãn được biểu thức (3.6) và:
lim𝑡→∞𝑥(𝑡) = 0 (3.8)
Điều kiện để cho hệ thống siêu ổn định phụ thuộc vào thuộc tính thực dương của ma trận hàm truyền:
𝑍(𝑠) = {𝐷+𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵} (3.9)
Định nghĩa 3: Đối với một ma trận hàm truyền Z(s) là xác định dương chặt thì sẽ có các thuộc tính sau:
- Z(s) thực với mọi s thực 40
- Các cực của Z(s) thì nằm bên trái trục ảo - Thỏa mãn điều kiện với mọi 𝜔
𝑅𝑒[𝑍(𝑗𝜔)] > 0, (−∞<𝜔 <∞) (3.10)
Định nghĩa 4: Đối với ma trận hàm truyền Z(s) là xác định dương thì sẽ có các thuộc tính sau:
- Z(s) thực với mọi s thực (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Các cực của Z(s) thì nằm bên trái trục ảo - Thỏa mãn điều kiện với mọi 𝜔
𝑅𝑒[𝑍(𝑗𝜔)]≥0
3.1.3. Định lý ổn định Popov
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hệ thống phản hồi dạng chuẩn mô tả bởi (3.2)- (3.5) có ma trận hàm truyền Z(s) (3.9) là siêu ổn định nếu Z(s) là thực dương.
Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để thống phản hồi dạng chuẩn mô tả bởi (3.2)-(3.5) có ma trận hàm truyền Z(s) (3.9) là siêu ổn định tiệm cận nếu Z(s) là thực dương chặt.
3.2. Mô hình động cơ trong hệ tọa độ dq
Trong một hệ quy chiếu quay đồng bộ với tốc độ ωs, phương trình mô hình động cơ được thể hiện qua các phương trình không gian trạng thái như sau:
�𝚤̅̇𝑠
Ѱ�̇𝑟� =�𝐴𝐴11 𝐴12