Hai hiện tƣợng khuếch tán (di chuyển) nêu trên có thể đƣợc miêu tả bằng nhiều mô hình toán học, trong đó có mô hình Fick (mô hình khuyếch tán phân tử).Mô hình khuyếch tán này cho rằng môi trƣờng khuếch tán là đẳng hƣớng về mặt
37
vĩ mô, rằng cấu trúc và các đặc trƣng khuếch tán là nhƣ nhau tƣơng ứng với các hƣớng khuyếch tán khác nhau tới mọi điểm trong môi trƣờng. Nó có thể đƣợc trình bày ngắn gọn nhƣ sau: nếu chúng ta công nhận rằng các phân tử nƣớc xâm nhập trong vật liệu có khả năng khuếch tán từ nơi tập trung cao tới nơi tập trung ít, dòng nƣớc trong vật liệu sẽ đƣợc miêu tả qua phƣơng trình:
(2.1) Trong đó:
J: dòng khuyếch tán theo đơn vị bề mặt; : građien tại mặt khuếch tán; D: hệ số khuếch tán.
Hệ số khuếch tán theo định luật Arrhenius :
(2.2)
Năng lƣợng hoạt hoá Ea là năng lƣợng ngăn cản mà các phân tử nƣớc phải vƣợt qua để nhảy từ điểm này sang điểm khác trong ma trận của vật liệu. Nếu không có điện trƣờng, năng lƣợng này do chuyển động nhiệt tạo ra (kT) (Hình 2.4).
Hình 2.4.Cơ chế nhảy của phân tử nƣớc trong ma trận của vật liệu
Định luật Fick đầu tiên biến đổi khi xem xét có sự bảo tồn tổng thể số lƣợng phân tử nƣớc, nói cách khác khi sự khác nhau giữa các dòng vào, ra trong một dung lƣợng nhất định nhân lên theo thời gian là tƣơng tự với sự chênh lệch số lƣợng các phân tử trong dung lƣợng này trong cùng một quãng thời gian. Nhƣ vậy, chúng ta có đƣợc định luật Fick thứ hai:
38
Phân tích phƣơng trình Fick đƣợc thực hiện với các điều kiện sau: - Hệ số khuyếch tán D không đổi theo thời gian
- Các mẫu có dạng đĩa mỏng. Bề mặt tiếp xúc nƣớc giả sử là vô tận, có nghĩa là chiều bên là rất lớn so với độ dày h1 (h1<<2R) và R là bán kính bề mặt,sự khuếch tán nhƣ vậy sẽ diễn ra chủ yếu qua hai bề mặt (không có khuếch tán ở bờ mép). - Trƣớc khi nhúng trong nƣớc, các mẫu thí nghiệm không chứa nƣớc:
t<0, C0<x<h1= 0
Khi t=0, bề mặt vật liệu lập tức đƣợc đặt cân bằng, có nghĩa là tập trung bề mặt luôn bão hoà :
t ≥0, C x=0 = Cx=h1 = C
Tập trung bão hoà Ctƣơng ứng với giới hạn độ tan của nƣớc trong vật liệu. Nó chỉ phụ thuộc vào hàm lƣợng nƣớc trong môi trƣờng bên trong(nó không phụ thuộc vào nhiệt độ bởi vì nhiệt độ không làm thay đổi cấu trúc của vật liệu).
Với các điều kiện trên, giải phƣơng trình IV.3 ta đƣợc :
(2.4)
Tổng lƣợng nƣớc khuếch tán trong vật liệu có đƣợc khi tích phân phƣơng trình (2.4) theo độ dày:
(2.5) Kết quả của phép tích phân này là:
(2.6) Phƣơng trình (2.6) tƣơng đƣơng với :
(2.7) (2.8)
Quan hệ (2.7) cho thấy chiều hƣớng thay đổi số lƣợng theo thời gian. Khối lƣợng thay đổi ban đầu theo t1/2, hoạt động này thƣờng đƣợc sử dụng để kiểm tra hoạt động «fickien» của vật liệu (hình 2.5).
39
Hình 2.5.Mô tả sự thay đổi động học khuếch tán với hoạt động “fickien” Trong vật liệu composite, hệ số khuếch tán vuông góc (Dp) và song song (D1) so với hƣớng của sợi rất khác nhau. Cần thiết phải tính đến các vấn đề về tính bất đẳng hƣớng của hệ số khuếch tán. Căn cứ vào tính chất giống nhau về nhiệt và điện, Springer [7] cho rằng sự khuếch tán trong cả hai trƣờng hợp chỉ phụ thuộc vào hệ số của ma trận epoxy Dr và phân số khối lƣợng sợi Vf theo các quan hệ sau:
D1 = (1-Vf).Dr (2.9) f r p V D D 2 1 (2.10)
Trong các quan hệ này khuyếch tán trong ma trận kiểm soát toàn bộ tiến trình và khuếch tán giữa các bề mặt không đƣợc xem xét tới. Pollard đề nghị một phƣơng pháp để xác định các hệ số trong hai hƣớng để đánh giá các dòng xâm nhập bằng mặt bên (hƣớng song song so với lớp gia cố).
Trong phƣơng pháp này dòng tổng thể đi vào mẫu nghiên cứu đƣợc coi nhƣ tổng các dòng đi vào qua các bề mặt khác nhau và giả thuyết rằng không có sự tác động qua lại giữa các dòng này, điều này chỉ mang một giá trị tƣơng đối trong một khoảng thời gian ngắn [9]. Hấp thụ qua bề mặt Ai có thể đƣợc coi nhƣ là sự khuếch tán một lƣợng nƣớc trong môi trƣờng bán vô tận:
(2.11)
Nhƣ vậy, tổng khối lƣợng nƣớc khuếch tán m vào trong mẫu thử hình học mặt trụ là:
40
(2.12) Với
Ta có:
(2.13)
Phƣơng trình có thể đƣợc viết dƣới dạng nhƣ sau: (2.14)
Với: (2.15)
Theo quan hệ (2.15), với một chuỗi mẫu thử hình trụ có cùng một bán kính R nhƣng bề dày h1 khác nhau, đƣờng kính theo R/ h1 sẽ có dạng đƣờng thẳng. Quan hệ này cho phép khuếch tán theo chiều dọc (các mặt phân cách) và khuếch tán thuần túy theo phƣơng thẳng đứng với lớp vật liệu.