qua tập đa cực đóng có độ đo Hausdorff bằng không
Trong phần này chúng tôi trình bày điều kiện đủ để thác triển ánh xạ chỉnh hình từ ∆n\S vào miền Hartogs Ωϕ(X) trong đó S là tập con đóng của đa đĩa mở ∆n trong Cn với Hd(S) = 0.
Định nghĩa 2.4. Giả sử ∆n là đa đĩa mở trong Cn và d là số thực sao
cho 0 < d <2n−1. Không gian phức X được gọi là có tính chất d- thác
triển (viết tắt X có tính chất d−EP) nếu với mỗi tập con đóng S của
∆n với Hd(S) = 0 và mỗi ánh xạ chỉnh hình f : ∆n\S → X thì tồn tại ánh xạ chỉnh hình fe: ∆n →X sao cho fe∆n/backslashS = f
Định nghĩa 2.5. .
(i) Miền Ω ∈ Cn được gọi là siêu lồi nếu tồn tại hàm vét cạn đa điều hoà dưới liên tục ρ : Ω →(−∞,0) (tức là tồn tại hàm đa điều hoà dưới liên tục ρ : Ω →(−∞,0) sao cho {z ∈ Ω;ρ(z) < c}là tập compact tương
đối của Ω với mỗi c ∈ (−∞,0))
(ii) Miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là siêu lồi chặt nếu tồn tại một miền bị chặn Ωe và một hàm đa điều hoà dưới liên tục ρ : Ωe → (−∞,1)
sao cho Ω =
n
z ∈ Ω;e ρ(z) < 0
o
, ρ là hàm vét cạn của Ωe với mọi số thực
c ∈ [0,1] thì tập mở Ω =
n
z ∈ Ω;e ρ(z) < c
o
là liên thông
Dưới đây chúng ta chỉ ra một lớp không gian có tính chất d−EP. Mệnh đề 2.2. Mỗi miền siêu lồi chặt trong CN có tính chất d−EP. Đặc biệt đĩa đơn vị mở ∆ của C có tính chất d−EP.
Chứng minh.
Giả sử Ω là miền siêu lồi chặt trong CN và f : ∆n\S → Ω là ánh xạ chỉnh hình, ở đó S là tập con đóng của ∆n với Hd(S) = 0.
Đặt f = (f1, f2, ..., fN). Khi đó theo đinh lý (1.7), fj thác triển được
thành hàm chỉnh hình fej : ∆n → C. Khi đó ánh xạ b f = b f1,fb2, ...,fbN ∈ Hol ∆n,Ω.
Giả sử ρ là hàm vét cạn đa điều hoà dưới liên tục trên Ωe sao cho
Ω =
n
z ∈ Ω :e ρ(z) < 0
o
ở đây Ωe là một lân cận bị chặn của Ω trong CN.
Ta đặt h = ρ◦fbthì h là đa điều hoà dưới trên ∆n. Do ρ liên tục trên Ω
nên ρ≤ 0 trên Ω, vì vậy h ≤ 0 trên ∆n.
Giả sử tồn tại z0 ∈ S sao cho fb(z0) ∈ ∂Ω. Khi đó h(z0) = 0 và theo nguyên lý cực đại suy ra h ≡ 0 trên ∆n. Do đó mâu thuẫn nên ta có
b
f ∈ Hol(∆n,Ω). Như vậy định lý được chứng minh.
Định lí 2.5. Giả sử d là một số thực sao cho 0 < d < 2n−1. Giả sử
và ϕ là một hàm đa điều hoà dưới trong X. Giả sử S là tập con đóng của ∆n với Hd(S) = 0. Giả sử f = (f1, f2) : ∆n\S → Ωϕ(X) là ánh xạ chỉnh hình thoả mãn:
(i) lim
z→asup (εlogρ(z, a)−ϕ(z)) < ∞ với mọi a ∈ X và mỗi ε > 0;
(ii) Ánh xạ f1 không hằng trên ∆n\S. Khi đó f thác triển chỉnh hình lên ∆n. Chứng minh.
Do giả thuyết,f1 thác triển được thành ánh xạ chỉnh hìnhfb1 ∈ Hol(∆n, X). Chúng ta cần chứng minh f2 cũng được thác triển thành ánh xạ trên
∆n.
Giả sửz0 ∈ S là một điểm bất kì. Chọn một lân cận đủ nhỏ U củafb1(z0)
trong X sao cho U đẳng cấu với một tập giải tích trong hình cầu mở của Cm.
Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng U ⊂ Cm. Đặt W = fb1−1(U), và
h(z) =fb1(z)−fb1(z0) = (h1(z), ..., hm(z)),∀z ∈ W (2.15) ở đó hj là chỉnh hình trên W.
Do f1 là khác hằng nên h 6≡ 0 trên W. Không làm mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng h1 6≡ 0 trong W. Khi đó theo ([9]), tồn tại C và
p > 0 sao cho:
|h1(z)| ≥ Cρ(z, Zerh1)p (2.16) với mỗiz thuộc lân cận củaz0 trong W, trong đóZerh1 là tập các không điểm của h1.
Do giả thuyết d < 2n− 1 nên chúng ta tìm được r > 2 sao cho 2n−
p+r
Mặt khác cũng từ giả thuyết, tồn tại δ >0 sao cho εlogρz,fb1(z0)−ϕ(z) < +∞ với mọi z ∈ U và ρ z,fb1(z0) < δ.
Không giảm tính tổng quát, chúng ta giả sửεlogρ
z,fb1(z0) −ϕ(z) < 0 với mọi z ∈ U và ρ z,fb1(z0)
< δ. Điều này tương đương với:
e−ϕ(z) < 1
ρ
z,fb1(z0)
ε (2.17)
với mọi z ∈ U sao cho ρ
z,fb1(z0)
< δ.
Chọn lân cận W1 của z0 trong W sao cho:
ρfb1(z),fb1(z0) < δ,∀z ∈ W1 (2.18)
Khi đó, với mọi z ∈ W1\S, chúng ta có:
|f2(z)| < e−ϕ(fb1(z)) < 1 ρ b f1(z),fb1(z0) ε ≤ 1 |h1(z)|ε ≤ 1 Cερ(z, Zerh1)εp (2.19) Từ bất đẳng thức suy ra f2 ∈ Lploc+r(W1).
Giả sử p0 là số mũ liên hợp của p+ r, điều này có nghĩa p+1r + p10 = 1. Khi đó
2n−p0 = 2n− p+r
p+r −1 ≥ d.
DoHd(S) = 0nên theo tính chất của độ đo Hausdorff ta cóH2n−p0 (S) = 0. Mặt khác, theo kết quả của R. Harvey và J. Polking, f2W1\S được thác triển chỉnh hình lên W1. Như vậy f2 thác triển thành hàm chỉnh hình được fb2 với fb2 : ∆n →C. Khi đó ánh xạ
thác triển thành ánh xạ chỉnh hình b
f = fb1,fb2 : ∆n → X ×C (2.20) Cuối cùng chúng ta phải chứng minh fb(∆n) ⊂ Ωϕ(X).
Bởi bất đẳng thức giá trị trung bình đối với hàm đa điều hoà dưới
log fb2 + ϕ b f1 , chúng ta có bất đẳng thức sau: log fb2(z) +ϕ b f1(z) < 0, với mọi z ∈ ∆n.
Điều này kéo theo fb(∆n) ⊂ Ωϕ(X).
Bây giờ chúng tôi trình bày các phản ví dụ để chỉ ra rằng
• Từ tính thác triển chỉnh hình của ánh xạ f ở trên ∆n không suy ra được điều kiện (i) trong định lý (2.5).
• Điều kiện (ii) không thể bỏ được trong định lý (2.5).
Mệnh đề 2.3. Tồn tại hàm điều hoà ϕ trên ∆ sao cho Ωϕ(∆) có tính chất thác triểnd−EP đối với∆ (0 < d < 1), nhưng lim
z→0sup (εlog|z| −ϕ(z)) = ∞ với mọi ε > 0 đủ nhỏ. Chứng minh. Giả sử zk = 2−k, αk = k−3, δk = e−2αkk , với mọi k ≥ 1 Đặt ϕ(z) = ∞ X k=1 αk.log δ2k+ |z−zk|2
Khi đó hàm ϕ(z) xác định và điều hoà dưới trên ∆. Thật vậy, mỗi số hạng của chuỗi là điều hoà dưới và
log δk2 +|z−zk|2−log 5 < 0, ∞ X k=1 αklog 5 < ∞ (2.21)
Do đó để ϕ(z) ∈ SH(∆) ∪ {−∞} là giới hạn của dãy giảm các hàm điều hoà dưới.
n X k=1 αklog δ 2 k +|z −zk|2 5 ! + ∞ X k=1 αk ! log 5 (2.22) Từ ϕ(0) = ∞ X k=1 αklog δ2k+ |zk|2≥ 2 ∞ X k=1 αklog|zk| = −2 (log 2) X k≥1 1 k2 ! > −∞, (2.23)
nên ϕ6≡ −∞. Điều này cũng chứng tỏ được rằng ϕ ∈ SH(∆). Mặt khác, với k ≥ 1 chúng ta có ϕ(zk) = αklog δk2+X j6=k αjlogδj2 +|zj −zk|2 ≥ −k+ 2X j6=k αjlog|zj −zk| ≥ −k+ 2 X j6=k αj log 1 2k+1 > −∞ (2.24) Lấy z ∈ ∆∗ = ∆\ {0} sao cho z 6= zk với mọi k ≥ 1. Thế thì
ϕ(z) = ∞ X k=1 αklog δ2k+ |z−zk|2 ≥2 ∞ X k=1 αklog|z−zk| ≥2 ∞ X k=1 αk ! logC > −∞ (2.25) Ở đó C = inf k≥1|z −zk| > 0. Vì vậy ϕ ∈ SH(∆) với ϕ(z) > −∞,∀z ∈ ∆. Bởi đó ∆ có tính chất thác triển d−EP (xem[11]) thì Ωϕ(∆) có tính chất d−EP.
Cuối cùng, chúng ta chứng tỏ lim
z→0sup (εlog|z| −ϕ(z)) = ∞ với ε > 0
đủ nhỏ.
Thật vậy với mỗi k > 2, chúng ta có
−ϕ(zk) =−αklog δ2k−X j6=k αjlog δj2 +|zj −zk|2 ≥ −αklog δ2k= k. (2.26) Do đó
−ϕ(zk) +εlog|zk| = −ϕ(zk)−(εlog 2)k ≥(1−εlog 2)k. (2.27) Điều này chứng tỏ
lim
k→∞(−ϕ(zk) + εlog|zk|) =∞ với ε∈ 0,log 21
Như vậy mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.4. Tồn tại một hàm điều hoà dưới ϕ trên ∆ sao cho
lim
z→asup (εlog|z−a| −ϕ(z)) < ∞ (2.28) với mọi a ∈ ∆ và ε > 0, nhưng Ωϕ(∆) không có tính chất d−EP với
mỗi 0< d ≤1.
Chứng minh.
Giả sửu là một hàm lồi tăng trên [−∞,0] sao cho u −k2 = −k,∀k ≥0
và u là hàm tuyến tính trên h
−k2,−(k −1)2
i
,∀k ≥ 1.
Theo kết quả của L. H¨omander, hàm ϕ(z) = u(log|z|) là điều hoà trên
∆. Dễ thấy
lim
z→asup (εlog|z−a| −ϕ(z)) < ∞ (2.29) với mỗi a ∈ ∆ và mỗi ε > 0. Nhưng ϕ(0) = −∞.
Xét ánh xạ chỉnh hình
được cho bởi σ(z) = 0,1z, với mọi z ∈ ∆∗. Khi đó σ không thác triển
chỉnh hình được trên ∆.
Sử dụng lập luận tương tự như trong chứng minh định lý (2.5) chúng ta chứng minh được mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.5. Giả sử d là một số thực sao cho 0 < d ≤ 2n− 1. Giả sử X là không gian phức với mêtric Hermitian ρ và ϕ : X → [−∞,∞)
là hàm đa điều hoà dưới trên X. Giả sử S là tập con đóng của ∆n với
Hd(S) = 0.
Giả sử f = (f1, f2) : ∆n\S →Ωϕ(X) là một ánh xạ chỉnh hình thoả mãn:
(i) lim
z→asup (εlogp(z, a)−ϕ(z)) < ∞ với mỗi a ∈ X và mỗi ε > 0. (ii) Ánh xạ f1 thác triển được tới ánh xạ chỉnh hình không hằng b
f1 : ∆n → X.
Kết luận
Luận văn đã trình bày một số vấn đề cơ bản sau:
1. Hệ thống lại các khái niệm cơ bản về hàm chỉnh hình và trình bày được định lý Hartogs cổ điển.
2. Hệ thống lại một số tính chất thác triển của miền Hartogs.
3. Trình bày được điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình f từ ∆n\S vào
Ωϕ(X) trong đó S là tập con đóng với độ đo Hausdorff chiều dbằng không thác triển được lên ∆n và chỉ ra rằng những điều kiện đủ đã được đặt ra là không thể bỏ được.
Luận văn chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự cộng tác, góp ý và giúp đỡ của mọi người quan tâm.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] B.V. Sabat, Nhập môn giải tích phức, phần II nhiều biến, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1979.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[2] E. M. Chirka, Complex Analytic sets, Kluwer Academie Published, 1989.
[3] S. Dineen, Complex Analytic on Locally convex space, North- Hol- land. 57(1981).
[4] J. E. Fornaess and R. Narasimhan, The Levi problem on complex space with singularities, Math. Ann. 248 (1980), 47-72.
[5] R. Harvey and J. Polking, Extending analytic objects, Comm. Pure Appl. Math. 28(6) (1975), 701 - 727.
[6] L. H¨omander, An introduction to complex analytic in several vari- ables, Amsterdam (1990)
[7] M. Klimek, Pluripotential theory, London Mat. Soc, Oxford Sclence Publications, (1991).
[8] N. S. Landkof, Foundations of Modern Potential Theory, Springer. Verlag 1972
[9] S. Lojasiewicz, Emsembles Semi-analytiques, I.H.E.S, Bures-sur- Yvette, 1965.
[10] D. D. Thai and Le Tai Thu, Extending holomorphic maps into Har- togs domains, Vietnam Jour. of Math. 32:4 (2004), 433-439
[11] D. D. Thai and P. J. Thomas, D*- Extention property without hy- perbolicity, Indiana Univ. Math. J. 47 (3), (1998), 1125 - 1130. [12] Le Tai Thu, Some geometric properties of special domains in a com-