biến phân aphin
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân aphin trên tập lồi đa diện: Tìm x ∈ Θ(ω) sao cho
hM x−q, u−xi ≥ 0 for all u∈ Θ(ω), (3.1) ở đó M ∈ Rn×n, (q, ω) ∈ Rn×Rp, và Θ(ω) được cho bởi (0.1). Khi đó, ánh xạ nghiệm S(q, ω) của (3.1) có thể biểu diễn dưới dạng hàm ẩn đa trị S: Rn×Rp
⇒ Rn,
S(q, ω) := {x ∈ Rn|0 ∈ M x−q +F(x, ω)} (3.2) với F(x, ω) =N(x; Θ(ω)) là được cho bởi (0.2).
Chúng ta nhắc lại từ [11, Definition 4.10] rằng S là Lipschitz kiểu Aubin (hoặc cócó tính chất Aubin) tại(¯q,ω,¯ x¯) ∈ gphS nếu tồn tại` > 0
và các lân cận U của x¯, V của (¯q,ω¯) sao cho
S(q, ω)∩U ⊂ S(q0, ω0) +`k(q, ω)−(q0, ω0)kB¯Rn
với mọi (q, ω), (q0, ω0) ∈ V, ở đóB¯Rn ký hiệu hình cầu đơn vị đóng trong Rn.
22
Áp dụng kết quả đạt được trong Chương 2, chúng ta thiết lập đặc trưng cần và đủ đặc trưng Lipschitz kiểu Aubin của S tại một điểm đã cho.
Định lý 3.1. Lấy (¯q,ω,¯ x¯) ∈ gphS và đặt ξ¯∗ := ¯q −Mx¯. Khi đó, S có tính chất Lipschitz kiểu Aubin tại (¯q,ω,¯ x¯) nếu và chỉ nếu
(MTq∗, ω∗) ∈ D∗F(¯x,ω,¯ ξ¯∗)(−q∗) =⇒ (q∗, ω∗) = (0,0).
Chứng minh. Đặt f(q, x) := M x−q. Ta suy ra từ [18, Lemma 4.2] rằng
gphS là tập đóng trong lân cận của (¯q,ω,¯ x¯). Ta quan sát rằng
gphS = {(q, ω, x)| −f(q, x) ∈ F(x, ω)} = {(q, ω, x)|(x, ω,−f(q, x)) ∈ gphF } = g−1(gphF), ở đó g(q, ω, x) = (x, ω,−f(q, x)). Từ tính chất tràn của ∇qf(¯q,x¯) ta suy ra rằng ∇g(¯q,ω,¯ x¯) là tràn và ∇g(¯q,ω,¯ x¯)∗(x∗, ω∗, ν) = (−∇qf(¯q,x¯)∗ν, ω∗, x∗ − ∇xf(¯q,x¯)∗ν). Bởi [11, Theorem 1.17], ta có N((¯q,ω,¯ x¯); gphS) = ∇g(¯q,ω,¯ x¯)∗N(g(¯q,ω,¯ x¯); gphF). Lấy (q∗, ω∗) ∈ D∗S(¯q,ω,¯ x¯)(x∗). Khi đó (q∗, ω∗,−x∗) ∈ N((¯q,ω,¯ x¯); gphS) = ∇g(¯q,ω,¯ x¯)∗N(g(¯q,ω,¯ x¯); gphF). Suy ra (q∗, ω∗,−x∗) = (∇qf(¯q,x¯)∗ν,ωe∗,xe∗ +∇xf(¯q,x¯)∗ν)
với (xe∗,ωe∗,−ν) ∈ N(g(¯q,ω,¯ x¯); gphF). Điều này suy ra rằng
Do đó
(q∗, ω∗) ∈ D∗S(¯q,ω,¯ x¯)(x∗)
nếu và chỉ nếu
(MTq∗ −x∗, ω∗) ∈ D∗F(¯x,ω,¯ −f(¯q,x¯)(−q∗).
Vì vậy, bởi [11, Theorem 4.10], S là Lipschitz kiểu Aubin tại (¯q,ω,¯ x¯)
nếu và chỉ nếu
D∗S(¯q,ω,¯ x¯)(0) = {0}.
Điều này tương đương,
(MTq∗, ω∗) ∈ D∗F(¯x,ω,¯ ξ¯∗)(−q∗) =⇒ (q∗, ω∗) = (0,0).
Định lý được chứng minh.
Phần cuối trong chương này chúng ta trình bày một ví dụ để minh họa việc tính các đối đạo hàm củaF mà đã được trình bày trong Chương 2 và 3. Đồng thời sử dụng các kết quả tính toán để khảo sát tính chất Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số.
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số (3.1) với
M là ma trận đơn vị trong R2×2, q ∈ R2, Θ(ω) là một tập lồi đa diện có tham số được xác định bởi
C1 = (0,1), C2 = (−1,0), D1 = (1,1), D2 = (2,2).
và ω ∈ R2 là vectơ tham số.
Lấy q¯ = (0,2), ω¯ = (0,0) và x¯ = (0,0). Ta có (¯q,ω,¯ x¯) ∈ gphS. Bây giờ ta khảo sát tính chất Lipschitz kiểu Aubin của S at (¯q,ω,¯ x¯).
Trước tiên chúng ta cần phải tính đối đạo hàm Mordukhovich của
24
n= 2, m = 2, p = 2, T = {1,2},
Θ(¯ω) ={x ∈ R2|x2 ≤ω1 + ω2, −x1 ≤ 2ω1 + 2ω2}, I(¯x,ω¯) ={i ∈ T | hCiT,x¯i = hDTi ,ω¯i} = {1,2},
F(¯x,ω¯) = N(¯x,Θ(¯ω)) = pos{C1T, C2T} = R−×R+.
Hiển nhiên, {C1T, C2T} là độc lập tuyến tính, tuy nhiên ta không thể áp dụng Theorem 3.3 và Theorem 4.3 trong [13] để tính các đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F. Rõ ràng, ma trận
D := {D1, D2} không có ma trận nghịch đảo. Khi đó, chúng ta không thể áp dụng Theorem 3.3 trong [16] để tính đối đạo hàm Fréchet của F
và Theorem 3.4 trong [6] để tính đối đạo hàm Mordukhovich của F.
Ta có K = {1}, I1 = {2}, {ξ¯∗}⊥ = {(0,2)}⊥ = R× {0}, T(¯x; Θ(¯ω)) =N(¯x,Θ(¯ω)) ∗ = R+×R−, BI,K = T(¯x; Θ(¯ω)) ∩ {¯x∗}⊥ = R+× {0}, AI,K = T(¯x; Θ(¯ω))∩ {¯x∗}⊥∗ = R− ×R, −D1 = (−1,−1), −D2 = (−2,−2).
Bởi Định lý 1.1 ta có b N((¯x,ω,¯ ξ¯∗); gphF) = n(x∗, ω∗, ξ) (x∗, ω∗) ∈ span{(C1,−D1)}+ pos{(C2,−D2)}, (x∗, ξ) ∈ AI,K ×BI,K o = n (x∗, ω∗, ξ) x∗ = λ1C1T +λ2C2T, ω∗ = −λ1DT1 −λ2D2T, λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0, (x∗, ξ) ∈ (R−×R)×(R+× {0})o = n (x∗, ω∗, ξ) x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = −(λ1 + 2λ2, λ1 + 2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0, ξ ∈ R+× {0}o. Khi đó, bởi Định lý 1.2, b D∗F(¯x,ω,¯ ξ¯∗)(ξ) = n (x∗, ω∗, ξ) x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = −(λ1 + 2λ2, λ1 + 2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0 o nếu ξ ∈ R−× {0}, ∅ trong các trường hợp khác.
Bây giờ chúng ta tính đối đạo hàm F. Hiển nhiên Ib = {{1},{1,2}}. Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: P = {1}. Khi đó M((¯x,ω,¯ ξ¯∗);P) = {1}, rP = 1, Γ1 = {P}, ∆1 = ∆ và Q ∈ {{1},{1,2}}.
Trường hợp 1a: Q = {1}. Khi đó E(P) = ∅ và
AQ,P ×BQ,P = ({0} ×R)×(R× {0}),
span{(C1T,−D1T)} = (x∗, ω∗)|x∗ = (0, λ1), ω∗ = (−λ1,−λ1), λ1 ∈ R , C1a :={(x∗, ω∗, ξ) | x∗ = (0, λ1), ω∗ = (−λ1,−λ1), λ1 ∈ R, ξ ∈ R× {0}}.
26Trường hợp 1b: Q= {1,2}. Khi đó, E(P) ={2} và Trường hợp 1b: Q= {1,2}. Khi đó, E(P) ={2} và AQ,P ×BQ,P = (R−×R)×(R+× {0}), span{(C1T,−D1T)}+ pos{(C2T,−DT2)} = (x∗, ω∗)|x∗ = (−λ2, λ1) ω∗ = (−λ1 −2λ2,−λ1 −2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≥0 , C1b :={(x∗, ω∗, ξ)|x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 −2λ2,−λ1 −2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≥0, ξ ∈ R+× {0}}. Trường hợp 2: P = {1,2}. Khi đó, M((¯x,ω,¯ ξ¯∗);P) = {{1,2}}, rP = 1, Γ1 = {{1,2}}, ∆1 = ∆ và Q ∈ {{1,2}}. Ta có E(P) =∅ và AQ,P ×BQ,P = (R×R)×({0} × {0}), span{(C1T,−D1T),(C2T,−D2T)} = (x∗, ω∗)|x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 −2λ2,−λ1 −2λ2), λ1, λ2 ∈ R , C2a :={(x∗, ω∗, ξ)|x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 −2λ2,−λ1 −2λ2) λ1, λ2 ∈ R, ξ = (0,0)}. Ta suy ra từ Định lý 2.1 rằng N((¯x,ω,¯ ξ¯∗); gphF) = n (x∗, ω∗, ξ)|x∗ = (0, λ1), ω∗ = (−λ1,−λ1), λ1 ∈ R, ξ ∈ R−× {0}o ∪n(x∗, ω∗, ξ)|x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 −2λ2,−λ1 −2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0, ξ ∈ R+× {0}o.
Vì vậy, bởi Định lý 2.2, D∗F(¯x,ω,¯ ξ¯∗)(ξ) = n (x∗, ω∗)|x∗ = (0, λ1), ω∗ = (−λ1,−λ1), λ1 ∈ Ro nếu ξ ∈ R+× {0}, n (x∗, ω∗)|x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 −2λ2,−λ1 −2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≥0 o nếu ξ ∈ R−× {0}, ∅ trong các trường hợp khác.
Tiếp theo, lấy q∗ = (q1∗, q2∗) ∈ R2 và ω∗ = (ω1∗, ω∗2) ∈ R2 là các vectơ sao cho
(MTq∗, ω∗) ∈ D∗F(¯x,ω,¯ ξ¯∗)(−q∗).
Xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: −q∗ ∈ R+× {0}. Khi đó
MTq∗ = q∗ = (0, λ1), ω∗ = (−λ1,−λ1), λ1 ∈ R.
Điều này suy ra rằng λ1 = 0. Hence, q∗ = (0,0), ω∗ = (0,0).
Trường hợp 2: −q∗ ∈ R−× {0}. Khi đó
q∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 −2λ2,−λ1 −2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≥ 0.
Điều này suy ra rằngλ2 = 0andλ1 = 0. Do đó,q∗ = (0,0)và ω∗ = (0,0). Từ hai trường hợp sau cùng vừa xét ta có thể khẳng định từ Định lý 3.1 rằng S là Lipschitz kiểu Aubin tại (¯q,ω,¯ x¯).
28
KẾT LUẬN
Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu về giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, cụ thể là lý thuyết đối đạo hàm của Mordukhovich, và bất đẳng thức biến phân aphin. Thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich cho ánh xạ nón pháp của tập lồi đa diện với nhiễu tuyến tính. Đưa ra được một đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân aphin có tham số.
[1] L. Ban, B. S. Mordukhovich and W. Song (2011),Lipschitzian stabil- ity of parametric variational inequalities over generalized polyhedra in Banach spaces, Nonlinear Anal. 74, 441–461.
[2] A. L. Dontchev and R.T. Rockafellar (1996) Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM J. Optim. 6, 1087–1105.
[3] R. Henrion, B. S. Mordukhovich and N. M. Nam (2010), Second- order analysis of polyhedral systems in finite and infinite dimensions with applications to robust stability of variational inequalities, SIAM J. Optim. 20, 2199–2227.
[4] R. Henrion and J. Outrata (2008), On calculating the normal cone to a finite union of convex polyhedra, Optimization. 57, 57–58.
[5] R. Henrion, J. Outrata and T. Surowiec (2009), On the co-derivative of normal cone mappings to inequality systems, Nonlinear Anal. 71, 1213–1226.
[6] N. Q. Huy and J.-C. Yao (2012), Exact formulae for coderivatives of normal cone mappings to perturbed polyhedral convex sets, J. Optim. Theory Appl., accepted for publication.
30
[7] N. Q. Huy, D. S. Kim, N. T. Q. Trang (2013), Coderivatives of normal cone mappings to polyhedral convex sets with linear pertur- bations, submitted.
[8] G. M. Lee and N. D. Yen (2011), Fréchet and normal coderivatives of implicit multifunctions, Applicable Analysis. 90, 1011–1027.
[9] S. Lu, (2010), Variational conditions under the constant rank con- straint qualification, Math. Oper. Res. 35, 120–139.
[10] S. Lu and S. M. Robinson (2008) , Variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Math. Oper. Res. 33, 689–711.
[11] B. S. Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer, Berlin.
[12] B. S. Mordukhovich and R. T. Rockafellar,Second-order subdifferen- tial calculus with applications to tilt stability in optimization, SIAM J. Optim, submitted.
[13] N. M. Nam (2010) Coderivatives of normal cone mappings and Lip- schitzian stability of parametric variational inequalities, Nonlinear Anal. 73, 2271–2282 .
[14] R. T. Rockafellar (1970), Convex analysis, Princeton Mathematical Series, No. 28 Princeton University Press, N.J. Princeton.
[15] N. T. Qui (2011), Linearly perturbed polyhedral normal cone map- pings and applications, Nonlinear Anal. 74, 1676–1689.
[16] N. T. Qui (2011), New results on linearly perturbed polyhedral nor- mal cone mappings, J. Math. Anal. Appl. 381, 352–364.
[17] N. T. Qui, Nonlinear Perturbations of Polyhedral Normal Cone Mappings and Affine Variational Inequalities, J. Optim. Theory Appl, DOI: 10.1007/s10957-011-9937-9.
[18] N. T. Q. Trang (2011) Lipschitzian stability of parametric vari- ational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Optim. Lett, DOI: 10.1007/s11590-011-0299-x.
[19] J.-C. Yao and N. D. Yen (2009) Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality. I. Basic calculations, Acta Math. Vietnam. 34, 157–172.
[20] J.-C. Yao and N. D. Yen (2009) Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality. II. Applications, Pac. J. Optim. 5, 493–506.