Định nghĩa 2.2.1. [11].
Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X và
x ∈ X. Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới x nếu ∀c ∈ E thỏa mãn 0 p c, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
d(xn, x) p c, với mọi n > n0.
Khi đóx được gọi là giới hạn của dãy {xn} và ta ký hiệu lim
n→∞xn = x hoặc
Định nghĩa 2.2.2. [11].
Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X. Nếu với bất kì c ∈ E, 0p c, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho:
∀n, m > n0, d(xn, xm)p c
thì {xn} được gọi là dãy Cauchy trong X.
Định nghĩa 2.2.3. [11].
Không gian metric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X.
Ta đã biết đối với không gian metric (X, d) thì dãy {xn} trong X hội tụ tới x thuộc X khi và chỉ khi d(xn, x) → 0. Định lý sau đây trình bày một tính chất tương tự cho không gian metric nón.
Định lý 2.2.1. [11].
Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn} là một dãy trong X. Khi đó, {xn} hội tụ tới
x thuộc X khi và chỉ khi lim
n→∞d(xn, x) = 0 trong E.
Chứng minh.
Giả sử {xn} là một dãy trong X và xn → x ∈ X. Với mọi ε > 0, chọn
c ∈ E sao cho 0 p c và Kkck < ε. Khi đó, từ xn → x ∈ X suy ra tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn, x) p c, ∀n > N.
Vì nón P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên ta có
kd(xn, x)k 6 Kkck< ε, ∀n > N.
Vậy ta có lim
Ngược lại, giả sử trong E ta có lim
n→∞d(xn, x) = 0. Khi đó ∀c ∈ E mà
0p c đều tồn tại δ > 0sao cho kxk< δ thì c−x ∈ int(P) (do int(P) là một tập mở). Với δ >0 xác định như trên, tồn tại số tự nhiên N sao cho
kd(xn, x)k < δ, ∀n > N.
Suy ra c−d(xn, x) ∈ int(P). Ta nhận được d(xn, x) p c với mọi n > N,
tức là lim
n→∞xn = x.
Định lý sau khẳng định sự duy nhất của giới hạn dãy trong không gian metric nón.
Định lý 2.2.2. [11].
Cho (X, d) là không gian metric nón, {xn} là một dãy trong X. Nếu
{xn} hội tụ đến x và {xn} hội tụ đến y thì x = y. Chứng minh.
Với mọi c ∈ E, 0p c và lim
n→∞xn = x; lim
n→∞xn = y ta suy ra tồn tại số tự nhiên N, sao cho với mọi n > N thì
d(xn, x) p c,
và
d(xn, y) p c.
Từ đó ta có
d(x, y) 6p d(xn, x) +d(xn, y) p 2c, với mọi n > N.
Do P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên ta có:
kd(x, y)k 6 2Kkck.
Nhưng do c là tùy ý nên ta suy ra d(x, y) = 0, hay x = y.
Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa tính hội tụ của dãy và dãy con của nó.
Định lý 2.2.3. [11].
Cho (X, d) là không gian metric nón và {xn} là một dãy trong X. Nếu
{xn} hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x. Chứng minh.
Với mỗi c ∈ E mà 0 p c, tồn tại N ∈ N∗ sao cho với mọi n > N,
d(xn, x) p c. Với mọi k > N thì nk > k > N, nên
d(xnk, x) p c. Hay lim k→∞xnk = x. Do đó {xnk} hội tụ tới x. Định lý 2.2.4. [11].
Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn} là một dãy trong X. Khi đó {xn} là dãy Cauchy khi
và chỉ khi lim
n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Chứng minh.
Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong X. Gọi K là hằng số chuẩn tắc của
P. Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0 p c và Kkck < ε. Khi đó, từ {xn} là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn, xm) p c với mọi n, m > N.
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên
kd(xn, xm)k6 Kkck, với mọi m, n > N.
Hay
Vậy
lim
n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Ngược lại ta có, với mọi c ∈ E mà 0 p c, tồn tại δ > 0 sao cho kxk < δ
thì c−x ∈ int(P) (do int(P) là tập mở). Với δ >0 xác định như trên tồn tại N sao cho
kd(xn, xm)k < δ, với mọi n, m > N.
Suy ra, c − d(xn, xm) ∈ int(P). Ta nhận được d(xn, xm) p c với mọi
n, m > N, tức là lim
n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Vậy {xn} là dãy Cauchy trong X.
Định lý 2.2.5. [11].
Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn}, {yn} là các dãy trong X.
Nếu lim
n→∞xn = x, lim
n→∞yn = y thì lim
n→∞d(xn, yn) = d(x, y).
Chứng minh.
Với mỗi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho
0 p c và kck < ε
4K + 2.
Từ lim
n→∞xn = x, lim
n→∞yn = y, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn, x) p c và d(yn, y) p c, với mọi n > N. Chúng ta có d(xn, yn) 6p d(xn, x) +d(x, y) +d(y, yn) 6p d(x, y) + 2c, với mọi n > N, và d(x, y) 6p d(xn, x) +d(xn, yn) +d(yn, y) 6p d(xn, yn) + 2c.
Suy ra
06p d(x, y) + 2c−d(xn, yn) 6p 4c.
Hay
06p−(d(xn, yn)−2c−d(x, y))6p4c.
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K, ta có
k−(d(xn, yn)−2c−d(x, y))k= k(d(xn, yn)−2c−d(x, y))k 6 Kk4ck. Vậy kd(xn, yn)−d(x, y)k= kd(xn, yn)−2c−d(x, y) + 2ck 6kd(xn, yn)−2c−d(x, y)k+k2ck. Do đó kd(xn, yn)−d(x, y)k6Kk4ck+k2ck= (4K + 2)kck. Mà kck < ε 4K + 2 suy ra kd(xn, yn)−d(x, y)k < ε. Vậy lim n→∞d(xn, yn) = d(x, y). Định lý 2.2.6. [11].
Nếu {xn} là dãy hội tụ trong không gian metric nón (X, d) thì nó là dãy Cauchy.
Chứng minh.
Giả sử lim
n→∞xn = x ∈ X. Khi đó, với mọi c ∈ E, 0 p c thì tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn, x) p c
2, với mọi n > N.
Vì vậy, với mọi m, n > N, ta có
d(xm, xn) 6p d(xn, x) +d(xm, x) p c
2 +
c
Vậy lim
n,m→∞d(xn, xm) = 0.
Ta có dãy {xn} là dãy Cauchy.
Định lí sau cho ta điều kiện để một dãy{xn}là dãy Cauchy trong không gian metric nón.
Định lý 2.2.7. [11].
Cho (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ và P ⊂E là một nón
chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K. Nếu tồn tại một dãy {xn} trong X và một số thực α ∈ (0,1) sao cho với mọi n∈ N thì
d(xn+1, xn) ≤p αd(xn, xn−1) thì {xn} là một dãy Cauchy. Chứng minh. Chọn x0 ∈ X. Chúng ta có: d(xn+1, xn)6pαd(xn, xn−1)6pα2d(xn−1, xn−2) 6p...6pαnd(x1, x0) với mọi n > m, d(xn, xm) 6p d(xn, xn−1) +d(xn−1, xn−2) + ...+d(xm+1, xm) 6p αn−1 +αn−2 + ...+αmd(x1, x0)6p αm 1−αd(x1, x0). Từ đó, ta có kd(xn, xm)k6 α m 1−αKkd(x1, x0)k.
Điều này có nghĩa là d(xn, xm) →0 (n, m → ∞). Do đó {xn} là một dãy
Cauchy.
Định nghĩa 2.2.4. [11].
Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và T : X → X thì
1. T là liên tục nếu lim
n→∞xn = x ta có
lim
n→∞T xn = T x
với mỗi dãy {xn} trong X.
2. T gọi là dãy hội tụ dãy nếu với mỗi dãy {yn} hội tụ thì dãy {T{yn}}
hội tụ.
3. T là hội tụ dãy con với mỗi dãy {yn}, nếu {T{yn}}là hội tụ thì dãy
{yn} có dãy con {ynk} hội tụ.
Định nghĩa 2.2.5. [11].
Cho (X, d) là một không gian metric nón. {xn} là dãy bất kỳ trong
X có dãy con {xni} là hội tụ trong X. Khi đó X được gọi là không gian metric nón compact dãy.