* Điều khiển đầu vào không gian khớp
Thay hệ phƣơng trình (2.20) vào (2.19) đƣợc
̈ (2.21) Đặt sai lệch vị trí và sai lệch vận tốc trong không gian khớp là:
Theo phƣơng trình (2.21) ta đề xuất đƣa ra luật điều khiển có dạng sau:
̈ (2.22) Ở đây: ̈ là gia tốc đặt trƣớc.
là các hằng số dƣơng.
là luật điều khiển bền vững mới. Thay (2.22) vào (2.21) và rút gọn ta đƣợc:
̈ ̈ (2.23) Đặt:
̈ (2.24) Coi tất cả các khớp là quay và theo các giả thiết phía trên ta có:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ̈ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
26 Ta chuyển (2.25) sang dạng sau:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ (2.26) Với là hằng số dƣơng.
Đặt: phƣơng trình (2.23) trở thành hệ phƣơng trình sau: { (2.27) Hệ kín (2.27) có thể điều khiển bằng phƣơng pháp backstepping, do đó ta chọn là luật điều khiển cho đến khi hội tụ về 0. Do đó ta đề xuất nhƣ sau:
(2.28) Với: là hằng số dƣơng.
* Chứng minh tính ổn định (2.28) .Ta chọn hàm Lyapunov nhƣ sau:
(2.29) Lấy đạo hàm (2.29) theo thời gian ta đƣợc:
(2.30) Thay (2.27) và (2.28) vào (2.30) ta đƣợc: (2.31) Theo (2.31) ta thấy rằng , do đó luôn luôn hội tụ về không. * Luật điều khiển trong không gian khớp:
Luật điều khiển backstepping đƣợc hình thành trên cơ sở chứng minh tính ổn định của hệ thống vòng kín (2.27). Ta chọn hàm Lyapunov nhƣ sau:
(2.32) Đạo hàm (2.32) theo thời gian đƣợc:
(2.33) Thay (2.27), (2.28) vào (2.33) ta đƣợc: (2.34) Rút gọn (2.34) ta đƣợc: ‖ ‖ (2.35)
27 Theo các giả thiết ta có:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
(2.36) Theo (2.36), luật điều khiển mới (Robot control law) đƣợc viết nhƣ sau:
(2.37) Trong đó: γ là hằng số dƣơng. Thay (2.37) vào (2.36) ta đƣợc: ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ γ ‖ ‖ (2.38) Theo (2.26), (2.27), (2.28) và (2.38) ta có: ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ γ ‖ ‖ (2.39) Ở đây: và là các hằng số dƣơng.
Theo (2.37) và (2.39), và γ là các hệ số điều khiển.
Để đảm bảo ta phải lựa chọn những hệ số trên cho phù hợp (để các thành phần mang dấu âm lớn hơn các thành phần dƣơng).
Do vậy hệ thống vòng kín (2.27) ổn định toàn cục phụ thuộc vào các hệ số điều khiển , γ. Nhƣ vậy luật điều khiển trong không gian khớp là:
̈ (2.40) Với :