Chương 2 XÍCH MARKOV VÀ PHÂN PHỐI DỪNG
2.3. Thời điểm hòa nhập và thời gian đảo ngược
2.3. Thời điểm hòa nhập và thời gian đảo ngược
2.3.1.Thời điểm hòa nhập
Việc định nghĩa một tham số để xác định thời điểm cần thiết để khoảng cách từ đó đến phân phối dừng của một xích Markov là đủ nhỏ sẽ có ích. Ta sẽ gọi thời điểm ấy là thời điểm hòa nhập. Với mỗi số thực , xét
(2.32) Thời điểm hòa nhập được xác định bởi công thức
(2.33) Như vậy thời điểm hòa nhập là thời điểm đầu tiên để khoảng cách từ phân phối trên tập các trạng thái của một xích Markov sau bước tới một phân phối dừng là không quá 1/4.
Bổ đề 1 ở Mục 2.2.2 và (2.31) cho thấy rằng khi l là một số nguyên không âm,
(2.34) Đặc biệt, với bất đẳng thức trên là đúng
(2.35) và
(2.36) Như vậy, tuy chọn 1/4 là bất thường theo định nghĩa của tmix, một giá trị của nhỏ hơn 1/2 là cần thiết để bất đẳng thức trong (2.34) không tầm thường và đạt được bất đẳng thức dạng (2.36).
2.3.2.Thời điểm hòa nhập và thời gian đảo ngược
Ta nhớ rằng nhóm là một tập với một phép toán hai ngôi có tính kết hợp, cùng một phần tử trung hòa sao cho với mọi ,
(i)
(ii) Tồn tại phần tử nghịch đảo sao cho
Cho một phân phối xác suất trên một nhóm , Ta định nghĩa một di động ngẫu nhiên trên nhóm với phân phối tăng là một xích Markov với không gian trạng thái và nó dịch chuyển bởi phép nhân bên trái một phần tử ngẫu nhiên của với trạng thái (hiện thời) với xác suất được chọn tương ứng với . Tương đương, với mọi ma trận chuyển của xích này có các phần tử
Ví dụ. (-chu trình). Giả sử được xác định bới xác suất 1/2 cho 1, và (-1) trong nhóm cộng xiclic . Di động ngẫu nhiên đơn giản trên -chu trình đã được giới thiệu trong Ví dụ ở Mục 1.1.2 là di động ngẫu nhiên trên với phân phối tăng . Tương tự, nếu phân phối xác định trọng số 1/4 cho cả hai phần tử 1 và , và trọng số 1/2 cho 0 thì di động ngẫu nhiên lười trên -chu trình được trình bày trong Ví dụ ở cuối Mục 1.2.2 là một di động ngẫu nhiên trên với phân phối tăng .
Mệnh đề 1. Giả sử là ma trận chuyển của di động ngẫu nhiên trên một nhóm hữu hạn và giả sử là phân phối đều trên . Thế thì là một phân phối dừng đối với .
(vì nếu đặt thì và do đó ).
Ta gọi một phân phối xác suất trên nhóm là phân phối đối xứng nếu với mọi .
Mệnh đề 2. Di động ngẫu nhiên trên một nhóm hữu hạn G với phân phối tăng là khả nghịch nếu là đối xứng.
Chứng minh. Giả sử là phân phối đều trên . Với bất kỳ , ta có
bằng nhau khi và chỉ khi
Với một phân phối trên một nhóm , phân phối ngược được định nghĩa bởi . Giả sử là ma trận chuyển của di động ngẫu nhiên với phân phối tăng . Khi đó di động ngẫu nhiên với phân phối tăng chính là xích với thời gian đảo ngược có ma trận chuyển (được định nghĩa trong (1.33)) của .
Bổ đề. Giả sử P là ma trận chuyển của một di động ngẫu nhiên trên một nhóm với phân phối tăng và giả sử là ma trận chuyển của di động ngẫu nhiên trên với phân phối tăng . Giả sử là phân phối đều trên , khi đó đối với bất kỳ , ta có
Chứng minh: Giả sử là một xích Markov với ma trận chuyển và trạng thái ban đầu id. Ta có thể viết trong đó các phần tử ngẫu nhiên được chọn độc lập theo phân phối . Tương tự, giả sử là một xích với ma trận chuyển với các mức tăng được lựa chọn độc lập từ Với các phần tử cố định bất kỳ . Xác suất
theo định nghĩa của , việc lấy tổng trên tất cả các chuỗi sao cho dẫn tới Vì vậy
Và công thức đó cùng với Mệnh đề 1 Mục 2.1.1 khẳng định đẳng thức cần chứng minh.
Hệ quả. Nếu là thời điểm hòa nhập của di động ngẫu nhiên trên một nhóm và là thời điểm hòa nhập của di động ngược thì .
Ví dụ. Có khả năng là việc đảo ngược một xích Markov có thể thay đổi một cách đáng kể thời điểm hòa nhập. “Khoảng thắng cuộc” là một ví dụ. Ở đây ta chỉ hạn chế xét thời điểm hòa nhập của thời gian ngược của nó.
Hãy hình dung việc tung một đồng xu cân đối lặp lại nhiều lần và cố gắng ghi lại (lưu vết) những lần gieo (cuối cùng) được mặt sấp vào một thẻ nhớ với bộ nhớ có độ dài bị chặn. Nếu có nhiều hơn lần sấp trên một dòng thì thẻ nhớ chỉ nhớ được trong chúng, vì vậy trạng thái hiện thời của xích của ta là số nhỏ hơn giữa hai số và độ dài số lần sấp nhận được cuối cùng.
Một cách tương đương, xét một của sổ với chiều rộng là chuyển động sang bên phải theo một chuỗi hữu hạn gồm các bit độc lập, và giả sử là độ dài của khối bao gồm các bit 1 xuất phát từ điểm tận cùng bên phải của cửa sổ. Thế thì là một xích Markov với không gian trạng thái và các xác suất chuyển khác 0 được cho bởi
(2.37) Thời điểm t 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
Thời điểm t+1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 Thời điểm t+2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
Hình 2.3.
Thời điểm t 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 Thời điểm t+1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 Thời điểm t+2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0
Xem hình 2.3 và 2.5. Kiểm tra trực tiếp được rằng
(2.38)
Hình 2.4.
Thời gian ngược của khoảng thắng cuộc với n=5. Ở đây
Hình 2.5. Các đồ thị của các chuyển động của
Khoảng thắng cuộc của xích với n=5
là dừng với và cũng kiểm tra trực tiếp được rằng thời gian đảo ngược của có các thành phần khác 0
(2.39) Thể hiện tung đồng xu của “khoảng thắng cuộc” minh họa thời gian ngược của nó. Hãy hình dung một cửa sổ với chiều rộng chuyển động về bên trái theo một chuỗi của các bit ngẫu nhiên độc lập. Như vậy dãy với độ dài của khối tận cùng bên phải gồm các bit 1 trong cửa sổ là một phiên bản của “khoảng thắng cuộc” ngược của xích. Xem hình 2.4 và 2.5.
Thời gian ngược của khoảng hỗn hợp có tính chất đáng chú ý sau: Sau bước phân phối của nó là dừng bất chấp phân phối ban đầu. Thật vậy, trước tiên thấy rằng nếu , thì phân phối của là dừng đối với mọi , vì . Nếu , thì phép chuyển được xác định phụ thuộc vào , vì vậy xích là dừng đối với t > k. Nếu , thì vị trí phụ thuộc vào thời gian xich tồn tại ở điểm n trước khi hòa nhập. Với , xích có xác suất của việc chiếm thời điểm, rồi thì chuyển sang thời điểm thứ . Trong trường hợp này và . Cũng thế , do đó . Cuối cùng nếu phân phối ban đầu không được tập trung tại trạng thái đơn thì phân phối tại thời điểm n là một hòa nhập của các phân phối từ mỗi trạng thái ban đầu có thể và như vậy là nó dừng.
Đối với một cận dưới, để ý rằng nếu xích được bắt đầu tại và ngay sau đó dịch chuyển thì tại thời điểm nó cần đạt trạng thái 1. Vì vậy và Định nghĩa về khoảng cách biến thiên toàn phần cho thấy
.
với số dương bất kỳ .