2.3.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là V− (tương ứng GV−) vành nếu môđunRR làV− (tương ứngGV−) môđun.
2.3.2 Ký hiệu. Cho R là một vành, ký hiệu 1. X = {R−môđunM : Z∗(M) = 0}
2. X∗ = {R−môđunM :NếuP ⊆ Q ⊆M vàQ/P ∈ X thìQ = P 2.3.3 Mệnh đề
(i) Lớp X các môđun khép kín đối với môđun con, tổng trực tiếp, tích trực tiếp và mở rộng cốt yếu;
(ii) Lớp X∗ khép kín đối với môđun con, tổng trực tiếp. 2.3.4 Bổ đề. Giả sử M là một môđun. Khi đó
(i) NếuM bé thì Z∗(M) =M; (ii) NếuZ∗(M) = M thì M ∈ X∗;
Chứng minh. (i) Rõ ràng theo định nghĩa.
(ii)Giả sửM là một môđun vàQ ⊆m P ⊆m M thỏa mãnZ∗(M) =
M và P/Q ∈ X, x ∈ P. Khi đó, xR và (xR + Q)/Q là môđun bé và
(xR+Q)/Q ∈ X. Theo (i) thì(xR+Q)/Q ∈ X∗. Do đóxR+Q = Q và x ∈ Q. VậyM ∈ X∗.
(iii)Giả sử M là môđun nửa đơn nội xạ. Vì X khép kín đối với phép lấy tổng trực tiếp, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằngM là môđun đơn nội xạ. NếuZ∗(M) = M thì M bé trong M. Đây là một mâu thuẫn. Do đóZ∗(M) = 0. Từ đó suy raM ∈ X.
2.3.5 Định lý. Cho R là một vành. Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương:
(i) R là GV−vành;
(ii) MỗiX∗−môđun là xạ ảnh; (iii) MỗiX∗−môđun đơn là xạ ảnh;
(iv) Với mỗiR−môđun M mà Z∗(M) 6= 0, Z∗(M) là xạ ảnh; (v) Mỗi môđun bé là xạ ảnh;
(vi) Với mỗiR−môđun M màZ∗(M) =M, M chứa một môđun xạ ảnh khác 0;
(vii) Với mỗiR−môđun M ta có Z(M)∩Z∗(M) = 0;
(viii) Với mỗi iđêan phải I của R ta có Z(R/I)∩Z∗(R/I) = 0;
(ix) Với mỗi R−môđun M mà Z(M) cốt yếu trongM thì Z∗(M) = 0;
(x) R/Soc(R) là V−môđun và Z(R)∩Z∗(R) = 0;
(xi) Mọi iđêan phải thực sự, cốt yếu của R là giao của các iđêan phải tối đại trong R và Z(R)∩Z∗(R) = 0;
(xii) Mọi iđêan phải cốt yếuK củaRta đều cóZ∗(K) = 0vàZ(R)∩ Z∗(R) = 0.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Cho M ∈ X∗ và m ∈ M;m 6= 0. Giả sử K là môđun con tối đại của mR. Khi đó mR/K nội xạ hoặc xạ ảnh. Nếu mR/K nội xạ thì theo Bổ đề 2.3.4 ta có mR/K ∈ X. Do đó mR/K = 0. Vì vậy nó là môđun xạ ảnh. Suy ra K là hạng tử trực tiếp củamR và vì vậymR là môđun nửa đơn vàM cũng vậy. Vì mỗi môđun con nửa đơn củaM là xạ ảnh.
(ii) ⇒ (iii) Rõ ràng.
(iii) ⇒ (iv) Vì Z∗(M) ∈ X∗, mỗi môđun đơn là nội xạ hoặc bé, cách chứng minh giống(i) ⇒(ii).
(iv) ⇒(v)Giả sửM là môđun con bé khác không. Khi đóZ∗(M) =
M. Do đó M là xạ ảnh.
(v) ⇒ (vi) Giả sử M là môđun đơn mà Z∗(M) = M. Cho m ∈ M;m 6= 0. Vì mR bé nênmR xạ ảnh.
(vi) ⇒ (vii) Giả sử m ∈ Z(M)∩ Z∗(M). Khi đó Z∗(mR) = mR. Giả sử m 6= 0. Khi đó mR chứa một môđun con xạ ảnh L. Do đó L đẳng cấu vớiI/r(m), I là iđêan củaR. Vìr(m)cốt yếu trong Rvà do đó cốt yếu trong I, suy raI = 0. Mâu thuẫn.
(vii) ⇒ (viii) Rõ ràng.
(viii) ⇒(ix)Giả sử M là môđun mà Z(M) cốt yếu trongM. Lấy x ∈ Z∗(M). Giả sửx 6= 0, khi đó tồn tạim 6= 0,m ∈ xR∩Z(M), mR ⊆
Z∗(M)∩ Z(M). Do đó mR ∼= R/r(m) ⊆ Z∗(R/r(M)) ∩Z(R/r(m)). Mâu thuẫn.
(ix) ⇒ (x) Giả sử X là một môđun đơn, I/Soc(R) là iđêan phải của R/Soc(R), f là một đồng cấu khác không, f : I/Soc(R) → X. ĐặtK/Soc(R) = kerf, K là iđêan của R. Khi đó K là iđêan phải tối đại củaI. NếuK không cốt yếu trong I thì I = K ⊕T vớiT ⊆I. Do đó T ⊆ Soc(R) ⊆ K. Mâu thuẫn. Do đó K cốt yếu trong I. Vì vậy I/K là môđun suy biến. VìZ∗(I/K) = 0 và do đó Z∗(X) = 0. Vì X là môđun đơn nênX là nội xạ và vì vậy R/Soc(R)−nội xạ. Suy ra f có thể mở rộng đến R/Soc(R).
(x) ⇒ (xi) R/Soc(R) là V-môđun nếu và chỉ nếu mỗi iđêan phải cốt yếu thực sự củaR là giao của các iđêan phải tối đại.
(xi) ⇒ (xii) Cho K là một iđêan phải cốt yếu của R. Cho 0 6=
x+ K ∈ Z∗(R/K). Theo giả thiết (xi) thì tồn một iđêan phải tối đại L của R sao cho x /∈ L và K ⊆ L. Khi đó (xR + L)/L là môđun nội xạ. Cho I là iđêan phải cốt yếu của R và f là một đồng cấu khác không từ I vào (xR+L)/L. ĐặtT = kerf. Giả sửT cốt yếu trongI. Khi đó T là iđêan phải cốt yếu trong R mà T ⊆ J, I * J, R = I + J. Vì T ⊆ I ∩ J ⊆ I, I * J nên T = I ∩ J và vì vậy f là một mở rộng. Nếu T không phải là iđêan cốt yếu trong I thì I = I ⊕U với U là iđêan phải của R. Do đó U là môđun bé và suy biến. Vì vậy U ⊆ Z(R)∩Z∗(M) = 0. Mâu thuẫn với f khác không. Từ đó suy ra
(xR+L)/Lnội xạ. Mâu thuẫn với(xR+L)/Lbé. Do đóZ∗(R/K) = 0.
(xii) ⇒ (i) Lấy X là môđun đơn suy biến và I là iđêan phải cốt yếu của R, f là đồng cấu khác không từ I vào X với K = kerf. Khi đó K là môđun con tối đại của I. Nếu K không cốt yếu trong I thì
I = K ⊕L với L ⊆ I. Khi đó L là iđêan phải suy biến của R. Do đó L2 = 0 hoặc L = eR với e là phần tử lũy linh của R. Giả sử L = eR, khi đór(e) = (1−e)Rcốt yếu trongR. Mâu thuẫn. Do đóL2 = 0và vì vậy L ⊆ Rad(R). Vì L suy biến nên L ⊆ Z(R). Vì Rad(R) ⊆ Z∗(R). Theo (xii), L = 0. Do đó K cốt yếu trong I và do đó cũng cốt yếu trong R. Theo (xii), Z∗(R/K) = 0 và vì vậy Z∗(I/K) = 0. Kết hợp với I/K đơn suy ra I/K nội xạ. VìI/K ∼= X nên X nội xạ.
Kết luận
Sau thời gian nghiên cứu và tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, dưới sự hướng dẫn PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, chúng tôi đã thu được một số kết quả sau:
1. Hệ thống hóa các khái niệm, các tính chất cơ bản, mối quan hệ của môđun con cốt yếu, môđun con bé, môđun đều, môđun nội xạ và môđun xạ ảnh, môđun Noether và môđun Artin.
2. Khảo sát một số đặc trưng của môđun nửa đơn, mối liên hệ giữa môđun nửa đơn và môđun con của nó. Khi M là môđun nửa đơn thì nó vừa là môđun Noether, vừa là môđun Artin, vừa là môđun hữu hạn sinh, vừa là môđun hữu hạn đối sinh, vừa là môđun có độ dài hữu hạn. Môđun con, môđun thương, ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn đều là môđun nửa đơn
3. Khảo sát một số tính chất của lớp V-môđun, GV-môđun, V- vành.
4. Chứng minh chi tiết một số mệnh đề, định lý, hệ quả trong luận văn mà trong các tài liệu tham khảo chưa chứng minh hoặc chứng minh còn sơ lược ( Mệnh đề1.1.2, Bổ đề 2.1.3, Bổ đề1.1.6, Bổ đề 2.1.7, Hệ quả 2.1.13).