Miền Hartogs và thác triển chỉnh hình qua tập cực loạ

Trước hết ta ựịnh nghĩa về tắnh thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn.

3.3.1. định nghĩa

Ớ định nghĩa 1

Miền Hartogs D với mặt phẳng ựối xứng zn =anlà miền cùng với

( ) o o o 1 n z = z , ..., z ∈D các ựiểm ( ) ( o o o i n) ( ) 1 n 1 n n n n n z= z , ..., z , a− + z −a eθ ∈D∀θ 0≤θ ≤2π Ớ định nghĩa 2

Một không gian giải tắch Banach X ựược gọi là có tắnh chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn ( gọi tắt là có tắnh chất (SPEP)) nếu H Z,X( )≅H Z \ S,X( ), ở ựây Z là một miền trong không gian Banach B và S là một tập cực loại hữu hạn ựóng trong Z.

Bây giờ ta xét X là một không gian phức và φ là hàm ựiều hòa dưới trên X. Xét miền Hartogs Ωφ( )X cho bởi

( ) ( ) ( )

{ φx}

φ X x,λ X : λ e−

Ω = ∈ ừℂ < .

Trước tiên ta có ựịnh lý sau ựây:

3.3.2. định lý

Giả sử X là một không gian phức và φ là một hàm ựa ựiều hòa dưới trên X. Giả sử ρ là một metric Hermit trên X.

44 Nếu X có tắnh chất (SPEP) và ( ) ( ) → − <     x a

lim sup εlog ρ x,a φ x 0 với mọi

( )

> ∈ Ωφ

ε 0 và moi a X thì X

ɺ cũng có tắnh chất (SPEP).

Chứng minh

Quá trình chứng minh mệnh ựề này ựược chia làm 4 bước:

Bước 1:

Ta chứng minh rằng H Z,( Ωφ( )X )≅H Z \ S,( Ωφ( )X ) với mọi tập cực ựóng S trong một tập mở bất kỳ Z của ℂ.

(i) Giả sử f : f ,f : Z \ S=( 1 2) → Ωφ( )X là ánh xạ chỉnh hình. Nếu mỗi fj

thác triển chỉnh hình tới Ẽf trên Z, thì hàm j

( ) Ẽ2( ) (Ẽ1( ))

ψ z =log f z +φ f z <0 trên Z \ S . Do ψ là ựiều hòa dưới nên theo nguyên lý môựun cực ựại ψ( )z <0 với mọi

( 1 2) ( φ( ))

Ẽ Ẽ Ẽ

z Z và f∈ = f ,f ∈H Z,Ω X .

Do giả thiết, f1 thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình 1

Ẽf : Z→X. Cho s S∈ . Chọn một lân cận Stein U của Ẽf s trong X sao cho U 1( )

ựẳng cấu với một tập giải tắch trong một hình cầu mở của ℂm. Khi ựó tồn tại một lân cận W của s trong Z sao cho Ẽf z U, z W1( )∈ ∀ ∈ .

45

Do φ là hàm ựa ựiều hòa dưới nên theo Fornaess và Narashimhan [2],

( )

1

π− U là một không gian Stein, ở ựây π là một phép chiếu chắnh tắc của

( ) ( ) ( )

{ φx}

φ U x,λ U :λ e−

Ω = ∈ ừℂ <

lên U xác ựịnh bởi π(x,λ)=x. Do ựó ta chỉ cần chứng minh f2 có thác triển chỉnh hình tới Ẽf . 2 Cố ựịnh s/∈S W∩ tùy ý. Viết ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 1 1 1 2 m p / / 1 Ẽ Ẽ h z : f z f s h z ,h z ,...,h z , z W h z z s g z , g s 0 Ta chon ε 0 saochoεp p 2 1 = − = ∈ = − ≠ > + < ɺ

Do giả thiết ựối với φ, tồn tại δ>0 sao cho

( )/ ( ) ( )/

1 1

Ẽ Ẽ

εlog x f s− −φ x <0 ∀ ∈x U : x f s− <δ hay tương ựương

( ) ( ) φx ε / 1 1 e Ẽ x f s − ≤ − với mọi ( )/ 1 Ẽ x U sao cho x f s∈ − <δ.

Ta chọn một lân cận W1 của s/ trong W sao cho

( ) ( )/ 1 1 1 Ẽ Ẽ f z −f s <δ ∀ ∈z W và ( ) 1 z W r inf g z 0 ∈ = > . Khi ựó ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( { ( ) ( )}) ( ) 1 Ẽ φf z ε ε 2 / 1 1 1 m pε pε pε pε 1 C f z e Ẽ Ẽ f z f s max h z ,..., h z C C r z z g z − < ≤ < − ≤ ≤ với mọi z W \ S∈ 1 .

46

Ở ựây C là một hằng số không phụ thuộc vào z W \ S.∈ 1 Bất ựẳng thức này suy ra f2 khả tắch bậc p + 2 trên W1. Bởi vì Λ2 p− /( )S =0 với / p 2 p p 1 + =

+ là số liên hợp của p + 2 với p 1≥ , nên f2 ựược thác triển chỉnh hình ựến Ẽf trên W2 1.

Vậy f thác triển chỉnh hình tới f : f ,f : ZẼ =(Ẽ Ẽ1 2) → Ωφ( )X .

(ii) Giả sử { k ( k k)}

1 2

f = f ,f là một dãy các ánh xạ chỉnh hình từ Z \ S vào

( )

φ X

Ω sao cho dãy này hội tụ tới f = ( f1, f2) với mọi tập cực ựóng S trong một tập mở bất kỳ Z của ℂ.

Theo (i), k i

f và fi ( i = 1, 2) lần lượt ựược thác triển chỉnh hình thành các ánh xạ chỉnh hình k i i Ẽ Ẽ f và f và do giả thiết, { }k 1 Ẽf hội tụ về Ẽf trong H(Z, X). 1 Mặt khác, theo nguyên lý môựun cực ựại { }k

2

Ẽf hội tụ về Ẽf trong H(Z). 2

Do ựó, { }Ẽf hội tụ về Ẽf trong k H Z,( Ωφ( )X ).

Bước 2:

Do ựịnh lý 3.1.3, Ωφ( )X có tắnh chất H Z,( Ωφ( )X )≅H Z \ S,( Ωφ( )X )

47

Bước 3:

Giả sử f : f ,f : Z \ S=( 1 2) → Ωφ( )X là ánh xạ chỉnh hình. Ở ựây, S là tập cực loại hữu hạn ựóng trong một tập mở Z của một không gian Banach bất kỳ B. Do giả thiết, f1 thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình Ẽf : Z X1 → .

Theo bước 2, f2 ựược mở rộng tới một hàm chỉnh hình Gateaux Ẽf trên 2 Z. Do ựó theo ựịnh lý Zorn, Ẽf chỉnh hình trên W. Do s tùy ý nên 2 Ẽf chỉnh 2 hình trên Z. Vậy f ựược thác triển chỉnh hình tới Ẽf : Z→ Ωφ( )X .

Bước 4: Giả sử { k ( k k)} 1 2 f = f ,f là một dãy các ánh xạ chỉnh hình từ Z \ S vào ( ) φ X

Ω sao cho dãy này hội tụ tới f =(f ,f1 2), ở ựây S và Z như ở bước 3.

Theo giả thiết, { }k 1

Ẽf hội tụ tới Ẽf trong H(Z, X). Ta chỉ cần kiểm tra lại 1

{ }k 2

Ẽf hội tụ tới Ẽf trong H(Z). Khi ựó, 2 { }Ẽf hội tụ tới Ẽf trong k H Z,( Ωφ( )X ). Thật vậy, cho s S∈ . Không làm mất tắnh tổng quát ta có thể giả sử s = 0. Vì S là tập cực loại hữu hạn nên theo ựịnh nghĩa, tồn tại một không gian con hữu hạn chiều E của B và hàm ựiều hòa dưới φtrên một lân cận U của 0 trong E sao cho

U S

φ≠ −∞ và φ ∩ = −∞.

Chọn e U∈ ựể φ( )e ≠ −∞ và viết B=ℂe⊕F, ở ựây F là không gian con của B với E=ℂe⊕E1 với E1⊂F.

48

Do e Sℂ ∩ là tập cực nên tồn tại ε>0sao cho ∂∆εe S∩ = ∅. Vậy tồn tại một lân cận D của 0 F∈ sao cho (∂∆ ừεe D)∩S= ∅.

Ta có k 2

Ẽf hội tụ về Ẽf2ựều trên mọi tập compact của ∂∆ ừεe D. Theo nguyên lý môựun cực ựại, k

2

Ẽf hội tụ về Ẽf2ựều trên mọi tập compact của ∆ ừεe D một lân cận của s = 0 trong Z.

định lý ựã ựược chứng minh xong.

đến ựây một vấn ựề ựược ựặt ra một cách tự nhiên là liệu rằng ựiều ngược lại có ựúng hay không. để trả lời câu hỏi này, chúng ta có ựịnh lý sau ựây:

3.3.3. định lý

Giả sử X là một không gian phức và φ là một hàm ựa ựiều hòa dưới trên X. Giả sử ρ là một metric Hermit trên X.

Nếu Ωφ( )X có tắnh chất (SPEP) thì X cũng có tắnh chất (SPEP) và ( ) ( ) → − <     x a

liminf εlog ρ x,a φ x 0 với mọi ε > 0 và mọi a X∈ .

Chứng minh

Vì X ựóng trong Ωφ( )X nên X có tắnh chất (SPEP). Bây giờ ta chứng minh rằng

( )

x a

liminf εlogρ x,a φ x 0

→  − <

với mọi ε>0 và moi a X.∈ ɺ

49

Thật vậy, giả sử tồn tại a X∈ và ε sao cho

( ) x a liminf εlog x a φ x 0 →  − − ≥ Do ( ) ( ) x a x a x a ε

liminf log x a φ x limsup εlog x a φ x 2 ε liminf log x a 2 → → →   − − =  − −        + − − = +∞ Ta có thể tìm ựược ( ) 0 0 ε

0 r 1 sao cho log x a φ x 0 x : x a r 2

< < − − > ∀ − <

hay tương ựương

( ) φx ε/ 2 0 1 e x : x a r x a − < ∀ − < −

Chọn các số nguyên dương k, l sao cho ε 2 < k l . đặt a=(a ,a ,...,a1 2 n) Xác ựịnh ánh xạ chỉnh hình *( ) ( ) 1 0 φ f :∆ a ,r → Ω X bởi: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1   = + −  −   l k n f z a z a ,a ,...,a , z a . Ở ựây ta ký hiệu ∆(a ,r1 0) và *( ) 1 0 a ,r

∆ là ựĩa và ựĩa thủng có tâm tại a1 và bán kắnh r0.

Vì theo giả thiết, f thác triển chỉnh hình tới ∆(a ,r1 0). điều này vô lý.

Vậy ựịnh lý ựã ựược chứng minh xong.

50

Ta có nhận xét rằng ựiều kiện của ựịnh lý 3.3.2 luôn ựược thỏa với φ là một hàm liên tục trên ∆. Tuy nhiên đỗ đức Thái ựã xây dựng một hàm φ gián ựoạn tại 0∈ ∆, ựiều hòa dưới trên ∆thỏa mãn ựiều kiện

( ) * ( )

z 0 z 0

limin fφ z ,φ ∞ và limsup εlog z φ z 0

∆

→ = −∞ ∈ℂ →  − < . Hơn nữa Ω ∆φ( )

không hyperbolic.

Áp dụng ựịnh lý 3.3.2 ta suy ra Ω ∆φ( ) có tắnh chất (SPEP).

Thông qua các ựịnh lý ựã trình bày, trong phần này ta ựã tìm hiểu và chứng minh ựược ba kết quả quan trọng. Kết quả thứ nhất nói về tắnh chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ựóng và kết quả thứ hai ựề cập ựến một khắa cạnh của việc thác triển chỉnh hình qua tập cực trong vô hạn chiều. Cuối cùng chúng tôi tìm hiểu tắnh chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn mà chúng ta gọi là có tắnh chất (SPEP).

Chúng tôi tìm hiểu ựược có hai lớp không gian có tắnh chất ựó. Lớp thứ nhất là miền Riemann compact hyperbolic và lớp thứ hai là miền Hartogs

( )

φ X

Ω trong trường hợp nó có thêm một vài tắnh chất mà trên ựây chúng tôi ựã trình bày.

đến ựây, còn một vấn ựề ựược ựặt ra là phải chăng có một không gian phức có tắnh chất thác triển chỉnh hình qua tập cực trong ∆ thì nó cũng có tắnh chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ựóng trong một ựa tạp phức? Câu trả lời cho câu hỏi trên ựây theo chúng tôi có lẽ không ựơn giản mà do thời gian và trình ựộ còn hạn chế, chúng tôi chưa thể trả lời. đó cũng là những nội dung mà nếu thời gian cho phép cũng như ựược tiếp xúc với các tài liệu có liên quan, chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu thêm

51

KẾT LUẬN

Thông qua Luận văn này, chúng tôi ựã tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tương ựối khá toàn diện.

Trước hết xuất phát từ định lý Kwack, chúng tôi tìm hiểu tắnh chất *

∆ −thác triển (xem như một mở rộng của định lý Kwack lên vô hạn chiều). Trong lộ trình này, chúng tôi tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua siêu mặt. Sau ựó, chúng tôi tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua các tập cực và các tập cực loại hữu hạn. đồng thời chúng tôi cũng tìm hiểu tắnh thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn của miền Hartogs Ωϕ( )X .

Các kiến thức có liên quan ựến Luận văn này chủ yếu do các tài liệu mà giảng viên hướng dẫn cung cấp. Do ựó tuy rất cố gắng tìm hiểu, nhưng thời gian có hạn nên Luận văn chưa ựược trình bày một cách mạch lạc. Về việc này chúng tôi sẽ khắc phục ựược. Ngoài ra, việc nghiên cứu thêm về việc thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs (tức là thác triển lên bao chỉnh hình) cũng là một hướng tắch cực mà chúng tôi muốn tìm hiểu khi thời gian cho phép.

52

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Văn Khuê Ờ Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb đại Học Quốc Gia Hà Nội.

2. Nguyễn Văn Khuê Ờ Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, Nxb GiáoDục. 3. B.V. Sabat, Nguyễn Thủy Thanh và Hà Huy Khoái dịch ( 1979), Nhập môn

giải tắch phức, Nxb đại học và Trung Học ChuyênNghiệp.

4. Nguyễn Thái Sơn (1998), Thác triển Riemann Ờ Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến, Luận án tiến sĩ khoa học toán lý, TrườngđHSP Tp HCM, TpHồ Chắ Minh.

Tiếng Anh

1. S. Dineen, R. Timoney and J. P. Vigue ( 1985), Psuedodistances invariants sur les domains dỖ un espace localement convexe, Ann. Nor. Sup. Pisa 12, 515 Ờ 529.

2. J. E. Fornaess and Narashimhan ( 1980), The levi Problem on complex

spaces with singularities, Math. Ann. 248, 47 Ờ 72.

3. R. Harvey and J. Polking ( 1975), Extending analytic objects, Comm. Pure and Appl. Math. 28, 701 Ờ 727.

4. L. L. Helms ( 1975), Introduction to potential theory, NewYork.

5. P. Jarviɺɺ ( 1991), Generalizations of PicardỖs theorem for Reimannsurfaces, Trans. Amer. Math. Soc. 2, 749 Ờ 763.

53

Mathematics, University College Dublin, Oxford New York Tokyo Clarendon Press.

7. B. Shiffman ( 1990), Hartogs theorem for separately holomorphic mapping

into complex spaces, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I310, 89 Ờ 94.

8. Nguyen Thai Son ( 1998), Separately holomorphic functions on compact

sets, Acta Math, Vietnamica, Volume 23, Number 2, 207 Ờ 216. 9. Do Duc Thai, Nguyen Thi Tuyet Mai and Nguyen Thai Son ( 1991),

Noguchi Ờ type convergence Ờ extension theorems for (n,d) - sets,

Mathematics Subject Classification.

10. Do Duc Thai and Nguyen Thai Son ( 1998), Extensions of holomorphic maps

through hypersurfaces and relations to the Hartogs extensions in infinite dimension, Proceedings of the American Mathemmatical Society.

11. M. Zorn ( 1945), Charaterization of analytic functions in Banach spaces, Ann of Math. (2) 46, 185 Ờ 193.