K= h(xk ), k+1 = h(xk+1).

Một phần của tài liệu Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân (Trang 40 - 42)

Từ điều kiện bức của F với hệ số β > 0 hay với mọi x, x0 ∈ C, ta có

hF(x)−F(x0), x−x0i ≥ β||F(x)−F(x0)||2,

suy ra

||F(x)−F(x0)|| ≤ 1

β||x−x0||. 0||.

Từ các giả thiết C là tập compact vàĐịnh lý 3.2, mọi điểm tụ x∗ củadãy {xk}

là điểm bất động của ánh xạ nghiệm h và cũng là nghiệm của bài toán VI. Trong Thuật toán 3.1, ta luôn có yk −h(xk), do vậy

Theo Định lý 3.2,

||xk −yk|| →0 khi k → ∞,

nên ||xk−h(xk)|| → 0 khik → ∞. 2

3.3. Kếtquả tính toán thử nghiệm

3.3.1. Mô hìnhcân bằng bán độcquyền

Ta dùng Thuật toán BFP để giải môhình cân bằng bán độc quyền. Giả sử

cho n công ty cùng sản xuất một sản phẩm và giá sản phẩm p phụ thuộc vào lượng sản phẩm σ. Ký hiệu hi(xi) là tổng chi phí của công ty thứ i cho xi

đơn vị sản phẩm. Khi đó, lợi nhuận của công ty thứ i là xip(σ)−hi(xi). Như vậy, mỗi công ty cầntìm cho mình một mức độ sảnxuất tươngthích để đạt lợi

nhuậncao nhất. Bài toán này còn đượcgọilà bài toán cân bằngthịtrường. Tập

chiến lược chơi của mọi người là

C := {x = (x1, x2, ..., xn) | 0 6 Li 6xi 6 Ui ∀i = 1,2, ..., n}, (3.34)và hàm lợi nhuận và hàm lợi nhuận fi(x1, x2, ..., xn) = xip( n X j=1 xj)−hi(xi).

Như thường lệ, ta nói rằng một điểm x∗ = (x1∗, x∗2, ..., x∗n) ∈ C là điểm cân bằng, nếu

fi(x∗1, x∗2, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗n) 6 fi(x∗1, x∗2, ..., x∗n) ∀yi ∈ [Li, Ui], ∀i = 1,2, ..., n.

Quan hệ giữa mô hình bài toán cân bằng bán độc quyền và bài toán VIP được

phát biểu qua mệnh đề sau.

Mệnh đề 3.1. Một điểm x∗ là điểm cân bằng bán độc quyền khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán VIP, ở đây C được cho bởi (3.34) và

F(x) = H(x)−p(σx)−p0(σx)x,

với

Mệnh đề 3.2. Cho p : C → IR+ là một hàm lồi, khả vi liên tục 2 lần, không giảm, và hàm àτ :IR+ →IR+ được xác định bởi

Một phần của tài liệu Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân (Trang 40 - 42)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(49 trang)