4.Bài toán luồng cực đại trong mạng
4.1.Khái niệm về mạng
6 ab 7 f,g,d,c,a,b,e Tổng cộng fg,gd,cd,ca,be,ab 24 f,g,d,c,a,b,e Khi đó ta có cây khung nhỏ nhất:
a b e d c f g 7 5 3 3 1 6 6 6 8 9 2 a b e d c f g 7 5 3 1 6 2
49
3.2.3. Sự khác nhau giữa thuật toán Prim và Cruskal
- Trong thuật toán Prim, ta chọn các cạnh có trọng số nhỏ nhất liên thông với đỉnh đã thuộc cây và không tạo ra chu trình.
- Trong thuật toán Cruskal, ta chọn các cạnh có trọng số tối thiểu mà không nhất thiết phải liên thuộc với các đỉnh của cây.
4. Bài toán luồng cực đại trong mạng.
Một trong những bài toán quan trọng và thú vị nhất của lý thuyết đồ thị là bài toán xác định luồng lớn nhất phát từ một đỉnh s nào đó (gọi là điểm phát) đến một đỉnh cuối t (gọi là đỉnh thu). Trong đó: mỗi cung u(i,j)của đồ thị được gán một số qij
được gọi là khả năng thông của cung u(i,j). Khả năng thông qua của cung xác định giá trị lớn nhất của luồng chảy theo nó.
Trong thực tế, bài toán tìm luồng cực đại trong mạng được ứng dụng rất nhiều. Chẳng hạn như:
- Xác định cường độ lớn nhất của dòng vận tải giữa 2 điểm trên bảng đồ giao thông. Với bài toán này khi đưa về bài toán tìm luồng cực đại thì lời giải sẽ chỉ cho ta các đoạn đường đông xe nhất và chúng tạo thành chỗ hẹp tương ứng với dòng xét theo 2 điểm được chọn.
- Xét đồ thị tương ứng với một hệ thống dẫn dầu. Trong đó, các ống tương ứng với các cung. Điểm phát có thể coi là tàu chở dầu, điểm thu là bể chứa, còn những điểm nổi giữa các ống là các nút của đồ thị. Khả năng thông qua của các cung tương ứng với tiết diện của các ống. Ta cần tìm luồng dầu lớn nhất để có thể bơm dầu từ tàu chở vào bể chứa.
4.1. Khái niệm về mạng:
Trong nhiều ứng dụng ta thường quan tâm tới mạng tức là đồ thị mà trên các cạnh hay cung của nó có các luồng vật chất di chuyển. Chẳng hạn mạng lưới giao thông, mạng thông tin liên lạc, mạng phân phối điện, mạng ống dẫn dầu, mạng cấp nước thành phố.
Để tiện ta kí hiệu các đỉnh của mạng là 1,2,…,n; các cạnh hay cung từ đỉnh i tới j là
) , (i j .
Như vậy có thể hiểu mạng là một đồ thị liên thông (có hướng hay vô hướng) mà trên mỗi cạnh hay cung của đồ thị có gắn một số không âm, gọi là khả năng thông qua của cạnh hay cung đó. Khả năng thông qua của cạnh hay cung cho biết lượng vật chất tối đa có thể đi chuyển trên cạnh hay cung đó (tấn/giờ đối với mạng ống dẫn dầu, m3/phút đối với mạng cung cấp nước thành phố, xung/giây đối với mạng thông tin liên lạc, số xe/giờ đối với mạng giao thông thành phố).
50
Ta quy ước, nếu không có hạn chế đối với lưựng vật chất đi chuyển qua từ đỉnh i tới đỉnh j trong mạng thì khả năng thông qua dijbằng một số khá lớn Gz. Còn nếu không có cạnh hay cung kề nối hai đỉnh i và j thì ta đặt khả năng thông qua dij 0
Ma trận lập nên từ các hệ số khả năng thông qua của các cạnh hay cung trên mạng gọi là ma trận khả năng thông qua của mạng. Mạng có thể biểu diễn bằng ma trận khả năng thông qua của nó, đó là sự mở rộng của khái niệm ma trận kề của đồ thị. Ví dụ: Xét đồ thị có hướng trong đó có gắn khả năng thông qua của các cung. Ta có thể lập được ma trận khả năng thông qua:
Các đỉnh của mạng có thể biểu diễn các kho chứa hàng, các nút giao thông trong các trạm bơm, các đầu tiếp âm.
𝐷 = 0 7 5 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 6 4 8 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0
Nếu cho phép di chuyển theo cả 2 chiều giữa một cặp đỉnh (như đường hai chiều trong thành phố) thì các đỉnh này được nối liền bởi 2 cung, mỗi cung đi theo một hướng và mỗi cung có một khả năng thông qua riêng (có thể khác nhau). Như vậy một cạnh vô hướng có thể coi như là hai cung ngược chiều nhau.
4.2. Luồng trên mạng:
Luồng trên mạng là tập hợp các số không âm xijbiểu thị lượng vật chất di chuyển qua trên cạnh hay cung (i,j) của mạng, lượng này không được vượt quá khả năng thông qua của cạnh hay cung đó.