Các giải thuật thực tế để tính toán biến đổi wavelet rời rạc một chiều, bao gồm các tích chập đượclặp lại của một tín hiệu với các chuỗi rời rạc hoặc các bộ lọc, tạo ra các hệ số wavelet. Các hệ số hàm tỷ lệ được tính toán tương tự như các trung gian. Các bộ lọc được liên hệ với loại wavelet và hàm tỷ lệ được sử dụng. Chúng có nhiều tính chất như tính đối xứng, bằng phẳng, giá và suy giảm. Đối với biến đổi hai chiều, sự thay thế các tích chập theo các hướng khác nhau
b b b c a a c b b c a
được thực hiện để tạo ra các hệ số của các thành phần theo phương ngang, chéo và phương thẳng đứng.
3.5.2.5- Đối xứng và phản đối xứng:
Khi một tín hiệu có một step edge với một bộ lọc đối xứng thì tích chập có một điểm không ở vị trí edge. Tích chập với bộ lọc phản đối xứng có giá trị là vô cùng ở vị trí edge. Vì các edge rất quan trọng trong việc loại nhiễu, vì vậy rất dễ làm việc với các giá trị vô cùng hơn là với các điểm không, bởi vậy thường sử dụng các wavelet phản đối xứng hơn.
3.5.2.6- Sự bằng phẳng (smoothness):
Bằng phẳng là một tính chất rất quan trọng vì nó là sự liên kết giữa tính bằng phẳng và các điểm triệt tiêu. Trong ứng dụng loại nhiễu wavelet, yếu tố giới hạn các hệ số wavelet là phải giảm nhiễu và giữ lại các tín hiệu khác. Vì các tiêu chuẩn để quy định sự loại bỏ trên không bao giờ hoàn hảo, nên có thể xảy ra trường hợp mà một hệ số có nghĩa bị loại bỏ . Ảnh hưởng của loại lỗi này là trong tín hiệu được khôi phục lại thì phân bố của một phần tín hiệu có bóng (dạng) của một wavelet bị mất. Nếu wavelet không bằng phẳng thì ảnh hường này có thể làm xáo trộn sự quan sát của con người.
Khối lượng tính toán biến đổi wavelet cần có giá compact hoặc ít nhất có sự suy giảm đủ nhanh.
3.5.3- Nhiễu và loại nhiễu Wavelet
Trong nhiều phương pháp loại nhiễu cơ sở wavelet, biến đổi wavelet của ảnh nhiễu được thực hiện các hệ số wavelet được xử lý và các hệ số đã được xử lý lại được biến đổi trở lại ảnh kết quả. Việc xử lý các hệ số bao gồm việc giảm các hệ số nhiễu. Một số tiêu chuẩn để phân biệt các hệ số có nhiễu và các hệ số không có nhiễu ảnh được giới thiệu ngắn gọn dưới đây.
Trong kỹ thuật “wavelet shrinkage ” của Donoho sử dụng một tiêu chí chung cho các lớp. Phương pháp sử dụng một sự không tuyến tính ngưỡng mềm (soft-threshold nonlinearity) sao cho các hệ số wavelet nằm dưới mức ngưỡng bị loại bỏ. Mức ngưỡng không đổi trong một mức và cùng một giá trị đối với tất cả các mức trong trường hợp nhiễu trắng. Phương pháp này không biểu thị mọi ưu điểm mà biến đổi wavelet có được nhưng nó có một cơ sở lý thuyết tốt. Trong phương pháp của Mallat và các đồng sự của ông thì tiêu chí được điều chỉnh phù hợp với từng hệ số. Do đó chúng ta gọi nó là phương pháp thích nghi (adaptive method). Tiêu chí dựa trên sự giả định là ảnh không nhiễu là đều và nhiễu không
đều. Phương pháp của Healy, Weaver là một sự biến đổi của phương pháp
Mallat, trong đó tiêu chí được dựa trên sự quan sát các hệ số wavelet của một ảnh không nhiễu. Coifman phát triển một phương pháp không dựa vào sự điều chỉnh các hệ số wavelet nhiễu, nhưng dựa vào việc sử dụng thư viện các dạng sóng trực giao. Tín hiệu được phân chia thành mỗi phần được loại nhiễu mà được biểu diễn bằng một dạng sóng đã chọn và một phầnkhông thể biểu diễn
được.
Các phương pháp loại nhiễu được miêu tả xử lý nhiễu trắng Gaussian có trung bình bằng không. Để đánh giá hiệu suất của việc loại nhiễu, ta sử dụng tỷ số tín hiệu trên nhiễu để đo chất lượng. Tỷ số tín hiệu trên nhiễu được biểu diễn bằng dB và được định nghĩa như sau: noise signal P P 10 SNR = lg
Trong đó Psignal là công suất của tín hiệu hay của ảnh. Pnoise là công suất của nhiễu.
3.5.4 Dựđoán đều từ các hệ số Wavelet
Trong giải thuật loại nhiễu wavelet do Mallat và Hwang phát triển thì sự khác biệt giữa các hệ số wavelet originating từ nhiễu và các hệ số wavelet originating từ tín hiệu được thực hiện bằng cách kiểm tra tính chất đều. Tính chất một ở trong phần trên cho thấy là số mũ Lipschitz đặc treng cho tính chất đều địa phương của một hàm có thể được dự đoán từ biến đổi wavelet. Dựa vào các thông tin này và vào các tính chất bằng phẳng, Mallat và các đồng sự của ông đã suy ra một tiêu chí báo hiệu có nhiễu. Các hệ số tương ứng với nhiễu được giả thiết và có số mũ Lipschitz âm sau đó được giới hạn từ phép biến đổi. Phương pháp có thể đạt được tỷ số S/N cao và chất lượng hiển thị của ảnh thu được cũng rất tốt, vừa ý. Tuy nhiên cũng rất phức tạp và đắt bởi vì việc khôi phục từ các hệ số wavelet yêu cầu một phép chiếu tương tác.
3.5.5 Tương quan các hệ số giữa các lớp Wavelet.
Xu, Healy, Weaver và một số người khác đã đề xuất một kỹ thuật mới để loại nhiễu mà nhiễu được phân biệt rõ ràng từ tín hiệu có ích bằng một kỹ thuật tương quan. Sự phân bố tham số của nhiều đặc tính tín hiệu đáng kể được tương quan giữa các mức kế cận. Tỷ lệ tương quan chéo được sử dụng để phân biệt sự phân bố tham số nhiễu cao từ các đặc tính tín hiệu. Kết quả là các hàm giải thuật như một bộ lọc thông tháp được điều chỉnh : các tham số cao bị triệt trừ khi ở đó một đặc tính tín hiệu có một số phân bố tham số được tách. Việc tách này được thực hiện bằng cách tính toán sự tương quan giữa một số có tỷ lệ liên tiếp. Xu đề xuất tính toán sự tương quan này là tính của các hệ số wavelet trong các mức liên tiếp của cùng sựđịnh vị. Nó được kiểm nghiệm từ sự thực nhưng các hệ số nhiễu không được tương quan và các hệ số có ích được tương quan, khi sử dụng phân
Biến đổi wavelet đang dần trở thành một công cụ mạnh và thiết thực để loại bỏ nhiễu trong tín hiệu. Phép biến đổi đưa ra một sự phân tích các tần số của tín hiêu, được biểu diễn trong miền tín hiệu gốc. Các phương pháp loại nhiễu có thể hiện rõ hai cơ sở lập luận trên. Chúng được xây dựng và áp dụng cho các cơ sở lý thuyết xấp xỉ của các wavelet.
CHƯƠNG IV. ỨNG DỤNG WAVELET TRONG KHỬ NHIỄU TÍN HIỆU
4.1 Giới thiệu về khử nhiễu tín hiệu
Vấn đề khử nhiễu tín hiệu luôn là vấn đề được các nhà nghiên cứu quan tâm trên cả phương diện thực tiễn cũng như lý thuyết. Vấn đề làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống với tín hiệu nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín hiệu. Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật toán này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Những phưong pháp khử nhiễu truyền thống sử dụng phương pháp tuyến tính như là lọc Wiener (Wiener filtering). Gần đây, phương pháp khử nhiễu phi tuyến được giới thiệu, đặc biệt là những phương pháp trên cơ sở Wavelet được phát triển mạng mẽ, đa dạng.
Một trong những nhà nghiên cứu tiên phong trong lĩnh vực khử nhiễu cơ sở Wavelet là Weaver và các cộng sự của mình, họ đã giới thiệu một phương pháp mới khử nhiễu từ ảnh cộng hưởng từ MR (Magnetic Resonance) dựa trên cơ sở mô hình được gọi là lấy ngưỡng cứng. Weaver đã chứng tỏ rằng sử dụng lấy ngưỡng Wavelet, có thể được giảm đáng kể nhiễu mà không làm mờ hình ảnh. Trong khi Wiever và những nhà khoa học khác chứng minh ưu điểm của mô hình khử nhiễu Wavelet dựa trên các kết quả thực nghiệm, Donoho và Johnstone đã chứng minh các kết quả lý thuyết quan trọng về lấy ngưỡng Wavelet. Donoho và Johnstone đã chứng minh sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) đem lại kết quả khử nhiễu tốt, đảm bảo tốc độ hội tụ tốt hơn, và đơn giản. Nhiều công trình nghiên cứu đã được công bố trong lĩnh vực Wavelet Shrinkage, hầu hết tập
trung vào mô hình thống kê của các hệ số Wavelet và sự lựa chọn tối ưu của các ngưỡng.
Bên cạnh lấy ngưỡng Wavelet, những phương pháp khử nhiễu khác cũng được nghiên cứu, như khử nhiễu cơ sở Wavelet sử dụng cây Hidden Markov (Hidden Markov Trees), được khởi đầu bởi Crouse và thực sự thành công. Những mô hình khử nhiễu dựa trên cơ sở HMT cố gắng mô hình hoá phần phụ thuộc giữa các hệ số Wavelet kế tiếp sử dụng HMT, và sử dụng sai số bình
phương trung bình nhỏ nhất MMSE (minimum mean-squared error) như là sự
đánh giá cho khử nhiễu.
Các cấu trúc cây (Tree Structures) cho các hệ số Wavelet dựa trên độ lớn của chúng, tỷ lệ và sự định vị rải rác (spatial location) cũng đang được nghiên
cứu. Biến đổi thích nghi dữ liệu như phân tích thành phần độc lập ICA
(Independent Component Analysis) cũng được khảo sát. Xu hướng phát triển tiếp theo của lĩnh vực khử nhiễu tập trung vào sử dụng các mô hình thống kê để mô hình hoá các đặc điểm thống kê của các hệ số Wavelet và lân cận của nó. Xu hướng tương lai sẽ là tìm kiếm các mô hình thống kê chính xác hơn cho phân bố của các hệ số Wavelet không trực giao.
4.2 Sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage)
Chúng ta biết rằng biến đổi Wavelet là một công cụ cần thiết cho các ứng dụng như là phân loại (classification), nén, và ước lượng (estimation). Một đặc điểm quan trọng của Wavelet là biến đổi này tạo thành các cơ sở không điều kiện (unconditional bases) cho các lớp tín hiệu khác nhau. Như vậy, hầu hết thông tin tín hiệu trong khai triển Wavelet được chuyển sang một số hệ số tương đối nhỏ. Đặc điểm này của biến đổi Wavelet làm cho ứng dụng của Wavelet đặc biệt phù hợp cho khử nhiễu tín hiệu.
Người ta đã chứng minh được các Wavelet có thể khử nhiễu hiệu quả hơn các phương pháp được sử dụng trước đây. Nhiễu có thể được gây ra bởi nhiều nguyên nhân khác nhau như trong quá trình phát, thu thập dữ liệu, chất lượng đầu thu, sai số thực nghiệm, … Như vậy, ứng dụng của biến đổi Wavelet trong khử nhiễu tín hiệu đóng một vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học. Biến đổi Wavelet được sử dụng để khử nhiễu dữ liệu. Quá trình khử nhiễu được thực hiện nhờ ứng dụng phép biến đổi Wavelet vào dữ liệu bị nhiễu, lấy ngưỡng các hệ số kết quả nằm dưới một giá trị nào đó, và sau đó biến đổi ngược để thu được phiên bản trơn hơn (smoother version) của tín hiệu nguyên bản. Quy
trình này được mô tả bởi Donoho và Johnstone (1994); Donoho and Johnstone
(1995); và Donoho, Johnstone, Kerkyacharian, và Picard (1995), được gọi là “Sự
co ngắn Wavelet” - “Wavelet Shrinkage” hay WaveShrink. Ngày nay, Wavelet
Shrinkage là kỹ thuật phổ biến cho khử nhiễu tín hiệu. Wavelet Shrinkage dựa trên cơ sở sự co ngắn các hệ số về giá trị không để khử nhiễu.
Hình 4.1: Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage
Khử nhiễu Wavelet cố gắng loại bỏ nhiễu xuất hiện trong tín hiệu trong khi vẫn giữ lại các đặc điểm của tín hiệu. Thủ tục khử nhiễu bao gồm ba bước: biến đổi Wavelet tuyến tính, khử nhiễu shrinkage phi tuyến và biến đổi Wavelet ngược tuyến tính. Wavelet Shirnkage là phương pháp khử nhiễu phi tuyến, phụ
thuộc vào việc chọn tham số ngưỡng và chọn nguyên tắc xác định ngưỡng, tới phạm vi khử nhiễu hiệu quả.
4.2.1 Khái niệm khử nhiễu
Trong nhiều hệ thống, sử dụng khái niệm về nhiễu trắng Gaussian cộng-
AWGN (Additive White Gaussian Noise), với hàm mật độ xác suất Gaussian và
hàm mật độ phổ công suất (nhiễu được phân bố trên toàn phổ tần số) và được cộng tuyến tính vào tín hiệu được phân tích.
Dựa trên cơ sở mô hình một chiều, tín hiệu nhiễu có dạng cơ bản sau:
s (n) = f (n) + σ e (n) (4.1) với khoảng thời gian n là cách đều nhau.
Trong mô hình đơn giản nhất này, giả thiết rằng e (n) là nhiễu trắng Gaussian (0,1) và mức nhiễu σ được giả thiết bằng 1. Mục tiêu khử nhiễu là triệt nhiễu của phần tín hiệu s và để khôi phục f. Phương pháp hiệu quả cho họ các hàm f có duy nhất một số ít hệ số wavelet khác không. Các hàm này có biểu diễn
Wavelet rải rác (sparse wavelet). Trên quan điểm thống kê, mô hình này là mô
hình hồi quy (regression model) theo thời gian và phương pháp này có thể được
xem như sự ước lượng không tham số (nonparametric estimation) của hàm f sử
dụng cơ sở trực giao.
4.2.2 Quy trình khử nhiễu
Quy trình khử nhiễu trung bao gồm ba bước. Các thủ tục cơ bản của quy trình này được mô tả theo các bước dưới đây:
1. Phân tích - Lựa chọn Wavelet, chọn mức N. Tính toán phân tích Wavelet
của tín hiệu s ở mức N.
2. Lấy ngưỡng các hệ số chi tiết - Với mọi mức từ 1 tới N, chọn ngưỡng và áp dụng lấy ngưỡng mềm hay cứng vào các hệ số chi tiết.
3. Khôi phục - Tính toán khôi phục Wavelet sử dụng các hệ số xấp xỉ nguyên gốc ở mức N và các hệ số chi tiết đã được hiệu chỉnh ở các mức từ 1 tới N.
4.2.2.1 Phân tích
Cho tín hiệu để khử nhiễu, chúng ta cần lựa chọn Wavelet phù hợp và mức phân tích. Dựa trên cơ sở các dạng khác nhau của Wavelet và sự tương quan của chúng tới các dạng tín hiệu khác nhau được trình bày ở chương trước, chọn Wavelet thích hợp.
Khác với các kỹ thuật trước đây, phân tích Wavelet đưa ra một họ các phân tích được tổ chức phân cấp. Lựa chọn mức hệ thống phù hợp sẽ tuỳ thuộc vào tín hiệu được phân tích và kinh nghiệm của người phân tích. Thông thường mức (level) được chọn dựa trên cơ sở tần số cắt thông thấp mong muốn.
Ở mỗi mức j, xây dựng xấp xỉ mức j: Aj và độ lệch của tín hiệu (deviation signal) gọi là chi tiết mức j: Dj. Chúng ta có thể xem như tín hiệu nguyên bản là xấp xỉở mức 0, được ký hiệu là A0.
Một cách để hiểu phân tích này là sự so sánh thị giác. Các hình ảnh liên tiếp A1, A2, A3 của đối tượng đã cho được xây dựng. Các hình ảnh được xấp xỉ liên tiếp, một chi tiết là khác nhau giữa hai hình ảnh liên tiếp. Hình ảnh A2, và do vậy là tổng của hình ảnh A4 và các chi tiết trung gian D4, D3:
A2 = A3 + D3 = A4 + D4 + D3 (4.2)
4.2.2.2 Lấy ngưỡng
Hai vấn đề chính của lấy ngưỡng là cách lấy ngưỡng và làm thế nào để chọn ngưỡng.
Như trong hình 4.3 cho thấy các hệ số nhỏ bị át bởi nhiễu, trong khi các hệ số với giá trị tuyệt đối lớn chứa đựng nhiều thông tin tín hiệu hơn nhiễu. Thay thế các hệ số nhiễu (các hệ số nhỏ dưới một giá trị ngưỡng nào đó) bởi giá trị không và biến đổi ngược có thể đưa đến sự khôi phục tín hiệu thu được với ít nhiễu hơn. Phát biểu một cách chính xác hơn, ý tưởng lấy ngưỡng Wavelet dựa trên cơ sở các thừa nhận sau:
• Tính chất tương quan của biến đổi Wavelet tạo nên một tín hiệu rải rác (sparse signal): các hệ số bị bỏ qua là các hệ số bằng không hoặc gần không.
• Nhiễu trải ra như nhau ở mọi hệ số.
• Mức nhiễu là không quá lớn tới mức không thể phân biệt các hệ số Wavelet so với các hệ số nhiễu.
Phương pháp này thực sự hiệu quả để giảm nhiễu và việc lấy ngưỡng đơn giản. Hơn thế nữa, việc chèn không làm tăng tính rải rác trong miền Wavelet và do vậy chúng ta thấy mối liên hệ giữa khử nhiễu tín hiệu bằng Wavelet và kỹ thuật nén tín hiệu.
Hình 4.2a: Tín hiệu bị nhiễu trong miền thời gian
Hình 4.2b: Tín hiệu trong miền Wavelet
Các dạng lấy ngưỡng:
Donoho và Johnstone đưa ra các hàm lấy ngưỡng cứng và mềm được xác định